Định nghĩa đạo hàm cấp cao
Giả sử hàm số y = f[x] có đạo hàm f'[x]
Đạo hàm của hàm số f'[x], nếu có, được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số f[x], kí hiệu là y'' hay f''[x].
Đạo hàm của hàm số f''[x], nếu có, được gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số f[x], kí hiệu là y''' hay f'''[x].
Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp [n-1] được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số y = f[x], kí hiệu là y[n] hay f[n][x].
\[f^{[n]} [x] = [f^{[n-1]} [x]]'\] , với n thuộc Z và n >= 2
Các công thức đạo hàm thường gặp
Đạo hàm của hàm số số không đổi [hằng số] bằng 0. Ví dụ: 5' = 0, 49' = 0.
Với c là hằng số, n là số tự nhiên. Các quy tắc tính đạo hàm như sau:
\[c' = 0\].
\[[x^n]' = n.x^{n-1}\].
\[[u_1 \pm u_2 \pm ... \pm u_n]' = u_1' \pm u_2' \pm ... \pm u_n'\].
\[[uv]' = u'v + uv'\].
\[[cu]' = cu'\].
\[[uvw]' = u'vw + uv'w + uvw'\].
\[[\frac{u}{v}]' = \frac{u'v-uv'}{v^2}\].
Đạo hàm của hàm số hợp: Cho y = f[u], u = g[x] thì y = f[g[x]] gọi là hàm số hợp.
\[y_x' = y_u'.u_x'\].
Công thức đạo hàm cấp cao
\[[x^m]^{[n]} = m[m-1]...[m-n+1].x^{m-n}\].
\[[lnx]^{[n]} = \frac{[-1]^{n-1}[n-1]!}{x^n}\].
\[[a^x]^{[n]} = a^x.ln^na\], với a > 0.
\[[sinx]^{[n]} = sin[x + n\frac{\pi}{2}]\].
\[[cosx]^{[n]} = cos[x + n\frac{\pi}{2}]\].
\[[e^x]^{[n]} = e^x\].
\[[\frac{1}{x}]^{[n]} = [-1]^n.n!.x^{-n-1}\].
Công thức Lepnit
Nếu u và v là các hàm khả vi n lần thì: \[[uv]^{[n]} = \sum_{k=0}^{n} {C_n^k} u^{[k]}.v^{[n-k]}\].
với \[{C_n^k}\] kí hiệu tổ hợp chập k của n phần tử:
\[{C_n^k} = \frac{n[n-1]...[n-k+1]}{k!}\].
Bài tập đạo hàm: Tổng hợp các dạng bài tập đạo hàm [2018]
Các bài viết tham khảo thêm về Toán học:
- Đạo hàm là gì? Ý nghĩa của đạo hàm
- Vi phân là gì? Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng
- Giới hạn của hàm số - lim
- Đạo hàm cấp cao và các công thức đạo hàm thường gặp
- Ý nghĩa của Tích Vô Hướng
- Trị riêng và vector riêng của ma trận
- Số phức là gì? Giải thích dễ hiểu về số phức
- Tổng hợp các dạng bài tập đạo hàm [2018]
- Đo góc của hai vector. Ứng dụng: Đo độ tương tự của 2 vector - cosine similarity
- Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
- Cách tính và ý nghĩa ma trận hiệp phương sai [covariance matrix]
- Tổng hợp các bài post toán học