Cho lăng trụ tam giác đều ABC A BC có tất cả các cạnh bằng a tính khoảng cách giữa AA và BC

Phương pháp giải:
- Gọi N là trung điểm của CC , chứng minh $d\left[ AM;B{C}' \right]=d\left[ B{C}';\left[ AMN \right] \right]=d\left[ B;\left[ AMN \right] \right]$.
- Đổi $d\left[ B;\left[ AMN \right] \right]$ sang $d\left[ C;\left[ AMN \right] \right]$.
- Dựng và tính khoảng cách, sử dụng phương pháp dựng khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng.
Giải chi tiết:

Gọi N là trung điểm của CC $\Rightarrow MN$ là đường trung bình của tam giác BCC.
$\Rightarrow MN//B{C}'\Rightarrow B{C}'//\left[ AMN \right]\supset AM$.
Khi đó ta có $d\left[ AM;B{C}' \right]=d\left[ B{C}';\left[ AMN \right] \right]=d\left[ B;\left[ AMN \right] \right]$.
Ta có: $BC\cap \left[ AMN \right]=M\Rightarrow \dfrac{d\left[ B;\left[ AMN \right] \right]}{d\left[ C;\left[ AMN \right] \right]}=\dfrac{BM}{CM}=1$ $\Rightarrow d\left[ B;\left[ AMN \right] \right]=d\left[ C;\left[ AMN \right] \right]$.
Trong [BCCB] kẻ $CH\bot MN\left[ H\in MN \right]$ ta có:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
AM\bot CM \\
AM\bot CN \\
\end{array} \right.\Rightarrow AM\bot \left[ BC{C}'{B}' \right]\Rightarrow AM\bot CH$
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
CH\bot AM \\
CH\bot MN \\
\end{array} \right.\Rightarrow CH\bot \left[ AMN \right]\Rightarrow d\left[ C;\left[ AMN \right] \right]=CH$
$\Rightarrow d\left[ AM;B{C}' \right]=CH$.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông CMN có: $CH=\dfrac{CM.CN}{\sqrt{C{{M}^{2}}+C{{N}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}}{\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$.
Vậy $d\left[ AM;B{C}' \right]=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$.