Các bài toán cosi dùng kĩ thuật thêm bớt năm 2024

Trong chương trình phổ thông, học sinh được làm quen với bất đẳng thức từ rất sớm và nó luôn song hành với các em ở từng cấp học. Ở bậc tiểu học học sinh được học bất đẳng thức dưới dạng so sánh các số tự nhiên rồi đến so sánh phân số, ở bậc THCS các em tiếp tục học bất đẳng thức ở dạng so sánh số nguyên, lũy thừa, các số hữu tỷ rồi các biểu thức chứa 1 biến, 2 biến, 3 biến…. Bất đẳng thức không chỉ xuất hiện trong chương trình phổ thông mà còn thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi chuyển cấp, thi học sinh giỏi các cấp. Trong nền giáo dục phổ thông, toán học là môn khoa học quan trọng đóng vai trò nền tảng, then chốt để phát triển các bộ môn khoa học tự nhiên, khoa học công nghệ, trong đó có thể nói bất đẳng thức là một trong những thành tố quan trọng để phát triển năng lực tư duy logic cho học sinh. Trong thực tế, việc giải các bài toán Bất đẳng thức đối với học sinh THCS là hết sức khó khăn, đôi khi dẫn đến tình trạng các em rất sợ loại bài toán này. Vì vậy, để góp phần vào việc phát triển tư duy cho học sinh, đặc biệt là học sinh khá giỏi và tăng cường cho các em ý thức năng lực, vận dụng một cách thông minh những điều đã học làm giảm bớt nỗi sợ hãi cũng như tăng thêm lòng tin cho học sinh khi gặp loại bài toán này. Qua thực tế giảng dạy ở trường và qua các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, kỳ thi học sinh giỏi các cấp tôi nhận thấy việc hình thành những kiến thức và kỹ năng trong việc dùng Bất đẳng thức Côsi đối với các số dương là cần thiết. Vì vậy tôi đã chọn đề tài “ Nâng cao kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Côsi trong bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Tế Lợi”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Trong các bài toán ở kì thi học sinh giỏi khối THCS hay sử dụng tới bất đẳng thức đặc biệt là bất đẳng thức Côsi. Vấn đề này là một trong những vấn đề khó, mục đích của đề tài làm cho học sinh không cảm thấy khó khăn, e dè khi gặp các bài toán liên quan đến bất đẳng thức đồng thời cũng làm phong phú thêm phạm vi ứng dụng trong cuộc sống.

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Học sinh đội tuyển môn Toán, Trường THCS Tế Lợi huyện Nông Cống.

1.4 Phương pháp nghiên cứu

+ Khảo sát kết quả học tập của học sinh

+ Qua thực tế giảng dạy cho các em học sinh

+ Qua kiểm tra đánh giá kết quả học tập của học sinh trước và sau khi áp dụng đề tài.

+ Trao đổi, học hỏi đồng nghiệp qua các buổi sinh hoạt chuyên môn.

1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm: Bổ sung thêm phần “Một số bài toán sử dụng bất đẳng thức Côsi trong các kì thi học sinh giỏi”

1. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1. Cơ sở lý luận :

Khi vận dụng phương pháp phù hợp để giải một bài toán, học sinh sẽ tiết kiệm được thời gian và bài giải sẽ ngắn gọn hơn. Bất đẳng thức Côsi là một kiến thức khó nhưng không thể thiếu trong vốn kiến thức của học sinh, nhất là học sinh khá giỏi. những kiến thức về bất đẳng thức trong đại số cũng sẽ làm phong phú hơn phạm vi ứng dụng đại số trong cuộc sống.

2.2. Thực trạng của vấn đề:

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy rằng đối với những học sinh khá, giỏi ban đầu chỉ cần nhìn thấy đề bài chứng minh bất đẳng thức là các em đã không có thiện cảm hay nói đúng hơn là không có hứng thú để giải do đó dẫn đến thực trạng các em không đầu tư suy nghĩ và có khi bỏ qua.

Sau nhiều năm kiểm nghiệm, tôi nhận thấy rằng nếu quyết tâm dẫn các em đi khai thác, tìm hiểu sẽ có hiệu quả nhất định. Cụ thể : Khi học phần hằng đẳng thức ở lớp 8 tôi đã đưa ra bài toán chứng minh bất đẳng thức

(a + b) 4ab với a, b 0 lúc đầu học sinh rất lúng túng, nhưng trong quá trình giảng dạy tôi đã hướng dẫn các em từng cách giải:

• Cách 1 : Xét hiệu
• Cách 2 : Biến đổi tương đương
• Cách 3 : Dựa vào một số bất đẳng thức cơ sở
• Cách 4 : Chứng minh bằng phương pháp phản chứng
• Cách 5 : Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học

Sau khi hướng dẫn các cách cơ bản như vậy học sinh được làm quen và giải quyết được một số bài tập tương tự tôi bắt đầu dẫn các em đến không gian bất đẳng thức Côsi khi các em đã học xong chương 1 lớp 9 và lúc này học sinh không còn sợ rồi bỏ qua loại toán này như trước đây. Thực tế qua các kỳ thi học sinh giỏi cũng như kỳ thi vào lớp 10 có một số học sinh của tôi đã giải quyết tốt bài toán số 5 này do đó đã được giải học sinh giỏi cấp huyện. Trong phạm vi bài viết này tôi chỉ đề cập đến một khía cạnh đó là: “Nâng cao kỹ thuật dùng bất đẳng thức Côsi đối với 2 số dương trong bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Tế Lợi”.

2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Một số phương pháp sử dụng BĐT Côsi:

BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI

Cho n số thực không âm: a1, a2, …an. Ta có thể phát biểu BĐT Côsi dưới các dạng sau:

hay

Hay

Đẳng thức xảy ra khi các số bằng nhau

Đặc biệt:

* Trong trường hợp đối với 2 số không âm x, y, ta có

; ; ; ; ; . Đẳng thức xảy ra khi các số bằng nhau: x = y

* Trong trường hợp đối với 3 số không âm x, y, z, ta có

;;

Đẳng thức xảy ra khi các số bằng nhau: x = y = z

I. Phương pháp phân tích số mũ, đánh giá đại diện

Nội dung của phương pháp này thể hiện ở các ý tưởng chung như sau:

– Các biến có vai trò bình đẳng nên trong quá trình biến đổi ta nên có xu hướng giữ nguyên tính bình đẳng của chúng.

– Các biểu thức có vai trò bình đẳng nên tìm cách biến đổi một biểu thức và áp dụng tương tự cho toàn thể.

– So sánh bậc của vế trái và bậc của vế phải để xét xem có cần phải thêm bớt vào một hoặc một số số hạng nào đó có bậc thấp hơn hoặc cao hơn hoặc một hằng số để khi sử dụng BĐT Côsi ta thu được bậc cần thiết.

– Hết sức chú ý điều kiện để dấu bằng xảy ra, điều kiện đó giúp ích rất nhiều trong quá trình tìm tòi hướng giải.

Bài 1. Chứng minh rằng:

Phân tích:

– Các biến có vai trò bình đẳng nên trong quá trình biến đổi ta nên có xu hướng giữ nguyên tính bình đẳng của chúng.

– Các biểu thức có vai trò bình đẳng nên tìm cách biến đổi một biểu thức và áp dụng tương trợ cho toàn thể.

– Bậc của vế trái và bậc của vế phải bằng nhau (cùng bằng 6) nên không cần phải thêm bớt vào một hoặc một số số hạng nào đó có bậc thấp hơn hoặc cao hơn.