DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số nguyên dương \[a\] sao cho ứng với mỗi \[a\] bất phương trình\[\left[ {{{\log }_3}x – 1} \right]\left[ {{3^x} – a} \right] < 0\] có ít nhất một nghiệm nguyên và nhiều nhất \[5\] nghiệm nguyên?
A. \[19610\].
B. \[19445\].
C. \[19443\].
D. \[19446\].
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Điều kiện: \[x > 0\].
Ta có: \[\left[ {{{\log }_3}x – 1} \right]\left[ {{3^x} – a} \right] < 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\log _3}x < 1\\{3^x} > a\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{\log _3}x > 1\\{3^x} < a\end{array} \right.\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 3\\x > {\log _3}a\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]\\\left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x < {\log _3}a\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\left[ 2 \right]\end{array} \right.;\,\left[ {{\rm{do }}a \in {\mathbb{Z}^ + }\,} \right]\].
+ Nếu \[a = 27\] thì,đều vô nghiệm nênvô nghiệm.
+ Nếu \[a > 27\] thìvô nghiệm. Khi đó \[\left[ * \right] \Leftrightarrow x \in \left[ {3;{{\log }_3}a} \right]\].
Yêu cầu bài toán \[ \Leftrightarrow 4 < {\log _3}a \le 9 \Leftrightarrow {3^4} < a \le {3^9}\]\[ \Leftrightarrow \]\[81 < a \le 19683\].
Do \[a \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow a \in \left\{ {82;\,83;\,…;19683} \right\} \Rightarrow \] có \[19602\] số \[a\].
+ Nếu \[a < 27\] thìvô nghiệm. Khi đó \[\left[ * \right] \Leftrightarrow x \in \left[ {{{\log }_3}a;3} \right]\].
Vì \[x > 0\] nên yêu cầu bài toán \[ \Leftrightarrow {\log _3}a < 2 \Leftrightarrow a < 9\].
Do \[a \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;…;8} \right\} \Rightarrow \] có 8 số \[a\].
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán có \[19602 + 8 = 19610\] giá trị.
Chọn câu A
Điều kiện $x>0.$ Đặt $y={{a}^{\log x}}+2>0$ thì ${{y}^{\log a}}=x-2\Leftrightarrow {{a}^{\log y}}+2=x$.
Từ đó ta có hệ $\left\{ \begin{align} & y={{a}^{\log x}}+2 \\ & x={{a}^{\log y}}+2 \\ \end{align} \right.$ Do $a\ge 2$ nên hàm số $f[t]={{a}^{t}}+2$ là đồng biến trên $\mathbb{R}.$ Giả sử $x\ge y$ thì $f[ y ]\ge f[x]$ sẽ kéo theo $y\ge x,$ tức là phải có $x=y.$ Tương tự nếu $x\le y.$
Vì thế,ta đưa về xét phương trình $x={{a}^{\log x}}+2$ với $x>0$ hay $x-{{x}^{\log a}}=2$
Ta phải có $x>2$ và $x>{{x}^{\log a}}\Leftrightarrow 1>\log a\Leftrightarrow a 0\\x,\,\,y e 0\end{array} \right.\]. Đặt \[{\log _3}\left[ {x + y} \right] = {\log _4}\left[ {{x^2} + {y^2}} \right] = t\]. \[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = {3^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left[ {x + y} \right]^2} = {9^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2xy = {9^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = \dfrac{{{9^t} - {4^t}}}{2}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\end{array}\] Khi đó \[x,\,\,y\] là nghiệm của phương trình \[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{X^2} - {3^t}.X + \dfrac{{{9^t} - {4^t}}}{2} = 0\\ \Leftrightarrow 2{X^2} - {2.3^t}.X + {9^t} - {4^t} = 0\,\,\,\left[ * \right]\end{array}\]
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình [*] phải có nghiệm, khi đó ta có \[\Delta {'_{\left[ * \right]}} \ge 0\].
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left[ {{3^t}} \right]^2} - 2.\left[ {{9^t} - {4^t}} \right] \ge 0\\ \Leftrightarrow {2.4^t} - {9^t} \ge 0\\ \Leftrightarrow 2{\left[ {\dfrac{4}{9}} \right]^t} - 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {\dfrac{4}{9}} \right]^t} \ge \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow t \le {\log _{\dfrac{4}{9}}}\dfrac{1}{2} \approx 0,85\end{array}\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = {3^t} \le {3^{{{\log }_{\dfrac{4}{9}}}\dfrac{1}{2}}}\,\,\,\,\left[ {{d_1}} \right]\\{x^2} + {y^2} = {4^t} \le {4^{{{\log }_{\dfrac{4}{9}}}\dfrac{1}{2}}}\,\,\left[ C \right]\end{array} \right.\,\,\,\left[ I \right]\].
Mà \[x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {0; \pm 1} \right\}\].
Tập hợp các cặp giá trị của \[\left[ {x;y} \right]\] thỏa mãn [I] là miền bôi đậm.
Mà \[x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {0;1} \right\}\].
Vậy có 2 giá trị của x thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn B.