Câu hỏi:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m\] để phương trình \[f\left[ {\sqrt[3]{{f[x] + m}}} \right] = {x^3} m\] có nghiệm \[x \in \left[ {1;\,2} \right]\] biết \[f[x] = {x^5} + 3{x^3} 4m\].
A. 16.
B. 15.
C. 17.
D. 18.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đặt \[t = \sqrt[3]{{f[x] + m}} \to {t^3} = f[x] + m\]. Ta được hệ phương trình sau:
\[\left\{ \begin{array}{l}f[t] = {x^3} m\\\,\,\,\,\,t\,\,\,\, = f[x] + m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f[t] = {x^3} m\\f[x]\, = {t^3} m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f[t] + {t^3} = f[x]\,\, + {x^3}[*]\\f[x]\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {t^3} m\end{array} \right.\].
Vì \[f[x] = {x^5} + 3{x^3} 4m,\,f'[x] = 5{x^4} + 9{x^2} \ge 0,\forall x \in \]\[\mathbb{R}\] nên hàm số \[h[x] = f[x] + {x^3}\]đồng biến trên \[\mathbb{R}\]. Do đó: \[[*] \Leftrightarrow x = t\].
Khi đó ta được: \[f[x] = {x^3} m = {x^5} + 3{x^3} 4m \Leftrightarrow {x^5} + 2{x^3} = 3m \Leftrightarrow g[x] = \frac{1}{3}{x^5} + \frac{2}{3}{x^3} = m[**]\].
Dễ thấy \[g[x] = \frac{1}{3}{x^5} + \frac{2}{3}{x^3}\] đồng biến trên \[\left[ {1;\,2} \right]\] nên phương trình [**] có nghiệm trên đoạn \[\left[ {1;\,2} \right]\] khi và chỉ khi: \[g[1] \le m \le g[2] \Leftrightarrow 1 \le m \le 16.\]
Vì \[m\] thuộc số nguyên nên có 16 số thỏa mãn bài toán.
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Sự tương giao đồ thị hàm số