Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng [P] ta chứng minh:
– a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong [P].
– a song song với đường thẳng b mà b vuông góc với [P].
Bài tập chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD có hai mặt và ABC và BCD là hai tam giác cân có chung đáy BC.
Điểm I là trung điểm của cạnh BC. a] Chứng minh $BC\bot [ADI]$ b] Gọi AH là đường cao trong tam giác ADI. Chứng minh rằng $AH\bot [BCD]$ |
Lời giải chi tiết
a] Do các tam giác ABC và BCD là hai tam giác cân nên tại A và D ta có: $\left\{ \begin{array} {} AI\bot BC \\ {} DI\bot BC \\ \end{array} \right.$ [trong tam giác cân đường trung tuyến đồng thời là đường cao]
Do đó $BC\bot [ADI]$.
b] Do AH là đường cao trong tam giác ADI nên $AH\bot DI$
Mặt khác $BC\bot [ADI]\Rightarrow BC\bot AH$
Do đó $AH\bot [BCD]$
| Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. $SA\bot [ABCD]$. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD.
a] Chứng minh rằng $BC\bot [SAB],CD\bot [SAD]$. b] Chứng minh rằng $AM\bot [SBC];AN\bot [SCD]$. c] Chứng minh rằng $SC\bot [AMN]$ và MN//BD d] Gọi K là giao điểm của SC với mặt phẳng [AMN]. Chứng minh rằng tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc. |
Lời giải chi tiết
a] Do $SA\bot [ABCD]\Rightarrow SA\bot BC$
Mặt khác ABCD là hình vuông nên $BC\bot AB$
Khi đó $\left\{ \begin{array} {} BC\bot AB \\ {} BC\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow BC\bot [SAB]$
Tương tự chứng minh trên ta có: $CD\bot [SAD]$
b] Do $BC\bot [SAB]\Rightarrow BC\bot AM$
Mặt khác $AM\bot SB\Rightarrow AM\bot [SBC]$
Tương tự ta có: $AN\bot [SCD]$
c] Do $\left\{ \begin{array} {} AM\bot [SBC] \\ {} AN\bot [SCD] \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} AM\bot SC \\ {} AN\bot SC \\ \end{array} \right.\Rightarrow SC\bot [AMN]$
Hai tam giác vuông SAB và SAD bằng nhau có các đường cao tương ứng là AM và AN nên CM = DN. Mặt khác tam giác SBD cân tại đỉnh S nên MN//BD.
d] Do ABCD là hình vuông nên $AC\bot BD$, mặt khác $SA\bot BD\Rightarrow BD\bot [SAC]$
Do $MN//BD\Rightarrow MN\bot [SAC]\Rightarrow MN\bot AK$
| Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc.
a] Chứng minh hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên mặt phẳng [BCD] trùng với trực tâm của tam giác BCD. b] Chứng minh rằng $\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}+\frac{1}{A{{D}^{2}}}$ c] Chứng minh rằng tam giác BCD có 3 góc nhọn. |
Lời giải chi tiết
a] Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng [BCD] thì $AH\bot [BCD]$
Ta có $\left\{ \begin{array} {} AD\bot AB \\ {} AD\bot AC \\ \end{array} \right.\Rightarrow AD\bot [ABC]\Rightarrow AD\bot BC$
Mặt khác $AH\bot BC\Rightarrow BC\bot [ADH]\Rightarrow BC\bot DH$
Tương tự chứng minh trên ta có: $BH\bot CD$
Do đó H là trực tâm của tam giác BCD.
b] Gọi $E=DH\cap BC$, do $BC\bot [ADH]\Rightarrow BC\bot AE$
Xét ∆ ABC vuông tại A có đường cao AE ta có: $\frac{1}{A{{E}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}$
Lại có: $\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{D}^{2}}}+\frac{1}{A{{E}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}+\frac{1}{A{{D}^{2}}}$[đpcm].
c] Đặt AB = x; AC = y; AD = z. Ta có: $\left\{ \begin{array} {} BC=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \\ {} BD=\sqrt{{{x}^{2}}+{{z}^{2}}} \\ {} CD=\sqrt{{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} \\ \end{array} \right.$
Khi đó $\text{cosB=}\frac{B{{C}^{2}}+B{{D}^{2}}-C{{D}^{2}}}{2.BC.BD}=\frac{{{x}^{2}}}{BC.BD}>0\Rightarrow \widehat{CBD}