§8. CÁC TRƯỜNG HỢP bang nhau CỦA TAM GIÁC VUÔNG A. Tóm tốt kiến thức Ngoài các trường họp bằng nhau đã biết của hai tam giác vuông [hai cạnh góc vuông, một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy, cạnh huyền và một góc nhọn], còn có trường họp bằng nhau theo cạnh huyền - cạnh góc vuông. Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau. A = À' = 90° BC = B'C' AC = A'C' AABC = AA' B' c' [cạnh huyền - cạnh góc vuông] B. Ví dụ giải toán Ví dụ. Cho A ABC nhọn có AH ± BC. Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các AABD, A ACE vuông cân tại B và c. Kẻ DI/EK vuông góc với đường thẳng BC. Chứng minh rằng: AIBD= AHAB. BI = CK. DI + EK = BC. Giải, a] ABD = 90° nên Bị +B2 =90°. A ABH có H = 90° nên Aj + B? = 90° suy ra Aj = B| . AlBDvà AHABcó: ĩ = H = 90o, BỈ = A1 , BD=AB. Do đó AIBD = A HAB [cạnh huyển - góc nhọn]. AIBD = A HAB nên BI = AH. Chứng minh tương tự, ta có AHAC = AKCE [cạnh huyền - góc nhọn] nên CK = AH. Do đó BI = CK [= AH]. AIBD = A HAB nên DI = BH; A HAC = A KCE nên EK = CH. Suy ra DI + EK = BH + CH = BC. Nhận xét. Về phương pháp giải câu b], ta không thể chứng minh trực tiếp được mà dùng đoạn thẳng trung gian. Để chứng minh đoạn thẳng BC bằng tổng hai đoạn thẳng DI và EK, ta chia BC thành hai đoạn, rồi chứng minh một đoạn bằng DI, một đoạn bằng EK. Ưu tiên điếm có sẩn trong hình. c. Hưỏng dẫn giải bài tạp trong sách giáo khoa Bài 63. a] AAHB = AAHC [cạnh huyền - cạnh góc vuông] HB = HC. b] AAHB = AAHC => BAH = CAH . Bài 64. Bổ sung AB = DE thì AABC = ADEF[c.g.c]. Bổ sung c = F thì AABC = ADEF [g.c.g]. Bổ sung BC = EF thì AABC = ADEF [cạnh huyền - cạnh góc vuông]. Bài 65. a] AABH = AACK [cạnh huyền - góc nhọn] => AH = AK. AAIH = AAIK [cạnh huyền - cạnh góc vuông] => IAH = IAK => AI là tia phân giác của góc A. Bài 66. AADM = AAEM [cạnh huyền - góc nhọn]. Suy ra MD = ME, AMDB = AMEC [cạnh huyền - cạnh góc vuông]. Ta còn suy ra: AD = AE, BD = CE nên AB = AC. Do đó AAMB = AAMC[c.c.c]. D. Bài tạp luyện thêm Cho A ABC vuông tại A có AB < AC. Kẻ tia phân giác góc ABC cắt AC tại D. Kẻ DE vuông góc với BC tại E. Hai đường thắng BA và ED cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: AABD= AEBD. AADH = AEDC. AAHC= AECH. A BEH = A BAC. Cho AABC nhọn có AH là đường cao. Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABD, ACE vuông cân tại A. Gọi I, K là chân đường vuông góc kẻ từ D, E xuống đường thẳng AH. Gọi o là giao điểm của DE với HK. Chứng minh rằng: AIAD = AHBA. DI = EK. OD = OE. Cho A ABC cân ở A. Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với AB. qua c vẽ đường thảng vuông góc với AC, hai đường thẳng này cắt nhau ở D. Chứng minh AD là tia phân giác góc BAC. Cho A ABC cân ớ A. Trôn cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Từ D kẻ đường vuông góc với BC cắt AB ở M, từ E kẻ đường vuông góc với BC cắt AC ở N. Chứng minh MD = NE. MN cắt DE tại I. Chứng minh I là trung điểm của DE. Lời giải - Hướng dần - Đáp sô' 1. a] AABDvà AEBDcó: BAD = BED [= 90° j; Bj = Bọ [giả thiết]; BD là cạnh chung. Do đó A ABD = A EBD [cạnh huyền - góc nhọn], b] AADHvà AEDCcó: DAH = DEc[=90°]; Dị - Dọ [đối đỉnh]; AD = ED [vì A ABD = AEBD]. Do đó AADH= AEDC[g.c.g]. A ADH = A EDC suy ra AH = EC, AD = DE, DC = DH => AC = EH. Xét AACHvà AEHCcó: HAC = CEh[= 90°]; AH = CE; AC = EH. Do đó AAHC= AECH.[c.g.c]. Xét A BEH và A BAC có: BEH = BAc[=90°]; B chung; EH = AC [AAHC = AECH]. Suy ra ABEH = ABAC [cạnh góc vuông - góc nhọn]. 2. a] AIDA và AHAB có: DĨA = AHB = 90°; AD = AB [giả thiết]; Aj = ABH [cùng phụ với A 2 ]. Do đó AIAD = AHBA [cạnh huyền - góc nhọn], b] AIAD = AHBA nên DI =AH. Chứng minh tương tự, ta có AKA.E = AHCA nên EK = AH. Do đó DI = EK. AIDO và AKEO có: DIO = ẼKÕ = 90° ; DI = EK [chứng minh trên]; q = q, [đối đinh]. Do đó A1DO = AKEO, suy ra OD = OE. Xét A ABD và A ACD có: ABD = ACD = 90°; AB = AC [giả thiết]; AD là cạnh chung. Suy ra A ABD = A ACD [cạnh huyền - cạnh góc vuông] do đó Aị = A 7 , suy ra AD là tia phân giác của góc BAC. fc|E a] ABDMvà ACENcó: Ạ D = Ê = 90° ; Bị = C2 [ = c, j; BD = CE [giả thiết]. Nên ABDM = ACEN [g.c.g]. Suy ra DM = EN. b] A DMI và A ENI có: D = Ê = 90° ; MD = EN [chứng minh trên]; lị = I-, [đối đỉnh]; nên ADMI - AENI [g.c.g]. Do đó DI = EI suy ra I là trung điểm của DE. Nhận xét Càu b] giải được có sử dụng kết quả của câu a]. Vì vậy những bài có nhiều câu hỏi, ta nên chú ý khai thác ý của câu trước để phục vụ hiệu quả cho câu sau. Nếu bỏ điểm D và E ở giả thiết và câu hỏi a, thì câu b là câu khó. Nếu vận dụng định lí Py-ta-go, ta có thể thấy rằng cạnh huyền của tam giác vuông là cạnh lớn nhất, thì ta có câu hay và khó là: Chứng minh MN > BC.
I. Các kiến thức cần nhớ
1. Nhắc lại các trường hợp bằng nhau đã biết
+ Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau [cạnh-góc-cạnh].
+ Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau [góc-cạnh-góc].
+ Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
2. Trường hợp bằng nhau cạnh huyền và cạnh góc vuông
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Ví dụ: \[\left. \begin{array}{l}\widehat A = \widehat {A'} = {90^0}\\BC = B'C'\\AC = A'C'\end{array} \right\}\]\[ \Rightarrow \Delta ABC = \Delta A'B'C'\left[ {ch.cgv} \right]\]
II. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm hoặc chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau
Phương pháp:
- Xét hai tam giác vuông
- Kiểm tra các điều kiện bằng nhau cạnh-góc-cạnh, góc-cạnh-góc, cạnh huyền-góc nhọn, cạnh huyền-cạnh góc vuông.
- Kết luận hai tam giác bằng nhau
Dạng 2: Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau. Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc.
Phương pháp:
+ Chọn hai tam giác vuông có các yếu tố cần tính hoặc chứng minh.
+ Chứng minh hai tam giác vuông đó bằng nhau theo một trong các trường hợp đã học
+ Suy ra các cạnh [góc] tương ứng bằng nhau và kết luận.
– Ngoài trường hợp bằng nhau đã biết của hai tam giác vuông, còn có trường hợp bằng nhau theo cạnh huyền – cạnh góc vuông.
Bạn đang xem: Cạnh huyền góc nhọn
I. Các kiến thức cần nhớ
1. Nhắc lại các trường hợp bằng nhau đã biết
+ Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau [cạnh-góc-cạnh].
+ Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau [góc-cạnh-góc].
+ Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau [cạnh huyền - góc nhọn]
2. Trường hợp bằng nhau cạnh huyền và cạnh góc vuông
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Ví dụ: \[\left. \begin{array}{l}\widehat A = \widehat {A'} = {90^0}\\BC = B'C'\\AC = A'C'\end{array} \right\}\]\[ \Rightarrow \Delta ABC = \Delta A'B'C'\left[ {ch.cgv} \right]\]
II. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm hoặc chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau
Phương pháp:
- Xét hai tam giác vuông
- Kiểm tra các điều kiện bằng nhau cạnh-góc-cạnh, góc-cạnh-góc, cạnh huyền-góc nhọn, cạnh huyền-cạnh góc vuông.
- Kết luận hai tam giác bằng nhau
Dạng 2: Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau. Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc.
Phương pháp:
+ Chọn hai tam giác vuông có các yếu tố cần tính hoặc chứng minh.
+ Chứng minh hai tam giác vuông đó bằng nhau theo một trong các trường hợp đã học
+ Suy ra các cạnh [góc] tương ứng bằng nhau và kết luận.
Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông nằm trong chương trình Toán lớp 7. Cùng GiaiNgo tìm hiểu kiến thức hữu ích này nhé!
Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông là kiến thức vô cùng hữu ích trong chương trình Toán lớp 7. Mời các bạn đọc giả cùng GiaiNgo tóm tắt lý thuyết cơ bản và áp dụng giải một số bài tập nhé!
Hai tam giác bằng nhau là gì?
Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.
Được tài trợ
Để kí hiệu sự bằng nhau của tam giác ABC và tam giác DEF, ta có thể viết: ΔABC = ΔDEF
Được tài trợ
Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông
Hai cạnh góc vuông
Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau [cạnh – góc – cạnh].
Ví dụ minh họa:
Xét hai tam giác ABC và DEF có:
AB = DE
AC = DF
⇒ Δ ABC = ΔDEF [hai cạnh góc vuông].
Cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh đó
Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau [ góc – cạnh – góc ].
Ví dụ minh họa:
Xét hai tam giác ABC và DEF có:
AC = DF
Góc C = góc F
⇒ Δ ABC = ΔDEF [cạnh góc vuông – góc nhọn].
Cạnh huyền – Góc nhọn
Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau [ góc – cạnh – góc].
Ví dụ minh họa:
Xét hai tam giác ABC và EDF có:
BC = EF
Góc B = góc E
⇒ Δ ABC = ΔDEF [cạnh huyền – góc nhọn].
Cạnh huyền – Cạnh góc vuông
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
Ví dụ minh họa:
Xét hai tam giác ABC và DEF có:
AC = DF
BC = EF
⇒ Δ ABC = ΔDEF [cạnh huyền – cạnh góc vuông].
Xem thêm:
Bài tập trường hợp bằng nhau của tam giác vuông
Câu 1 bài 8 trang 135 SGK Toán lớp 7 tập 1
Trên mỗi hình 143, 144, 145 có các tam giác vuông nào bằng nhau? Vì sao?
Trả lời:
Hình 143:
Xét ΔABH vuông tại H và ΔACH vuông tại H có:
AH cạnh chung
BH = CH [giả thiết]
⇒ ΔABH = ΔACH [hai cạnh góc vuông].
Hình 144:
Xét ΔDKE vuông tại K và ΔDKF vuông tại F có:
DK cạnh chung
Góc EDK = góc FDK
⇒ ΔDKE = ΔDKF [cạnh góc vuông – góc nhọn kề].
Hình 145:
Xét ΔOMI vuông tại M và ΔONI vuông tại N có:
OI chung
Góc MOI = góc NOI [giả thiết]
⇒ ΔOMI = ΔONI [cạnh huyền – góc nhọn].
Câu 2 bài 8 trang 136 SGK Toán lớp 7 tập 1
Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC [hình 147]. Chứng minh rằng ΔAHB = ΔAHC [giải bằng 2 cách].
Trả lời:
Cách 1:
Tam giác ABC cân tại A nên góc B = góc C và AB = AC [tính chất tam giác cân].
Xét hai tam giác AHB và AHC đều vuông tại H, có:
AB = AC [chứng minh trên]
Góc B = góc C [chứng minh trên]
⇒ ΔAHB = ΔAHC [cạnh huyền – góc nhọn].
Cách 2:
Xét hai tam giác vuông AHB và AHC có:
AB = AC [chứng minh trên]
AH cạnh chung
⇒ ΔAHB = ΔAHC [cạnh huyền – cạnh góc vuông].
Câu 64 trang 136 SGK Toán lớp 7 tập 1
Các tam giác vuông ABC và DEF có góc A = góc D = 90 độ, AC = DF. Hãy bổ sung thêm một điều kiện bằng nhau để ΔABC = ΔDEF
Trả lời:
Trường hợp 1: ΔABC=ΔDEF theo trường hợp hai cạnh góc vuông.
Xét hai tam giác vuông ABC và DEF có:
AC = DF [giả thiết]
Bổ sung thêm điều kiện AB = DE thì ΔABC = ΔDEF [hai cạnh góc vuông].
Trường hợp 2: ΔABC = ΔDEF theo trường hợp cạnh góc vuông – góc nhọn kề.
Xét hai tam giác vuông ABC và DEF có:
AC = DF [giả thiết]
Bổ sung thêm điều kiện góc C = góc F thì ΔABC = ΔDEF [cạnh góc vuông – góc nhọn kề].
Trường hợp 3: ΔABC = ΔDEF theo trường hợp cạnh huyền cạnh góc vuông.
Xét hai tam giác vuông ABC và DEF có:
AC = DF [giả thiết]
Bổ sung thêm điều kiện BC = EF thì ΔABC = ΔDEF [cạnh huyền – cạnh góc vuông].
Trên đây là tất tần tật kiến thức về các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông. Hi vọng bài viết này của GiaiNgo hữu ích cho các bạn. Đừng quên ủng hộ GiaiNgo ở những chủ đề tiếp theo nhé!