Cho x + y là hai số không âm thỏa ab 9 giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 4a b bằng

A. Các kiến thức thường sử dụng là:+ Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức: 2a bab+≥; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b”.+ Bất đẳng thức: ( )( ) ( )22 2 2 2ac bd a b c d+ ≤ + +(BĐT: Bunhiacopxki);Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a bc d=.+ a b a b+ ≥ +; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0.+ Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.Nếu [ ]2( )y a f x= + thì min y = a khi f(x) = 0.Nếu [ ]2( )y a f x= − thì max y = a khi f(x) = 0.+ Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách 2 ví dụ 1 dạng 2).C. CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI• Dạng 1 : CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨCBài toán 1: Tìm GTNN của các biểu thức:a)24 4 11A x x= + +b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)c)2 22 4 7C x x y y= − + − +Giải:a) ( )22 24 4 11 4 4 1 10 2 1 10 10A x x x x x= + + = + + + = + + ≥⇒ Min A = 10 khi 12x = −.b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3)= (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36 ≥ -36⇒ Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5.c) 2 22 4 7C x x y y= − + − + = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + 2 = (x – 1)2 + (y – 2)2 + 2 ≥ 2⇒ Min C = 2 khi x = 1; y = 2.1Bài toán 2: Tìm GTLN của các biểu thức:a) A = 5 – 8x – x2b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4yGiải:a) A = 5 – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21 ≤ 21⇒ Max A = 21 khi x = -4. b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y= -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + 7= -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + 7 ≤ 7⇒ Max B = 7 khi x = 1, 12y = −.Bài toán 3: Tìm GTNN của:a)1 2 3 4M x x x x= − + − + − + −b)( )22 1 3 2 1 2N x x= − − − + Giải:a) 1 2 3 4M x x x x= − + − + − + − Ta có: 1 4 1 4 1 4 3x x x x x x− + − = − + − ≥ − + − =Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1)(4 – x) ≥ 0 hay 1 4x≤ ≤2 3 2 3 2 3 1x x x x x x− + − = − + − ≥ − + − =Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2)(3 – x) ≥ 0 hay 2 3x≤ ≤Vậy Min M = 3 + 1 = 4 khi 2 3x≤ ≤.b) ( )222 1 3 2 1 2 2 1 3 2 1 2N x x x x= − − − + = − − − +Đặt 2 1t x= − thì t ≥ 0Do đó N = t2 – 3t + 2 = 2321( )4t − − 14N⇒ ≥ −.Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 3 302 2t t− = ⇔ =Do đó 14N = − khi 3 52 13 32 42 13 12 22 12 4x xt xx x − = = = ⇒ − = ⇒ ⇒  − = − = −  2Vậy min 1 54 4N x= − ⇔ = hay 14x = −.Bài toán 4: Cho x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức M = x3 + y3.Giải:M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2 22 2 2 22 21( )2 2 2 2 22 2x y x y x yxy x y = + + − + = + + − ÷ 2 21( )2M x y⇒ ≥ +Ngoài ra: x + y = 1 ⇒ x2 + y2 + 2xy = 1 ⇒ 2(x2 + y2) – (x – y)2 = 1=> 2(x2 + y2) ≥ 1Do đó 2 212x y+ ≥ và 2 21 12 2x y x y+ = ⇔ = =Ta có: 2 21( )2M x y≥ + và 2 21 1 1 1( ) .2 2 2 4x y M+ ≥ ⇒ ≥ = Do đó 14M ≥ và dấu “=” xảy ra 12x y⇔ = =Vậy GTNN của 1 14 2M x y= ⇔ = =Bài toán 5: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0.Tìm GTLN và GTNN của biểu thức x2 + y2.Giải: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0⇔[(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0⇔x4 + 2x2 + 1 + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = 0⇔x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + 1 = 0⇔x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + 1 = -4x2⇔(x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2Đặt t = x2 + y2. Ta có: t2 – 3t + 1 = -4x2Suy ra: t2 – 3t + 1 ≤ 03223 9 52. . 02 4 43 5 3 52 4 2 25 3 52 2 23 5 3 52 2t tt ttt⇔ − + − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ÷ ⇔ − ≤ − ≤− +⇔ ≤ ≤Vì t = x2 + y2 nên :GTLN của x2 + y2 = 3 52+GTNN của x2 + y2 = 3 52−Bài toán 6: Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: P = a + b + c – ab – bc – ca.Giải:Ta có: P = a + b + c – ab – bc – ca= (a – ab) + (b - bc) + (c – ca)= a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) 0 (vì 0 , , 1a b c≤ ≤)Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = b = c = 0Vậy GTNN của P = 0Theo giả thiết ta có: 1 – a ≥ 0; 1 – b ≥ 0; 1 – c ≥ 0;⇒ (1-a)(1-b)(1-c) = 1 + ab + bc + ca – a – b – c – abc ≥ 0⇒ P = a + b + c – ab – bc – ac 1 1abc≤ − ≤Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý [ ]0;1∈Vậy GTLN của P = 1.Bài toán 7: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1.Tìm GTLN và GTNN của x + y.Giải:Ta có: (x + y)2 + (x – y)2 ≥ (x + y)2 ⇔2(x2 + y2) ≥ (x + y)2Mà x2 + y2 = 1 ⇒ (x + y)2 ≤ 2 42 2 2x y x y⇔ + ≤ ⇔ − ≤ + ≤- Xét 2x y+ ≤Dấu “=” xảy ra 222x yx yx y=⇔ ⇔ = =+ =- Xét 2x y+ ≥ −Dấu “=” xảy ra 222x yx yx y=−⇔ ⇔ = =+ = −Vậy x + y đạt GTNN là 2− 22x y−⇔ = =.Bài toán 8: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 ≤ 27.Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx.Giải:Ta có: (x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2 ≥ 0 ⇔ 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx ≥ 0 ⇒ (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 +2(xy + yz + zx) ≤ 3(x2 + y2 + z2) ≤ 81⇒ x + y + z ≤ 9 (1)Mà xy + yz + zx ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 27 (2)Từ (1) và (2) => x + y + z + xy + yz + zx ≤ 36.Vậy max P = 36 khi x = y = z = 3.Đặt A = x + y + z và B = x2 + y2 + z2 2 2( 1) 1 12 2 2 2A B A B BP A− + + +⇒ = + = − ≥ −Vì B ≤ 27 ⇒ 12B +−≥ -14 ⇒ P ≥ -14Vậy min P = -14 khi 2 2 2127x y zx y z+ + = −+ + =Hay 13; 13; 1x y z= − = = −.Bài toán 9: Giả sử x, y là các số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y = 10. Tìm giá trị của x và y để biểu thức: P = (x4 + 1)(y4 + 1) đạt GTNN. Tìm GTNN ấy.Giải:Ta có: P = (x4 + 1)(y4 + 1) = (x4 + y4) + (xy)4 + 1Đặt t = xy thì:5x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = 10 – 2tx4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (10 – 2t)2 – 2t2 = 2t2 – 40t + 100Do đó: P = 2t2 – 40t + 100 + t4 + 1 = t4 + 2t2 – 40t + 101= (t4 – 8t2 + 16) + 10(t2 – 4t + 4) + 45 = (t2 – 4)2 + 10(t – 2)2 + 4545P⇒ ≥và dấu “=” xảy ra ⇔x + y = 10 và xy = 2.Vậy GTNN của P = 45 ⇔x + y = 10 và xy = 2.Bài toán 10: Cho x + y = 2. Tìm GTNN của biểu thức: A = x2 + y2.Giải:Ta có: x + y = 2 ⇒ y = 2 – x Do đó: A = x2 + y2 = x2 + (2 – x)2= x2 + 4 – 4x + x2= 2x2 – 4x + 4= 2( x2 – 2x) + 4= 2(x – 1)2 + 2 ≥ 2Vậy GTNN của A là 2 tại x = y = 1.• Dạng 2 : CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨCBài toán 1: Tìm GTLN và GTNN của: 24 31xyx+=+.Giải:* Cách 1: 22 24 3 ax 4 31 1x x ay ax x+ − + + −= = ++ +Ta cần tìm a để 2ax 4 3x a− + + −là bình phương của nhị thức.Ta phải có: 1' 4 (3 ) 04aa aa= −∆ = + − = ⇔=- Với a = -1 ta có: 2 22 24 3 x 4 4 ( 2)1 11 1 1x x xyx x x+ + + += = − + = − ++ + +61.y⇒ ≥ − Dấu “=” xảy ra khi x = -2.Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2.- Với a = 4 ta có: 2 22 24 3 -4x 4 1 (2 1)4 4 41 1 1x x xyx x x+ + − −= = + = − ≤+ + +Dấu “=” xảy ra khi x = 12.Vậy GTLN của y = 4 khi x = 12.* Cách 2: Vì x2 + 1 ≠0 nên: 224 3yx 4 3 01xy x yx+= ⇔ − + − =+ (1)y là một giá trị của hàm số ⇔(1) có nghiệm- Nếu y = 0 thì (1) 34x⇔ = −- Nếu y ≠0 thì (1) có nghiệm ⇔' 4 ( 3) 0y y∆ = − − ≥ ( 1)( 4) 0y y⇔ + − ≤1 04 0yy+ ≥⇔− ≤ hoặc 1 04 0yy+ ≤− ≥1 4y⇔ − ≤ ≤Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2.Vậy GTLN của y = 4 khi x = 12.Bài toán 2: Tìm GTLN và GTNN của: 2211x xAx x− +=+ +.Giải:Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm:2211x xax x− +=+ + (1)Do x2 + x + 1 = x2 + 2.12.x + 21 3 1 304 4 2 4x + = + + ≠ ÷ Nên (1) ⇔ax2 + ax + a = x2 – x + 1 ⇔(a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = 0 (2)• Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0.• Trường hợp 2: Nếu a ≠ 1 thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là 0∆ ≥, tức là:72( 1) 4( 1)( 1) 0 ( 1 2 2)( 1 2 2) 01(3 1)( 3) 0 3( 1)3a a a a a a aa a a a+ − − − ≥ ⇔ + + − + − + ≥⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤ ≠Với 13a = hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là ( 1) 12( 1) 2(1 )a axa a− + += =− −Với 13a = thì x = 1Với a = 3 thì x = -1Kết luận: gộp cả 2 trường hợp 1 và 2, ta có:GTNN của 13A = khi và chỉ khi x = 1GTLN của A = 3 khi và chỉ khi x = -1Bài toán 3: a) Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = 1. Tìm GTNN của biểu thức: 2 24( 1)( )A a b a ba b= + + + ++.b) Cho m, n là các số nguyên thỏa 1 1 12 3m n+ =. Tìm GTLN của B = mn.Giải:a) Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a2 và b22 2 2 22 2 2a b a b ab+ ≥ = = (vì ab = 1)2 24 4 4( 1)( ) 2( 1) 2 ( ) ( )A a b a b a b a b a ba b a b a b⇒ = + + + + ≥ + + + = + + + + ++ + +Cũng theo bất đẳng thức côsi cho hai số dương a + b và 4a b+.Ta có: (a + b) +4 42 ( ). 4a ba b a b≥ + =+ +Mặt khác: 2 2a b ab+ ≥ =Suy ra: 42 ( ) ( ) 2 4 2 8A a b a ba b≥ + + + + + ≥ + + =+Với a = b = 1 thì A = 8Vậy GTNN của A là 8 khi a = b = 1.b) Vì 1 1 12 3m n+ = nên trong hai số m, n phải có ít nhất một số dương. Nếu có một trong hai số là âm thì B < 0. Vì ta tìm GTLN của B = mn nên ta chỉ xét trường hợp cả hai số m, n cùng dương.8Ta có: 1 1 13(2 ) 2 (2 3)( 3) 92 3m n mn m nm n+ = ⇔ + = ⇔ − − =Vì m, n ∈ N* nên n – 3 ≥ -2 và 2m – 3 ≥ -1.Ta có: 9 =1.9 = 3.3 = 9.1; Do đó xảy ra:+ 2 3 1 23 9 12m mn n− = = ⇔ − = =  và B = mn = 2.12 = 24+ 2 3 1 33 3 6m mn n− = = ⇔ − = =  và B = mn = 3.6 = 18+ 2 3 9 63 1 4m mn n− = = ⇔ − = =  và B = mn = 6.4 = 24Vậy GTLN của B = 24 khi 212mn== hay 64mn==Bài toán 4: Giả sử x và y là hai số thỏa mãn x > y và xy = 1. Tìm GTNN của biểu thức: 2 2x yAx y+=−.Giải:Ta có thể viết: 2 2 2 2 22 2 ( ) 2x y x xy y xy x y xyAx y x y x y+ − + + − += = =− − −Do x > y và xy = 1 nên: 2( ) 2 2 22 2x y xy x y x yA x yx y x y x y− + − −= = − + = + +− − −Vì x > y ⇒ x – y > 0 nên áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số không âm, ta có: 22. .2 2x y x yAx y− −≥ +−Dấu “=” xảy ra 22( ) 4 ( ) 22x yx y x yx y−⇔ = ⇔ − = ⇔ − =−(Do x – y > 0)Từ đó: 22 32A ≥ + =Vậy GTNN của A là 3 21x yxy− =⇔=1 21 2xy= +⇔= − + hay 1 21 2xy= −= − − Thỏa điều kiện xy = 1Bài toán 5: Tìm GTLN của hàm số: 211yx x=+ +.Giải:Ta có thể viết: 221 111 32 4yx xx= =+ + + + ÷ 9Vì 21 3 32 4 4x + + ≥ ÷ . Do đó ta có: 43y ≤. Dấu “=” xảy ra 12x⇔ = −.Vậy: GTLN của 43y = tại 12x−=Bài toán 6: Cho t > 0. Tìm GTNN của biểu thức: 1( )4f t tt= +.Giải:Ta có thể viết: 2 2 21 4 1 (2 1) 4 (2 1)( ) 14 4 4 4t t t tf t tt t t t+ − + −= + = = = +Vì t > 0 nên ta có: ( ) 1f t ≥Dấu “=” xảy ra 12 1 02t t⇔ − = ⇔ =Vậy f(t) đạt GTNN là 1 tại 12t =.Bài toán 7: Tìm GTNN của biểu thức: 221( )1tg tt−=+.Giải:Ta có thể viết: 22 21 2( ) 11 1tg tt t−= = −+ +g(t) đạt GTNN khi biểu thức 221t + đạt GTLN. Nghĩa là t2 + 1 đạt GTNNTa có: t2 + 1 ≥ 1 ⇒ min (t2 + 1) = 1 tại t = 0 ⇔min g(t) = 1 – 2 = -1Vậy GTNN của g(x) là -1 tại t = 0.Bài toán 8: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = 1. Tìm GTNN của biểu thức: 3 3 31 1 1( ) ( ) ( )Ex y z y z x z x y= + ++ + +.Giải:Đặt 1 1 1 1; ; 1a b c abcx y z xyz= = = ⇒ = =Do đó: 1 1( ). ( )a b x y a b xy x y c a bx y+ = + ⇒ + = + ⇒ + = +Tương tự: y + z = a(b + c)z + x = b(c + a)103 3 32 2 23 3 31 1 1 1 1 1. . .( ) ( ) ( )1 1 1. . .( ) ( ) ( )Ex y z y z x z x ya b ca b ca b c b c a c a b b c c a a b⇒ = + ++ + += + + = + ++ + + + + +Ta có: 32a b cb c c a a b+ + ≥+ + + (1)Thật vậy: Đặt b + c = x; c + a = y; a + b = z2; ;2 2 2x y za b cy z x z x y x y za b c+ +⇒ + + =+ − + − + −⇒ = = =Khi đó, 2 2 2a b c y z x z x y x y zVTb c c a a b x y z+ − + − + −= + + = + ++ + +1 1 1 3 3 31 1 12 2 2 2 2 2y x z x z yx y x z y z    = + + + + + − ≥ + + − = ÷  ÷ ÷    Nhân hai vế (1) với a + b + c > 0. Ta có:( ) ( ) ( ) 3( )2a a b c b a b c c a b ca b cb c c a a b+ + + + + ++ + ≥ + ++ + +2 2 233 3 32 2 2 2a b c a b c abcEb c c a a b+ +⇒ + + ≥ ≥ = ⇒ ≥+ + +⇒ GTNN của E là 32 khi a = b = c = 1.Bài toán 9: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: 4x2 + y2 = 1 (*).Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: 2 32 2x yax y+=+ +.Giải:Từ 2 32 2x yax y+=+ +⇒a(2x+y+z) = 2x+3y⇔2ax + ay + 2a – 2x +3y = 0⇔2(a – 1)x + (a – 3)y = -2a (1)Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số (2x; y) và (a – 1; a – 3)Ta có: 4a2 = [2x(a-1)+y(a-3)]2 ≤ (4x2+y2).[(a-1)2+(a-3)2] =>2 2 24 ( 1) ( 3)a a a= − + − (vì 4x2+y2 = 1)Do đó ta có: 2 2 2 2 24 ( 1) ( 3) 2 1 6 9a a a a a a a≤ − + − = − + + − +2 22 8 10 0 4 5 0a a a a⇒ + − ≤ ⇔ + − ≤115 0( 1)( 5) 01 0aa aa+ ≥⇔ − + ≤ ⇔− ≤ (Vì a + 5 > a – 1) 1 5a⇔ ≤ ≤* Thay a = 1 vào (1) ta được: -2y = -2 ⇒ y = 1 Thay y = 1 vào (*) ta có: x = 0 ⇒ (x; y) = (0;1)* Thay a = -5 vào (1) ta được: 2(-5 – 1)x + (-5 – 3)y = -2(-5)6 512 8 10 6 4 54xx y x y y− −⇒ − − = ⇔ + = − ⇒ =Thay vào (*) ta được: 226 54 14xx− − + = ÷ 23 4100 60 9 010 5x x x y⇔ + + = ⇒ = − ⇒ = − 3 4( ; ) ;10 5x y− − ⇒ = ÷ Vậy GTLN của a là 1 khi x = 0; y = 1.GTNN của a là -5 khi 3 4;10 5x y= − = −.Bài toán 10:Giả sử x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: x + y = 1.Hãy tìm gái trị nhỏ nhất cảu biểu thức:M = 221 1x yx y  + + + ÷ ÷  Giải:Ta có: M = 221 1x yx y  + + + ÷ ÷   = 2 22 21 12 2x yx y+ + + + + = 4 + x2 + y2 +( )2 22 22 2 2 214 1x yx yx y x y += + + + ÷ Vì x, y > 0 nên ta có thể viết:( )20 2x y x y xy− ≥ <=> + ≥Mà x + y = 1 nên 12 21 12 2 16xyx yxy≥ <=> ≥ <=> ≥ (1)Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 12x y= =Ngoài ra ta cũng có:2 2 2 2 2 2 2( ) 0 2 2( ) 2x y x y xy x y xy x y− ≥ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ + +2 2 2 2 22( ) ( ) 2( ) 1x y x y x y⇔ + ≥ + ⇔ + ≥ (vì x + y = 1)122 212x y⇔ + ≥ (2)Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 12x y= =Từ (1) và (2) cho ta:2 22 21 1 254 ( )(1 ) 4 (1 16)2 2M x yx y= + + + ≥ + + =Do đó: 252M ≥Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi đồng thời ở (1) và (2) cùng xảy ra dấu “=” nghĩa là khi 12x y= =Vậy GTNN của 252M = khi và chỉ khi 12x y= =.* Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO CÓ CHỨA CĂN THỨC.Bài toán 1: Tìm GTLN của hàm số: 2 4y x x= − + −.Giải:* Cách 1:Điều kiện: 2 02 4(*)4 0xxx− ≥⇔ ≤ ≤− ≥Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a bc d=.Chọn 2; 1; 4 ; 1a x c b x d= − = = − = với 2 4x≤ ≤Ta có: ( ) ( ) ( )( )( ) ( )2 2 22 2 2222 4 2 4 . 1 12 4 .24 2y x x x xy x xy y = − + − ≤ − + − +  ⇔ ≤ − + −  ⇔ ≤ ⇔ ≤Vì y > 0 nên ta có: 0 2y< ≤Dấu “=” xảy ra 2 4 2 4 3x x x x x⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = (Thỏa mãn (*))Vậy GTLN của y là 2 tại x = 3.* Cách 2:Ta có: 2 4y x x= − + −13Điều kiện: 2 02 44 0xxx− ≥⇔ ≤ ≤− ≥Vì y > 0 nên y đạt GTLN khi và chỉ khi y2 đạt GTLN.Ta có: 2 22 4 2 ( 2)(4 ) 2 2 ( 2)(4 )y x x x x y x x= − + − + − − ⇔ = + − −Do 2 02 44 0xxx− ≥≤ ≤ ⇒− ≥ nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm cho ta: 2 ( 2)(4 ) ( 2) (4 ) 2x x x x− − ≤ − + − =Do đó 22 2 4y ≤ + =Dấu “=” xảy ra 2 4 3x x x⇔ − = − ⇔ = (thỏa mãn điều kiện).Vậy GTLN của hàm số y là 2 tại x = 3.Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: 3 1 4 5 (1 5)y x x x= − + − ≤ ≤.Giải:a) GTLN:Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số:(3; 4) và (( 1; 5 )x x− − ta có:( ) ( )2 22 2 2 2(3. 1 4. 5 ) (3 4 ). 1 5 100y x x x x = − + − ≤ + − + − =  <=> 2100y ≤=> y 10≤Dấu “=” xảy ra <= 1 53 4x x− −− hay 1 59 16x x− −==> x = 6125 (thỏa mãn điều kiện)Vậy GTLN của y là10 khi x = 6125* b) Gía trị nhỏ nhất:Ta có: y = 3 1 4 5 3 1 3 5 5x x x x x− + − = − + − + −= ( )3 1 5 5x x x− + − + −Đặt: A = 1 5x x− + − thì t2 = 4 + 2 ( ) ( )1 5x x− − ≥ 4=> A2≥ và dấu “=” xảy ra khi x = 1 hoặc x = 5Vậy y ≥3 . 2 + 0 = 614Dấu “=” xảy ra khi x = 5Do đó GTNN của y là 6 khi x = 5Bài toán 3: GTNN của y là 6 khi x = 5Tìm GTNN của biểu thức: M = ( )221994 ( 1995)x x− + +Giải:M = ( )221994 ( 1995)x x− + += 1994 1995x x− + +Áp dụng bất đẳng thức: a b a b+ ≥ + ta có:M = 1994 1995 1994 1995x x x x− + + = − + +=> M 1994 1995 1x x≥ − + − =Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1994) . (1995 – x) ≥ 0<=> 1994 1995x≤ ≤Vậy GTNN của M = 1  1994 1995x≤ ≤Bài toán 4: Tìm GTNN của B = 3a + 4 21 a− với -11a≤ ≤Giải:B = 3a + 4( )223 161 5 5 15 25a a a− = × × + × × −Và áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không âm cho ta( )( )222231613 165255 5 1 5 55 25 2 2aaa a ×+ − ÷ × × + × − ≤ × + ×=> B 2 29 25 41 255 52 25a a + + −≤ × = ÷× => Do đó B5≤ và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi.23516125aa== −<=> a = 35Vậy GTNN của B = 5 <=> a = 35Bài toán 5:15Tìm GTNN của biểu thức:A = 232 2 7x x+ − +Giải:Điều kiện: ( )2 22 7 0 2 1 8 0x x x x− + ≥ <=> − − + + ≥<=> -(x-1)2 + 80≥ ( )21 8x<=> − ≤2 2 1 2 2x<=> − ≤ − ≤1 2 2 2 2 1x<=> − ≤ ≤ +Với điều kiện này ta viết:( )22 22 7 1 8 8 2 7 8 2 2x x x x x− + = − − + ≤ => − + ≤ ==> 2 + ( )22 7 2 2 2 2 2 1x x− + ≤ + = +Do đó:( )21 1 2 122 2 12 2 7x x−≥ =++ − +Vậy A 2 132−≥ × và dấu “=” xảy ra <=> x -1 = 0 <=> x = 1 (thỏa mãn điều kiện)Vậy GTNN của A = ( )32 1 12x− <=> =Bài toán 6: Tìm GTNN của biểu thức: A = 25 31xx−−Giải:Điều kiện: 1 – x2 > 0 <=> x2 < 1 <=> - 1 < x < 1=> A > 0 => GTNN của A  A2 đạt GTNN.Ta có: A2 = ( )()( )2 2222 225 3 3 525 30 916 161 11x xx xx xx− −− += = + ≥− −−Vậy GTNN của A = 4 khi 35x =Bài toán 7: Cho x > 0 ; y = 0 thỏa mãn x + y 1≤ 16Tìm GTNN của biểu thức: A = 21x x× −Giải:Điều kiện: 1 – x2 0 1 1x≥ <=> − ≤ ≤Áp dụng bất đẳng thức Cô si hai số: x2 0≥ và 1 – x2 0≥Ta có: x2 + 1 – x2 ( )2 2 22 1 1 2 1x x x x≥ − => ≥ × × −<=> 1122A A≥ × => ≤Vậy GTLN của A =12 khi x = 22× hay x = 22−Bài toán 8:Tìm GTLN của biểu thức: y = 1996 1998x x− + −Giải:Biểu thức có nghĩa khi 1996 1998x≤ ≤Vì y 0≥với mọi x thỏa mãn điều kiện 1996 1998x≤ ≤Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:2( ) ( )1996 1998 ( 1996) (1998 ) 2x x x x− − ≤ − + − =Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x – 1996 = 1998 – x<=> x = 1997Do đó y2 4 2y≤ => ≤Vậy GTLN của y là 2 khi x = 1997Bài toán 9:Cho 0 1x≤ ≤. Tìm GTLN của biểu thức y = x + ( )2 1 x−Giải:Ta có: ( )2 1y x x= + −= x + 2 ( )112x× −Vì 01x≤ ≤ nên 1 – x 0≥Áp dụng bất đẳng thức Cô si đối với 2 số: 12 và (1 – x) cho ta:17( ) ( )1 1 32 1 12 2 2y x x x x= + × − ≤ + + − =Dấu “=” xảy ra <=> 1 112 2x x= − => =Vậy GTLN của y là 32 tại x = 12Bài toán 10:Cho M = 3 4 1 15 8 1a a a a+ − − + + − −Tìm TGNN của MGiải:M = 3 4 1 15 8 1a a a a+ − − + + − − = 1 4 1 4 1 8 1 16a a a a− − − + + − − − + = ( ) ( )2 21 2 1 4a a− − + − −Điều kiện để M xác định là a – 1 0 1a≥ <=> ≥Ta có: 1 2 1 4M a a= − − + − −Đặt x = 1a − điều kiện x 0≥Do đó: M = 2 4x x− + −Ta xét ba trường hợp sau:1) Khi x 2≤ thì ( )2 2 2x x x− = − − = − Và ( )4 4 4x x x− = − − = − => M = 2 – x + 4 – x = 6 – 2x 6 2.2 2≥ − = Vậy x < 2 thì M 2≥2) Khi x4≥ thì 2 2x x− = − và x-4 =x-4 => M = 2 4 2 6 2 4 6 2x x x− + − = − ≥ × − = Vậy x > 4 thì M 2≥3) Khi 2 < x < 4 thì 2 2x x− = − và 4 4x x− = − => M = x – 2 + 4 – x = 2 (không phụ thuộc vào x) Trong trường hợp này thì: 21 4a≤ − < <=> 41 16a≤ − ≤ <=> 517a≤ ≤Cả ba trường hợp cho ta kết luận:GTNN của M = 2 tương ứng với: 5 17a≤ ≤18D. CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN:Bài 1:Tìm GTNN của biểu thức: A = (2x – 3)2 – 7 với x 1≤ −hoặc x 3≥.Gợi ý: - Xét 2 trường hợp: x ≥ 3 và x ≤ -1- Kết luận: Min A = 2 <=> x = 3 Chú ý: Mặc dù A = (2x – 3)2 – 7 7≥ −. Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi x = 32 nhưng giá trị không thỏa mãn x 1≤ − , không thỏa mãn x 3≥. Do đó không thể kết luận được GTNN của A bằng – 7.Bài 2:Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình:x2 – (2m – 1) x + (m – 2) = 0Tìm các giá trị của m để 2 21 2x x+ có giá trị nhỏ nhấtGợi ý: ∆ = 4(m - 1 )2 + 5 > 0. Phương trình đã cho có nghiệm với mọi m theo hệ thức Vi-ét, ta có:2 2 2 2 21 2 1 2 1 2( ) 2 (2 1) 2( 2) 4 6 5x x x x x x m m m m+ = + − = − − − = − + = 23 11 1122 4 4m − + ≥ ÷ => Min (( )2 21 2114x x+ = với m = 34Bài toán 3:Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = 3. Tìm GTNN của E = x2 + 2y2Gợi ý:Rút x theo y và thế vào E19Bài toán 4: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A = x2 + y2Biết rằng x và y là các số thực thỏa mãn: x2 + y2 – xy = 4Gợi ý:Từ x2 + y2 – xy = 4 <=> 2x2 + 2y2 – 2xy = 8 <=> A + (x – y)2 = 8<=> Max A = 8 khi x = yMặt khác: 2x2 + 2y2 = 8 + 2xy <=> 3A = 8 + (x + y)2 8≥ => A 83≥ => min A = 83 khi x = - y Bài toán 5: Cho x, y thỏa mãn: x2 + 4y2 = 25. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: M = x + 2y.Giải:Áp dụng bất đẳng thức: Bunhiacôpxki(x +2y)2 2 2( 4 )x y≤ +(12 + 12) = 50<=>2 50 50 50x y M+ ≤ <=> − ≤ ≤ Vậy Max M = 50 khi x = 5 5;2 2 2y =Min M = -52 khi x = -52 ; y = - 52 2Bài tóan 6:Cho x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: xy = 1. Tìm GTLN của biểu thức:A = 4 2 2 4x yx y x y++ +Gợi ý: Từ (x2 – y)2 4 2 20 2x y x y≥ => + ≥ => 4 2 212 2x xx y x y≤ =+20Tương tự: 4 212yy x≤+ => A 1≤ => Max A = 1 khi 2211x yy x x yxy== <=> = ==Bài tóan 7:Tìm GTNN của biểu thức: A = ( ) ( )2 1 1 2 1 1x x x x+ + + + + − +Gợi ý: B = 1 1 1 1x x+ + + − + =>Min B = 2 khi - 10x≤ ≤Bài toán 8: Tìm GTNN của biểu thức:B = (x – a )2 + (x – b)2 + (x – c)2 với a, b, c cho trước.Gợi ý: Biểu diễn B = ( )( )222 2 23.3 3a b ca b cx a b c+ ++ + − + + + − ÷ => GTNN của B = (a2 + b2 + c2) - ( )23a b c+ +Bài toán 9: Tìm GTNN của biểu thức:P = x2 – 2xy + 6y2 – 12x + 3y + 45Gợi ý: Biểu diễn P = (x – 6 – y)2 + 5(y – 1)2 + 4Vậy Min P = 4 khi y = 1 ; x = 7 Bài toán 10: Tìm GTLN của biểu thức:E = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – 3Gợi ý: Biểu diễn E = 10 – (x – y – 1)2 – 3 (y – 2)221=> GTLN của E = 10  y = 2 ; x = 3Bài toán 11: Tìm GTLN của biểu thức: P = 2 4 5x y z+ + ×Biết x, y, z là các biến thỏa mãn : x2 + y2 + z2 = 169Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Max P = 65 khi ===⇔==5513552526542zyxzyxBài toán 12:Tìm GTNN của biểu thức sau:a) A = 212xx++ b) B = 283 2x−+c) C = 2211xx−+Gợi ý: a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ta:A = (x + 2) + 54 2 5 42x− ≥ −+ b) B = 2843 2x−≥ −+ (vì 21 1)3 2 2x≤+ c) C = 2221 11xx− + ≥ − =>+ Min C = - 1 khi x = 0 Bài toán 13: Tìm GTNN của biểu thức A = 222 2000;( 0)x xxx− +≠22Với x 0≥Với mọi x Với mọi xGợi ý: A = 2 2 2 22 22000 2 2000 2000 ( 2000) 19992000 2000x x x xx x− × + − +== 22( 2000) 1999 19992000 2000 2000xx−+ ≥Vậy Min A = 19992000 Khi x = 2000Bài toán 14:Tìm GTNN của biểu thức:P = 4 3 224 16 56 80 3562 5x x x xx x+ + + ++ +Gợi ý:Biểu diễn P = 422256( 2 5) 642 5x xx x× + + + ≥+ + (áp dụng BĐT Côsi)=> Min P = 64 khi x = 1 hoặc x = -3Bài toán 15: Tìm GTNN của A = 24 4x xx+ + với x > 0 B = 21xx − với x > 1 C = 2221x xx x+ ++ + D = 1(1 ) 1xx + + ÷  với x > 0 E = 51xx x+− với 0 < x < 1 F = 22 1xx+− với x > 1Gợi ý: A = x+4 44 2 4 8xx x+ ≥ × + = (vì x > 0)=> Min A = 8 khi x = 2 B = 21 1 12 ( 1) 2 2 41 1xxx x− += + − + ≥ + =− − (vì x > 1)=> Min B = 4 <=> x = 2 C = 2 22 2( 1) 1 2 121 1x x x xx x x x+ + + × + +≥ =+ + + +23 D = (1 + x) 1 11 2 .2. 4xxx + ≥ = ÷  (vì x > 0) E = ( ) ( )5 1 5 15 5 55 2 5 2 5 51 1 1x xx x x x xx x x x x x− −− ++ = + + ≥ × + = +− − − F = 1 1 2 1 2 1 1 2 122 1 2 1 2 2 1 2x x xx x x− + − −+ = + + ≥ × +− − − = 1 322 2+ = => Min F = 32 khi x = 3.Bài 16: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: P = 22 28 6x xyx y++ Gợi ý: P = 9 - 22 2( 3 )1 1y xx y+− ≥ −+ P = 9 - 22 2( 3 )9x yx y−≤+ Bài 17: Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y = 10 Tìm GTNN của biểu thức S = 1 1x y+ Gợi ý: S = yx11+ = 10(10 )x yxy x x+=− S có GTNN <=> x(10-x) có GTLN <=> x = 5. => GTNN của S = 25 khi x = y = 5.Bài 18: Tìm GTNN của biểu thức: E = 2 21 1x x x x+ + + − +Gợi ý: Ta có E > 0 với mọi x Xét E2 = 2 (x2 + 1 + 4 21) 4x x+ + ≥ => Min E = 2 khi x = 024Bài 19: Cho a và b là hai số thỏa mãn: a3≥ ; a + b 5≥ Tìm GTNN của biểu thức S = a2 + b2Gợi ý: a+ b 5 2 2 10 3 2 13a b a b≥ => + ≥ => + ≥ (vì a3)≥ => 132 ( )( )22 23 2 13a b a b≤ + ≤ + => Min S = 13Bài 20: Cho phương trình: x2 - 2mx – 3m2 + 4m – 2 = 0Tìm m để cho 1 2x x− đạt GTNN.Gợi ý:' 2(2 1) 1 0m∆ = − + > => phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1; x2. Theo định lý vi-ét ta có: 1 221 22. 3 4 2x x mx x m m+ == − + − Do đó ( )21 24 2 4 4 2x x m− = − + ≥ = mR∈ GTNN của 1 2x x− là 2 khi m = 12Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của: y = 1 2 1998x x x− + − + + −Gợi ý: y = ( ) ( )1 1 1998 2 1997x x x x− + − + − + −+ …+ ( )998 999x x− + −Ta có: 1 1998x x− + − nhỏ nhất bằng 1997 khi x [ ]1;1998∈ 2 1997x x− + − nhỏ nhất bằng 1995 khi x [ ]2;1997∈ 998 1999x x− + − nhỏ nhất bằng 1 khi x [ ]999;1000∈Vậy y đạt GTNN bằng 1 + 3 + …+ 1997 Số các số hạng của 1 + 3 + … + 1997 là (1997 – 1) : 2 + 1 = 999Vậy Min y = 9992 khi 999 1000x≤ ≤25