Chứng tỏ rằng a = 2 + 2 mũ 2 + 2 mũ 3 + chấm chấm chấm + 2 mũ 100 chia hết cho 6
CHUYÊN ĐỀ 4 - CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN
CHUYÊN ĐỀ 4 - CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊNA. MỤC TIÊU:* Củng cố, khắc sâu kiến thức về các bài toán chia hết giữa các số, các đa thức * HS tiếp tục thực hành thành thạo về các bài toán chứng minh chia hết, không chia hết, sốnguyên tố, số chính phương… * Vận dụng thành thạo kỹ năng chứng minh về chia hết, không chia hết… vào các bài toán cụ thể B.KIẾN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN:I. Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết 1. Kiến thức: * Để chứng minh A[n] chia hết cho một số m ta phân tích A[n] thành nhân tử có một nhân tử làm hoặc bội của m, nếu m là hợp số thì ta lại phân tích nó thành nhân tử có các đoi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A[n] chia hết cho các số đó * Chú ý: + Với k số nguyên liên tiếp bao giờ củng tồn tại một bội của k + Khi chứng minh A[n] chia hết cho m ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia A[n] cho m + Với mọi số nguyên a, b và số tự nhiên n thì: 2. Bài tập: 2. Các bài toán Bài 1: chứng minh rằng a] 251 - 1 chia hết cho 7 b] 270 + 370 chia hết cho 13 c] 1719 + 1917 chi hết cho 18 d] 3663 - 1 chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho 37 e] 24n -1 chia hết cho 15 với n∈ N Giải a] 251 - 1 = [23]17 - 1 b] 270 + 370 [22]35 + [32]35 = 435 + 935 c] 1719 + 1917 = [1719 + 1] + [1917 - 1] 1719 + 1 hay 1719 + 1917 d] 3663 - 1 3663 - 1 = [3663 + 1] - 2 chi cho 37 dư - 2 e] 2 4n - 1 = [24] n - 1 Bài 2: chứng minh rằng a] n5 - n chia hết cho 30 với n ∈ N ; b] n4 -10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ n∈ Z c] 10n +18n -28 chia hết cho 27 với n∈ N ; Giải: a] n5 - n = n[n4 - 1] = n[n - 1][n + 1][n2 + 1] = [n - 1].n.[n + 1][n2 + 1] chia hết cho 6 vì [n - 1].n.[n+1] là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 [*] Mặt khác n5 - n = n[n2 - 1][n2 + 1] = n[n2 - 1].[n2 - 4 + 5] = n[n2 - 1].[n2 - 4 ] + 5n[n2 - 1] = [n - 2][n - 1]n[n + 1][n + 2] + 5n[n2 - 1] Vì [n - 2][n - 1]n[n + 1][n + 2] là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5 5n[n2 - 1] chia hết cho 5 Suy ra [n - 2][n - 1]n[n + 1][n + 2] + 5n[n2 - 1] chia hết cho 5 [**] Từ [*] và [**] suy ra đpcm b] Đặt A = n4 -10n2 + 9 = [n4 -n2 ] - [9n2 - 9] = [n2 - 1][n2 - 9] = [n - 3][n - 1][n + 1][n + 3] Vì n lẻ nên đặt n = 2k + 1 [k A = [2k - 2].2k.[2k + 2][2k + 4] = 16[k - 1].k.[k + 1].[k + 2] Và [k - 1].k.[k + 1].[k + 2] là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội của 2, 3, 4 nên A là bội của 24 hay A chia hết cho 24 [2] Từ [1] và [2] suy ra A chia hết cho 16. 24 = 384 c] 10 n +18n -28 = [ 10 n - 9n - 1] + [27n - 27] + Ta có: 27n - 27 Từ [1] và [2] suy ra đpcm 3. Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì a] a3 - a chia hết cho 3 b] a7 - a chia hết cho 7 Giải a] a3 - a = a[a2 - 1] = [a - 1] a [a + 1] là tích của ba số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số là bội của 3 nên [a - 1] a [a + 1] chia hết cho 3 b] ] a7 - a = a[a6 - 1] = a[a2 - 1][a2 + a + 1][a2 - a + 1] Nếu a = 7k [k Nếu a = 7k + 1 [k Nếu a = 7k + 2 [k Nếu a = 7k + 3 [k Trong trường hợp nào củng có một thừa số chia hết cho 7 Vậy: a7 - a chia hết cho 7 Bài 4: Chứng minh rằng A = 13 + 23 + 33 + ...+ 1003 chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + ... + 100 Giải Ta có: B = [1 + 100] + [2 + 99] + ...+ [50 + 51] = 101. 50 Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101 Ta có: A = [13 + 1003] + [23 + 993] + ... +[503 + 513] = [1 + 100][12 + 100 + 1002] + [2 + 99][22 + 2. 99 + 992] + ... + [50 + 51][502 + 50. 51 + 512] = 101[12 + 100 + 1002 + 22 + 2. 99 + 992 + ... + 502 + 50. 51 + 512] chia hết cho 101 [1] Lại có: A = [13 + 993] + [23 + 983] + ... + [503 + 1003] Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 [2] Từ [1] và [2] suy ra A chia hết cho 101 và 50 nên A chi hết cho B Bài tập về nhà Chứng minh rằng: a] a5 – a chia hết cho 5 b] n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 với mọi n chẵn c] Cho a l à số nguyên tố lớn hơn 3. Cmr a2 – 1 chia hết cho 24 d] Nếu a + b + c chia hết cho 6 thì a3 + b3 + c3 chia hết cho 6 e] 20092010 không chia hết cho 2010 f] n2 + 7n + 22 không chia hết cho 9 Dạng 2: Tìm số dư của một phép chia Bài 1: Tìm số dư khi chia 2100 a]cho 9, b] cho 25, c] cho 125 Giải a] Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 23 = 8 = 9 - 1 Ta có : 2100 = 2. [23]33 = 2.[9 - 1]33 = 2.[B[9] - 1] = B[9] - 2 = B[9] + 7 Vậy: 2100 chia cho 9 thì dư 7 b] Tương tự ta có: 2100 = [210]10 = 102410 = [B[25] - 1]10 = B[25] + 1 Vậy: 2100 chia chop 25 thì dư 1 c]Sử dụng công thức Niutơn: 2100 = [5 - 1]50 = [550 - 5. 549 + … + Không kể phần hệ số của khai triển Niutơn thì 48 số hạng đầu đã chứa thừa số 5 với số mũ lớn hơn hoặc bằng 3 nên đều chia hết cho 53 = 125, hai số hạng tiếp theo: Vậy: 2100 = B[125] + 1 nên chia cho 125 thì dư 1 Bài 2: Viết số 19951995 thành tổng của các số tự nhiên . Tổng các lập phương đó chia cho 6 thì dư bao nhiêu? Giải Đặt 19951995 = a = a1 + a2 + …+ an. Gọi = [a1 3 - a1] + [a2 3 - a2] + …+ [an 3 - an] + a Mỗi dấu ngoặc đều chia hết cho 6 vì mỗi dấu ngoặc là tích của ba số tự nhiên liên tiếp. Chỉ cần tìm số dư khi chia a cho 6 1995 là số lẻ chia hết cho 3, nên a củng là số lẻ chia hết cho 3, do đó chia cho 6 dư 3 Bài 3: Tìm ba chữ số tận cùng của 2100 viết trong hệ thập phân giải Tìm 3 chữ số tận cùng là tìm số dư của phép chia 2100 cho 1000 Trước hết ta tìm số dư của phép chia 2100 cho 125 Vận dụng bài 1 ta có 2100 = B[125] + 1 mà 2100 là số chẵn nên 3 chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là 126, 376, 626 hoặc 876 Hiển nhiên 2100 chia hết cho 8 vì 2100 = 1625 chi hết cho 8 nên ba chữ số tận cùng của nó chia hết cho 8 trong các số 126, 376, 626 hoặc 876 chỉ có 376 chia hết cho 8 Vậy: 2100 viết trong hệ thập phân có ba chữ số tận cùng là 376 Tổng quát: Nếu n là số chẵn không chia hết cho 5 thì 3 chữ số tận cùng của nó là 376 Bài 4: Tìm số dư trong phép chia các số sau cho 7 a] 2222 + 5555 b]31993 c] 19921993 + 19941995 d] Giải a] ta có: 2222 + 5555 = [21 + 1]22 + [56 – 1]55 = [BS 7 +1]22 + [BS 7 – 1]55 = BS 7 + 1 + BS 7 - 1 = BS 7 nên 2222 + 5555 chia 7 dư 0 b] Luỹ thừa của 3 sát với bội của 7 là 33 = BS 7 – 1 Ta thấy 1993 = BS 6 + 1 = 6k + 1, do đó: 31993 = 3 6k + 1 = 3.[33]2k = 3[BS 7 – 1]2k = 3[BS 7 + 1] = BS 7 + 3 c] Ta thấy 1995 chia hết cho 7, do đó: 19921993 + 19941995 = [BS 7 – 3]1993 + [BS 7 – 1]1995 = BS 7 – 31993 + BS 7 – 1 Theo câu b ta có 31993 = BS 7 + 3 nên 19921993 + 19941995 = BS 7 – [BS 7 + 3] – 1 = BS 7 – 4 nên chia cho 7 thì dư 3 d] Dạng 3: Tìm điều kiện để xảy ra quan hệ chia hết Bài 1: Tìm n Giải Chia A cho B ta có: n3 + 2n2 - 3n + 2 = [n + 3][n2 - n] + 2 Để A chia hết cho B thì 2 phải chia hết cho n2 - n = n[n - 1] do đó 2 chia hết cho n, ta có:
Vậy: Để giá trị của biểu thức A = n3 + 2n2 - 3n + 2 chia hết cho giá trị của biểu thức B = n2 - n thì n Bài 2: a] Tìm n b] Giải bài toán trên nếu n Giải Ta có: n5 + 1 a] Nếu n = 1 thì 0 Nếu n > 1 thì n - 1 < n[n - 1] + 1 < n2 - n + 1 nên không thể xẩy ra n - 1 Vậy giá trụ của n tìm được là n = 1 b] n - 1 + n2 - n + 1 = 1 + n2 - n + 1 = -1 Bài 3: Tìm số nguyên n sao cho: a] n2 + 2n - 4 c] n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 Giải a] Tách n2 + 2n - 4 thành tổng hai hạng tử trong đó có một hạng tử là B[11] n2 + 2n - 4 b] 2n3 + n2 + 7n + 1 = [n2 + n + 4] [2n - 1] + 5 Để 2n3 + n2 + 7n + 1 Vậy: n c] n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 Đặt A = n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 = [n4 - n3] - [n3 - n2] + [n2 - n] - [n - 1] = n3[n - 1] - n2[n - 1] + n[n - 1] - [n - 1] = [n - 1] [n3 - n2 + n - 1] = [n - 1]2[n2 + 1] B = n4 - 1 = [n - 1][n + 1][n2 + 1] A chia hết cho b nên n Vậy: n d] Chia n3 - n2 + 2n + 7 cho n2 + 1 được thương là n - 1, dư n + 8 Để n3 - n2 + 2n + 7 Lần lượt cho n2 + 1 bằng 1; 5; 13; 65 ta được n bằng 0; Thử lại ta có n = 0; n = 2; n = 8 [T/m] Vậy: n3 - n2 + 2n + 7 Dạng 4: Tồn tại hay không tồn tại sự chia hết Bài 1: Tìm n Giải Nếu n = 3k [ k Nếu n = 3k + 1 [ k Nếu n = 3k + 2 [ k V ậy: 2n – 1 chia hết cho 7 khi n = BS 3 Bài 2: Tìm n a] 3n – 1 chia hết cho 8 b] A = 32n + 3 + 24n + 1 chia hết cho 25 c] 5n – 2n chia hết cho 9 Giải a] Khi n = 2k [k Khi n = 2k + 1 [k Vậy : 3n – 1 chia hết cho 8 khi n = 2k [k b] A = 32n + 3 + 24n + 1 = 27 . 32n + 2.24n = [25 + 2] 32n + 2.24n = 25. 32n + 2.32n + 2.24n = BS 25 + 2[9n + 16n] Nếu n = 2k +1[k Nếu n = 2k [k suy ra 2[[9n + 16n] có chữ số tận cùng bằng 4 nên A không chia hết cho 5 nên không chia hết cho 25 c] Nếu n = 3k [k Nếu n = 3k + 1 thì 5n – 2n = 5.53k – 2.23k = 5[53k – 23k] + 3. 23k = BS 9 + 3. 8k = BS 9 + 3[BS 9 – 1]k = BS 9 + BS 9 + 3 Tương tự: nếu n = 3k + 2 thì 5n – 2n không chia hết cho 9 |
Chứng minh biểu thức chia hết cho 1 số
Bài tập Chứng minh biểu thức chia hết cho một số Toán lớp 6 được GiaiToan hướng dẫn giúp các học sinh luyện tập về dạng bài tính nhanh. Hi vọng tài liệu này giúp các em học sinh tự củng cố kiến thức, luyện tập và nâng cao cách giải bài tập Toán lớp 6. Mời các em cùng các thầy cô tham khảo.
Chứng minh A = 5 + 5^2 + 5^3 + . . . + 5^99 + 5^100 chia hết cho 6
Lời giải chi tiết
A = 5 + 52 + 53 + . . . + 599 + 5100
A = [5 + 52] + [53 + 54] + . . . + [599 + 5100]
A = 5[1 + 5] + 53[1 + 5] + … + 599[5 + 1]9999
A = 5 . 6 + 53 . 6 + … + 599 . 6
A = 6 . [5 + 533 + …. + 599] chia hết cho 6
Chứng minh A = 5 + 5^2 + 5^3 + . . . + 5^99 chia hết cho 31
Lời giải chi tiết
A = 5 + 52 + 53 + . . . + 599 + 599
A = [5 + 52 + 53] + [54 + 55 + 565555] + . . . + [597 + 598 + 599]
A = 5.[1 + 5 + 52] + 54[54 + 55 + 565555] + … + 597[54 + 55 + 565555] 9797
A = 5 . 31 + 54 . 31 + … + 597 . 31
A = 31 . [5 + 54 + … + 597] chia hết cho 31
Tính chất chia hết của một tổng
- Tính chất: Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.
a ⋮ m và b ⋮ m ⇒ [a + b] ⋮ m
a ⋮ m; b ⋮ m; c ⋮ m ⇒ [a + b + c] ⋮ m
Chú ý: Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số, còn các số hạng khác đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó.
a ⋮ m và b ⋮ ̸ m ⇒ [a + b] ⋮ ̸ m
a ⋮ ̸ m; b ⋮ m; c ⋮ m ⇒ [a + b + c] ⋮ ̸ m
Dấu hiệu chia hết cho 31
Dấu hiệu chia hết cho 31: ta lấy số hàng đơn vị nhân 3 rồi lấy kết quả trừ với số tạo bởi các số liền trước, nếu hiệu chia hết cho 31 thì nó chia hết cho 31
Tài liệu tham khảo:
-------------------------------------------------
Ngoài dạng bài tập Chứng minh biểu thức Toán 6, các em học sinh có thể tham khảo thêm các dạng toán khác được GiaiToan đăng tải. Với phiếu bài tập này sẽ giúp các em rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các em học tập tốt!
C = 2 + 2^2 + 2^3 +...+ 2^99 + 2^100
=[ 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5] + [2^6 + 2^7 + 2^8 + 2^9 + 2^10] +...+ [2^95 + 2^96 + 2^97 + 2^98 + 2^99 + 2^100]
=2.[ 1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4] + 2^6.[1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4] +...+ 2^96.[1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4]
=2.31 + 2^6.31 +...+ 2^96.31
=31.[2+ 2^6 +...+ 2^96] chia hết cho 31
=>C chia hết cho 31.
chứng minh rằng A=2 + mũ 2 +2 mũ 3+ 2 mũ 4 +...+2 mũ 99 + 2 mũ 100 chia hết cho 6