- LG a
- LG b
LG a
Trong mặt phẳng phức cho điểm A biểu diễn số phức \[\omega \]. Chứng minh rằng phép biến đổi của mặt phẳng phức biến điểm biểu diễn số phức z tùy ý thành biểu diễn số phức z sao cho \[z' - \omega = i\left[ {z - \omega } \right]\] là phép quay tâm A góc quay \[{\pi \over 2}\]
Giải chi tiết:
M là điểm biểu diễn số phức z, M là điểm biểu diễn số phức z.
Khi M trùng với A tức là \[z = \omega \] thì \[z' = \omega \] nên A biến thành chính nó. Khi M không trung với A thì \[\left| {\overrightarrow {AM'} } \right| = \left| {z' - \omega } \right| = \left| i \right|\left| {z - \omega } \right| = \left| {z - \omega } \right| = \left| {\overrightarrow {AM} } \right|\] và một acgumen của \[{{z' - \omega } \over {z - \omega }} = i\] là số đo góc lượng giác [AM,AM'] nên góc này là \[{\pi \over 2}\]. Từ đó phép biến đổi đang xét là phép quay tâm A, góc quay \[{\pi \over 2}\]
LG b
Giả sử ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số \[\alpha ,\beta ,\gamma \]. Gọi P, Q theo thứ tự là tâm các hình vuông dựng bên ngoài ABC trên các cạnh AB, AC và gọi N là trung điểm của BC. Tìm các số phức biểu diễn bởi các vectơ \[\overrightarrow {NQ} ,\overrightarrow {NP} \] rồi chứng minh NQP là tam giác vuông cân.
Giải chi tiết:
[h.4.15] Giả sử ta đi dọc chu vi tam giác ABC theo ngược chiều quay kim đồng hồ. Khi đó Q là ảnh của C qua phép quay tâm là trung điểm của CA góc quay \[{\pi \over 2}\] nên nếu kí hiệu q là số phức biểu diễn bởi điểm Q thì theo câu a] ta có
\[q - {{\gamma + \alpha } \over 2} = i\left[ {\gamma - {{\gamma + \alpha } \over 2}} \right]\]
Từ đó
\[q = {1 \over 2}\left[ {\left[ {1 + i} \right]\gamma + \left[ {1 - i} \right]\alpha } \right]\]
Đổi \[\alpha \] thành \[\beta \], \[\gamma \] thành \[\alpha \], ta suy ra p biểu diễn bởi P là
\[p = {1 \over 2}\left[ {\left[ {1 + i} \right]\alpha + \left[ {1 - i} \right]\beta } \right]\]
Vậy \[\overrightarrow {NP} \] biểu diễn số phức \[p - {1 \over 2}\left[ {\beta + \gamma } \right] = {1 \over 2}\left[ {\left[ {1 + i} \right]\alpha - i\beta - \gamma } \right]\] và \[\overrightarrow {NQ} \] biểu diễn số phức
\[q - {1 \over 2}\left[ {\beta + \gamma } \right] = {1 \over 2}\left[ {\left[ {1 - i} \right]\alpha - \beta + i\gamma } \right]\]. Rõ ràng \[i,{1 \over 2}\left[ {\left[ {1 - i} \right]\alpha - \beta + i\gamma } \right] = {1 \over 2}\left[ {\left[ {1 + i} \right]\alpha - i\beta - \gamma } \right]\], nên suy ra \[NQ = NP\] và \[\overrightarrow {NQ},\overrightarrow {NP} \] vuông góc [h.4.15]