Công thức tính nhanh đạo hàm cấp cao của các hàm thường gặp: hàm đa thức, hàm lượng giác sin,cos, tan,cot , hàm mũ, hàm; công thức lepnit
Định nghĩa đạo hàm cấp cao, bảng công thức đạo hàm thường gặp.
Giả sử hàm số y = f[x] có đạo hàm f'[x]
Đạo hàm của hàm số f'[x], nếu có, được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số f[x], kí hiệu là y'' hay f''[x].
Đạo hàm của hàm số f''[x], nếu có, được gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số f[x], kí hiệu là y''' hay f'''[x].
Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp [n-1] được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số y = f[x], kí hiệu là y[n] hay f[n][x].
\[f^{[n]} [x] = [f^{[n-1]} [x]]'\] , với n thuộc Z và n >= 2
Các công thức đạo hàm thường gặp
Đạo hàm của hàm số số không đổi [hằng số] bằng 0. Ví dụ: 5' = 0, 49' = 0.
Với c là hằng số, n là số tự nhiên. Các quy tắc tính đạo hàm như sau:
\[c' = 0\].
\[[x^n]' = n.x^{n-1}\].
\[[u_1 \pm u_2 \pm ... \pm u_n]' = u_1' \pm u_2' \pm ... \pm u_n'\].
\[[uv]' = u'v + uv'\].
\[[cu]' = cu'\].
\[[uvw]' = u'vw + uv'w + uvw'\].
\[[\frac{u}{v}]' = \frac{u'v-uv'}{v^2}\].
Đạo hàm của hàm số hợp: Cho y = f[u], u = g[x] thì y = f[g[x]] gọi là hàm số hợp.
\[y_x' = y_u'.u_x'\].
Công thức đạo hàm cấp cao
\[[x^m]^{[n]} = m[m-1]...[m-n+1].x^{m-n}\].
\[[lnx]^{[n]} = \frac{[-1]^{n-1}[n-1]!}{x^n}\].
\[[a^x]^{[n]} = a^x.ln^na\], với a > 0.
\[[sinx]^{[n]} = sin[x + n\frac{\pi}{2}]\].
\[[cosx]^{[n]} = cos[x + n\frac{\pi}{2}]\].
\[[e^x]^{[n]} = e^x\].
\[[\frac{1}{x}]^{[n]} = [-1]^n.n!.x^{-n-1}\].
Công thức Lepnit
Nếu u và v là các hàm khả vi n lần thì: \[[uv]^{[n]} = \sum_{k=0}^{n} {C_n^k} u^{[k]}.v^{[n-k]}\].
với \[{C_n^k}\] kí hiệu tổ hợp chập k của n phần tử:
\[{C_n^k} = \frac{n[n-1]...[n-k+1]}{k!}\].
Bài tập đạo hàm: Tổng hợp các dạng bài tập đạo hàm [2018]
Các bài viết tham khảo thêm về Toán học:
by HOCTOAN24H · 20/10/2019 Để tính đạo hàm của hàm phân thức hữu tỉ thì các bạn sử dụng chung một công thức: $\left[\dfrac{u}{v}\right]’=\dfrac{u’.v-u.v’}{v^2}$ Một số dạng đặc biệt của hàm phân thức: $ \left [\dfrac{1}{x}\right]’=\dfrac{-1}{x^2}$; $ \left [\dfrac{1}{u}\right]’=\dfrac{-u’}{u^2}$ Tuy nhiên cũng có một số hàm phân thức chúng ta có thể sử dụng những công thức tính đạo hàm nhanh. Thầy sẽ nói cụ thể trong từng dạng bên dưới nhé. Các em xem thêm bài giảng: $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ Công thức tính nhanh đạo hàm: $y’=\dfrac{ad-bc}{[cx+d]^2}$ Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số sau:a. $y=\dfrac{2x+3}{4x+2}$ b. $y=\dfrac{-x-2}{2x+5}$1. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 1/ bậc 1
Hướng dẫn:
a. $y=\dfrac{2x+3}{4x+2}$
=> $y’=\dfrac{[2x+3]’.[4x+2]-[2x+3].[4x+2]’}{[4x+2]^2}$
=> $y’=\dfrac{2[2x+2]-[2x+3].4}{[4x+2]^2}$
=> $y’=\dfrac{8x+4-8x-12}{[4x+2]^2}$
=> $y’=\dfrac{-8}{[4x+2]^2}$
Sử dụng công thức tính nhanh đạo hàm:
$y’=\dfrac{2.2-3.4}{[4x+2]^2}$ => $y’=\dfrac{-8}{[4x+2]^2}$
b. $y=\dfrac{-x-2}{2x+5}$
=> $y’=\dfrac{[-x-2]’.[2x+5]-[-x-2][2x+5]’}{[2x+5]^2}$
=> $y’=\dfrac{-1.[2x+5]-[-x-2].2}{[2x+5]^2}$
=> $y’=\dfrac{-2x-5+2x+4}{[2x+5]^2}$
=> $y’=\dfrac{-1}{[2x+5]^2}$
Sử dụng công thức nhanh tính đạo hàm:
$y= \dfrac{-x-2}{2x+5}$ => $y’=\dfrac{[-1].5-[-2].2}{[2x+5]^2}=\dfrac{-5+4}{[2x+5]^2}=\dfrac{-1}{[2x+5]^2}$
2. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 1
$y=\dfrac{ax^2+bx+c}{dx+e}$
Công thức tính nhanh đạo hàm: $y=\dfrac{adx^2+2aex+be-cd}{[dx+e]^2}$
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số sau:a. $y=\dfrac{x^2+2x+3}{4x+5}$
b. $y=\dfrac{2x^2+3x-4}{-5x+6}$
Hướng dẫn:
a. $y’=\dfrac{[x^2+2x+3]’.[4x+5]-[x^2+2x+3][4x+5]’}{[4x+5]^2}$
=> $y’=\dfrac{[2x+2].[4x+5]-[x^2+2x+3].4}{[4x+5]^2}$
=> $y’=\dfrac{8x^2+18x+10-4x^2-8x-12}{[4x+5]^2}$
=> $y’=\dfrac{4x^2+10x-2}{[4x+5]^2}$
Sử dụng công thức giải nhanh đạo hàm:
$y’=\dfrac{1.4x^2+2.1.5x+2.5-3.4}{[4x+5]^2}=\dfrac{4x^2+10x-2}{[4x+5]^2}$
b. $y’=\dfrac{[2x^2+3x-4]’.[-5x+6]-[2x^2+3x-4].[-5x+6]’}{[-5x+6]^2}$
=> $y’=\dfrac{[4x+3].[-5x+6]-[2x^2+3x-4].[-5]}{[-5x+6]^2}$
=> $y’=\dfrac{-20x^2+9x+18-[-10x^2-15x+20]}{[-5x+6]^2}$
=> $y’=\dfrac{-20x^2+9x+18+10x^2+15x-20]}{[-5x+6]^2}$
=> $y’=\dfrac{-10x^2+24x-2}{[-5x+6]^2}$
Sử dụng công thức tính nhanh đạo hàm:
$y’=\dfrac{2.[-5]x^2+2.2.6x+3.6-[-4][-5]}{[-5x+6]^2}=\dfrac{-10x^2+24x-2}{[-5x+6]^2}$
3. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 2
$y=\dfrac{a_1x^2+b_1x+c_1}{a_2x^2+b_2x+c_2}$
Công thức tính nhanh đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 2
=> $y’=\dfrac{[a_1b_2-a_2b_1]x^2+2[a_1c_2-a_2c_1]x+b_1c_2-b_2c_1}{[a_2x^2+b_2x+c_2]^2}$
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số sau:
a. $y=\dfrac{x^2+x-2}{-x^2+3x+2}$
Ta có:
$y’=\dfrac{[x^2+x-2]’.[-x^2+3x+2]-[x^2+x-2].[-x^2+3x+2]’}{[-x^2+3x+2]^2}$
=> $y’=\dfrac{[2x+1].[-x^2+3x+2]-[x^2+x-2].[-2x+3]}{[-x^2+3x+2]^2}$
=> $y’=\dfrac{-2x^3+6x^2+4x-x^2+3x+2+2x^3-3x^2+2x^2-3x-4x+6}{[-x^2+3x+2]^2}$
=> $y’=\dfrac{4x^2+8}{[-x^2+3x+2]^2}$
Sử dụng công thức tính nhanh đạo hàm:
$y’=\dfrac{[1.3-1.[-1]]x^2+2[1.2-[-2][-1]]x+[1.2-[-2].3]}{ [-x^2+3x+2]^2 }$
=> $y’=\dfrac{4x^2+8}{[-x^2+3x+2]^2}$
4. Một số trường hợp đặc biệt khi tính đạo hàm của hàm phân thức
Ví dụ 4: Tính đạo hàm các hàm số sau:a. $y=\dfrac{2}{x^2-2x+3}$
b. $y=\left[\dfrac{x+2}{3x-1}\right]^3$
Hướng dẫn:
a. $y’=\dfrac{-2.[x^2-2x+3]’}{[x^2-2x+3]^2}=\dfrac{-2[2x-2]}{[x^2-2x+3]^2}$
b. $y’=3.\left[\dfrac{x+2}{3x-1}\right]^2\left[\dfrac{x+2}{3x-1}\right]’= 3.\left[\dfrac{x+2}{3x-1}\right]^2.\dfrac{-7}{[3x-1]^2} $
[ý này các bạn áp dụng công thức đạo hàm $u^{\alpha}=\alpha.u^{\alpha-1}.u’$ nhé]
Bài giảng trên cũng khá chi tiết và đầy đủ về các dạng toán tính đạo hàm của một số hàm phân thức hữu tỉ. Nói chúng để tính được đạo hàm dạng này thì các bạn chỉ cần sử dụng chung duy nhất một công thức $[\dfrac{u}{v}]’$ là có thể tính thoải mái rồi. Nếu các bạn có thêm công thức tính nào hay thì hãy chia sẻ dưới khung bình luận nhé.
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
BẠN CÓ THỂ XEM THÊM: Đạo hàmĐạo hàm căn thứcĐạo hàm hàm hợp
Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!