KHÓA HỌC: TOÁN CAO CẤP - GIẢI TÍCH I
BÀI 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ - LỜI GIẢI
1.
sin .sin . .
cos cos
lim lim lim
x x x
x x x x
x x
0 x 2 0 x 2 0 x 2
5 3 5 3
2 2
4 2 2 2 2 15
2
[ do khi x 0 ta có sin ; sin
5 x 5 x 3 x 3 x
2 2 2 2
].
2.
arcsin arcsin
ln arcsin ln ln[ ] ln[ ]
lim lim lim
x x x
x x x
x x x
x x L
x x x
3 3
3
0 2 0 2 0 2
1
Khi x 0 ,
arcsin arcsin
ln[ ] ;arcsin
x x
x x
x x
3 3
1 3 3
arcsin
lim lim
x x
x x
L
x x
3 3
0 3 0 3 1.
3.
[ ]
lim lim
x ln[ ] x ln[ ]
x x
L
x x
1
2
0 0
4 1 1 1 4 1
1 3 1 3
Khi x 0 , [ x ]. x x; ln[ x ] x
1
1 4 2 1 14 2 1 3 3
2
lim
x
x
L
0 x
2 2
3 3
.
4.
ln[ ]
lim lim [ ' ] lim
x x x [ ]
x x x x
L Hospital
0 x 2 0 x 0 x x
1
1
1
2 2 1
lim
x 0 [ x]
1 1
2 1 2
.
Chú ý : nếu thay tương đương ln[ 1 x ] xlà sai luôn đấy nhé.
5.
cos cos [ cos ] [ cos ]
lim lim
x sin x
x x x x
x x
3 3
0 2 0 2
1 1
[ do khi x 0 , sin 2 x x 2 ]
cos cos cos cos
lim lim
x x [ cos ] [ cos cos ]
x x x x
L
x x x x x x x
3
0 2 2 0 2 2
2 3 3
1 1 1 1
1
Khi x 0 ta có : cos ;[ cos ] ;[ cos cos ]
x
x x x x
2
1 1 2 3 3 1 3
2
,/ /
lim
x
x x
L
x x
2 20 2 2
2 2 1
2 3 12
.6. lim lim
arctan
xx x
e x
0 x 0 x
1 1
2 2 2
[thay thế tương đương khi : ; arctan[ ]
x
x 0 e 1 x 2 x 2 x ].
7.sin
lim
x arctan
x x
x x
Khi x ta có : 1 sin x 1 ; arctanx
2 2
, hay nói cách khác là đại lượng x rất lớn so
với đại lượng sin x và arctanx.
[x sin x ] x ; [x arctan x ] x
sin
lim lim
x arctan x
x x x
x x x
1.
8.ln[cos ] ln [cos ] cos
lim lim lim
x x x
x x x
L
0 ax 0 ax 0 ax
3 1 3 1 3 1
[ ] /
lim lim.
x x
x x
ax a x
2 20 0
3 2 9
2
.Vậy dễ thấy để L 1 thì a
9
2
và 2.
9.ln /
lim .ln lim lim [ ' ] lim
x x / x / x
x x
x x L Hospital x
x x
3 30 0 3 0 4 0
1 1
0
1 3 3
.10. lim lim [ ' ]
ax bx ax bxx x
e e ae be
L Hospital a b
0 x 0
.11. lim lim lim
sin sin [ ] [ ] [ ]
cos .sin.
ax bx ax bx ax bxx x x
e e e e e e
0 ax bx 0 a b x a b x 0 a b x
2 2
2 2 2
.lim
ax bxx
e e a b
a b 0 x a b
1
1.
Chú ý khi x 0 ta có
[ ] [ ] [ ]
cos cos ; sin.
a b x a b x a b x
0 1
2 2 2
12. lim lim [ ' ]
x x
x x x
L Hospital
x x x
100 991 50 1 49
2 1 100 2 100 2 49
2 1 50 2 50 2 24
. 17.tan
lim cot lim lim
tan [ ]tan
xx x x x x x
e x
x
0 e 0 x e 0 e x
1 1 1 1
1 1 1
tan
lim
xx
e x
x
0 2
1
[thay thế tương đương]cos cos cos
lim [ ' ] lim lim
cos
xx xx x x
e
x e x e x
L Hospital
x x x x
2 2 20 0 2 0
1
1 1
2 2 2
[cos cos .sin ]
lim [ ' ]
xx
e x x x
L Hospital
20
2 1
2 2
. 18.arcsin arcsin
lim lim lim
x arcsin x arcsin x
x x x x
0 x x 0 x x 0 x 2
1 1
[thay thế tương đương]lim lim
x x
x x
L
x x x
2 20 0
1
1
1 1 1
2 2
Khi x 0 ta có : [ ] [ ]
x
x x x
1
1 1 2 1 2 2 1 1 2
2 2
/
lim lim
x x
x x
L
x x x
2 20 2 0
1 1 2
0
2 1 2
.19. xlim xlim
x x x
x x x
x x x x x x
3 2 33 3 223 3 2 3 3 2 2
1
1
1 1
lim
x
x
x
22
1 1
3 3
[thay thế tương đương mẫu số khi x ].
20.[ ] [ ]
lim lim
x x
x x x x
x x x x L
x x x x
2 22 22 2
1 1
1 1
1 1
Khi x ta chú ý như sau : x 2 x 1 x 2 x x; x 2 x 1 x 2 x x
[do x thì x 0 ].
lim
x
x
L
x
2
1
2
. 21.ln ln
lim lim lim
x ln x [ ]ln x [ ]ln[ [ ]]
x x x x x x x
1 x x 1 x x 1 x x
1 1 1
1 1 1 1 1
ln
lim
x [ ]
x x x
1 x 2
1
1
[khi x 1 ta có ln[ 1 [x 1 ]] x 1 ]
ln ln /
lim lim lim
x [ ] x [ ] x
x x x x x
1 x 2 1 x 1
1 1 1
1 2 1 2 2
[sử dụng quy tắc L'Hospital 2 lần]. Chú ý: với giới hạn dạng mũ ta có công thức chung :[ ] lim [ ].ln [ ]
lim [ ] x x
v x v x u xx x
u x e 0
####### 0
. Đặc biệt với dạng 1
ta thay thế tương đương : ln u x[ ] ln 1 [ [ ]u x 1 ] u x[ ] 1 ].
22.lim.
lim
####### x x
####### x
xxx xLx
e e
####### 1 1
1 1 2
2 3 2
2
.Xét lim. lim lim
/
x xt tx xx x t
L x
x t
1 11 10
2 3
1 2 3
2 1
2 3 2
1
2 1
[đặt t 1 /x]
ln ln ln ln
lim lim [ ' ]
t t t tt t
L Hospital
0 t 0
2 3 2 2 2 3 3 2 3
2 2 2
ln lnln ln
lim
xx xx
e e
1 12 3
2 3 22
6
2
.23. lim
ln
xx
x
x x
10
1
1
Đây là giới hạn dạng 0 thì lim
ln
xx
x
x x
10
1
0
1
chứ đừng cắm đầu làm nhé [chú ý 0 không
phải là dạng vô định nhé]. 24.sin lim sin .ln[tan ]
lim tan x
x x xLx
x e 0 e
0
Xét lim sin .ln[tan ] lim .ln[tan ]
x x
L x x x x
0 0
[thay thế VCB]/ cos
ln[tan ] tan
lim lim [ ' ] lim lim
x / x / x cos. tan x.
x
x x x x
L Hospital
x x x x x
22 20 0 2 0 2 0 2
1
0
1 1 1
[thay thế VCB]sin
lim tan
xx
x e 0
0
1.
25.sin lim sin. ln[ ]
lim ln[ ] x
x x e x Lx
e x e 0 e
1 120
2
Xét lim tan .ln[ cos ] lim .ln[ cos ]
x x
L x x x x
0 0
1 1 [thay thế VCB]
ln[ cos ] sin / [ cos ] sin
lim lim [ ' ] lim
x / x / x cos
x x x x x
L Hospital
x x x
20 0 2 0
1 1
1 1 1
tan
lim lim[ cos ]
/
xx x
x
x e
x
30