Mục lục
- 1 Định nghĩa và ví dụ
- 2 Lịch sử
- 2.1 Tính nguyên tố của số 1
- 3 Tính chất cơ bản
- 3.1 Sự phân tích duy nhất
- 3.2 Sự tồn tại vô số số nguyên tố
- 3.3 Công thức số nguyên tố
- 3.4 Các bài toán mở
- 4 Tính chất trong giải tích
- 4.1 Chứng minh định lý Euclid bằng giải tích
- 4.2 Số lượng số nguyên tố nằm dưới một số cho trước
- 4.3 Cấp số cộng
- 4.4 Giá trị nguyên tố của đa thức bậc hai
- 4.5 Hàm zeta và giả thuyết Riemann
- 5 Đại số trừu tượng
- 5.1 Số học mô đun và trường hữu hạn
- 5.2 Số p-adic
- 5.3 Phần tử nguyên tố trong vành
- 5.4 I-đê-an nguyên tố
- 5.5 Lý thuyết nhóm
- 6 Phương pháp tính
- 6.1 Giải thuật chia thử
- 6.2 Sàng
- 6.3 Kiểm tra tính nguyên tố và chứng minh tính nguyên tố
- 6.4 Các thuật toán đặc biệt và số nguyên tố lớn nhất đã biết
- 6.5 Phân tích số nguyên
- 6.6 Ứng dụng khác trong điện toán
- 7 Các ứng dụng khác
- 7.1 Đa giác vẽ được và phân chia đa giác
- 7.2 Cơ học lượng tử
- 7.3 Sinh học
- 7.4 Nghệ thuật và văn học
- 8 Xem thêm
- 9 Ghi chú
- 10 Chú thích
- 11 Liên kết ngoài
Bài chi tiết: Danh sách số nguyên tố
Một số tự nhiên [1, 2, 3, 4, 5, 6,...] được gọi là số nguyên tố nếu nó lớn hơn 1 và không thể được biểu diễn thành tích của hai số tự nhiên nhỏ hơn. Các số lớn hơn 1 không phải là số nguyên tố được gọi là hợp số.[2] Nói cách khác, n {\displaystyle n} là số nguyên tố nếu n {\displaystyle n} vật không thể chia đều thành nhiều nhóm nhỏ gồm nhiều hơn một vật,[3] hoặc n {\displaystyle n} dấu chấm không thể được sắp xếp thành một hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng nhiều hơn một dấu chấm.[4] Chẳng hạn, trong các số từ 1 đến 6, số 2, 3 và 5 là số nguyên tố vì không có số nào khác có thể chia hết được chúng [số dư bằng 0].[5] 1 không phải là số nguyên tố vì nó đã được loại trừ ra khỏi định nghĩa. 4 = 2 × 2 và 6 = 2 × 3 đều là hợp số.
Ước số của một số tự nhiên n {\displaystyle n} là các số tự nhiên có thể chia hết được n {\displaystyle n} . Mọi số tự nhiên đều có ít nhất hai ước số là 1 và chính nó. Nếu nó còn có thêm một ước số khác thì nó không thể là số nguyên tố. Từ ý tưởng đó mà ta có một định nghĩa khác về số nguyên tố: đó là những số chỉ có đúng hai ước số dương là 1 và chính nó.[6] Ngoài ra, còn có một cách diễn đạt khác nữa: n {\displaystyle n} là số nguyên tố nếu nó lớn hơn 1 và không có số nào trong các số 2 , 3 , … , n − 1 {\displaystyle 2,3,\dots ,n-1} có thể chia hết được nó.[7]
25 số nguyên tố đầu tiên [tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn 100] là:[8]
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 [dãy số A000040 trong bảng OEIS].Không có số chẵn n {\displaystyle n} lớn hơn 2 nào là số nguyên tố vì một số chẵn bất kỳ có thể được biểu diễn thành 2 × n / 2 {\displaystyle 2\times n/2} . Do đó, tất cả số nguyên tố ngoài số 2 là số lẻ và được gọi là số nguyên tố lẻ.[9] Tương tự, khi được viết trong hệ thập phân, tất cả số nguyên tố lớn hơn 5 đều có tận cùng là 1, 3, 7 hoặc 9. Các số có tận cùng là chữ số khác đều là hợp số: số có tận cùng là 0, 2, 4, 6 hoặc 8 là số chẵn, và số có tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.[10]
Tập hợp các số nguyên tố được ký hiệu là P {\displaystyle \mathbf {P} } [11] hoặc P {\displaystyle \mathbb {P} } .[12]