a] Khái niệm:
Số trung vị là lượng biến của đơn vị tổng thể đứng ở vị trí giữa trong dãy số lượng biến đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Số trung vị phân chia dãy số lượng biến làm hai phần [phần trên và phần dưới số trung bình] mỗi phần có số đơn vị tổng thể bằng nhau.
b] Phương pháp xác định số trung vị:
+ Tài liệu không phân tổ: Trước hết cần sắp xếp lượng biến theo thứ tự từ nhỏ đến
lớn.
Nếu số lượng biến [n] lẻ thì số trung vị là lượng biến đứng ở vị trí thứ giữa dãy số, tức là ở vị trí thứ [n +1]/2. Khi đó Me được xác định theo công thức:
Me = X [n+1]/2 ; trong đó X là lượng biến đúng ở vị trí [n+1]/2
Thí dụ: Tiền lương tháng của 1 tổ công nhân gồm 5 người như sau:
500; 600; 800; 1000; 1500 thì Me = 800
Nếu n chẵn lẻ thì số trung vị là trung bình cộng lượng biến đứng ở vị trí thứ và ở vị trí thứ . Khi đó Me được xác định theo công thức:
+ Tài liệu phân tổ
• Không có khoảng cách tổ: Ta xác định tổ chứa trung vị.
* Có khoảng cách tổ
Để xác định số trung vị, trước hết ta tìm tổ chứa số trung vị. Tổ chứa số trung vị là tổ chứa tần số tích lũy
Sau đó số trung vị được tính theo công thức:
* Tính chất của số trung vị
Tổng độ lệch tuyệt đối giữa các lượng biến với số trung vị là một trị số nhỏ nhất.
Σ | Xi – Me | = min [không phân tổ]
Σ | Xi -Me | fi = min [phân tổ]
Tính chất này được áp dụng nhiều trong công tác kỹ thuật và phục vụ công cộng như xây dựng mạng lưới điện, đường ống dẫn nước, bố trí các trạm đỗ xe công cộng ở vị trí thuận lợi để có thể đạt được hiệu quả cao trong công tác phục vụ.
Trung vị có ưu điểm là không chịu ảnh hưởng của các lượng biến đầu mút trong dãy số lượng biến, dễ hiểu, dễ tính. Song có nhược điểm là không thể dùng để dự đoán
vì không chính xác bằng số trung bình. Nó thường được dùng để thay thế hoặc để bổ sung cho trung bình khi cần thiết.
* Chú ý: Khi phân tích các hiện tượng kinh tế - xã hội có nhiều đơn vị quan sát , đôi lúc ta phải xét đến thứ bậc của các đơn vị của tổng thể nghiên cứu trong dãy số phân phối thành các phần bằng nhau: 3 phần, 4 phần, 10 phần. Tuỳ theo vị trí của các đơn vị trong dãy số mà có các tên gọi khác nhau.
- Nếu tổng thể chia thành ba phần đều nhau ta có tam phân vị;
- Nếu tổng thể chia thành bốn phần đều nhau ta có tứ phân vị;
- Nếu tổng thể chia thành 10 phần bằng nhau ta có thập phân vị.
* Ý nghĩa của tứ phân vị, thập phân vị:
- Tứ phân vị, thập phân vị giúp ta xác định trị số lượng biến của các đơn vị đứng ở
các vị trí nhất định trong một dãy số phân phối. Ngoài ra các chỉ tiêu trên còn giúp ta đo lường độ phân tán về lượng biến giữa các đơn vị đó.
Nguồn: PGS. TS. Ngô Thị Thuận [Quantri.vn biên tập và hệ thống hóa]
Số trung bình cộng, Số trung vị, Mốt là một trong những khái niệm cơ bản mà các bạn đã được làm quen và học trong chương trình học Toán lớp 7. Đến với chương trình toán THPT các bạn sẽ tiếp tục được tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về các công thức để tính trung bình cộng hay số trung vị hay cách tính mốt. Cùng Toppy.vn tìm hiểu ngay dạng toán này qua bài viết dưới đây nhé!
Kiến thức cơ bản cần nắm vững
- Ôn tập lại thế nào là số trung bình cộng? Thế nào là số trung vị? Thế nào là Mốt?
- Vận dụng những lý thuyết đã được học thực hành xử lý các bài toán liên quan.
Cơ sở lý thuyết
Khái niệm về số trung bình là:
Định nghĩa về số trung vị
Mốt là gì?
Mốt được định nghĩa như sau: Trong bảng phân bố tần số rời rạc, giá trị có tần số lớn nhất sẽ được gọi là Mốt trong bảng phân bố đó. M0 được gọi là ký hiệu của Mốt.
>> Xem thêm: Bảng “tần số” các giá trị của dấu hiệu: Hệ thống kiến thức
Giải bài tập về trung vị và cách tính mốt – SGK
Bài 1: SGK – 122
Giải bài toán chi tiết:
Ta sử dụng công thức tính số trung bình cộng vào giải bài toán
a] Ta có bảng phân bố tần số về tuổi thọ bóng đèn điện như sau:
| Tuổi thọ xi | 1150 | 1160 | 1170 | 1180 | 1190 | Cộng |
| Tần số Ni | 3 | 6 | 12 | 6 | 3 | 30 |
Theo công thức tính số trung bình cộng ta có:
x‾ = 1/30.[3.1150 + 6.1160] + 12.1170 + 6.1180 + 3.1190] = 1170
b] Ta có bảng phân số tần suất ghép lớp cho độ dài của 60 lá dương sỉ như sau:
| Độ dài lá [cm] | Tần suất | Giá trị đại diện |
| [10; 20] | 13,3 | 15 |
| [20; 30] | 30,0 | 25 |
| [30; 40] | 40,0 | 35 |
| [40; 50] | 16,7 | 45 |
| Cộng | 100% |
Số trung bình cộng của chiều dài lá dương xỉ trưởng thành được tính như sau:
x‾ = [13,3/100]. 15 + [30/100].25 + [40/100].35 + [16,7/100].45 ≈ 31,01.
Bài 2: SGK – 122
Giải bài toán:
Áp dụng công thức tính số trung bình cộng với bảng phân bố tần số tần suất vào giải bài toán:
Ta có:
Số trung bình kết quả điểm thi môn Toán lớp 10A là:
x‾ = 1/50.[2.1 + 4.3 + 12.5 + 28.7 + 4.9] = 6,12
Tính số trung bình của kết quả điểm thi môn Toán của lớp 10B là:
x¯ = 1/51. [4.1 + 10.3 + 18.5 +14.7 + 5.9] = 5,24
Từ kết quả trên ta thấy rằng trung bình điểm kiểm tra môn toán của 10A tốt hơn kết quả điểm số của lớp 10B.
Bài 3: SGK – 123
Đây là dạng toán tính mốt, vì thế chúng ta áp dụng định nghĩa về mốt để giải bài toán trên.
Giải bài toán:
a] Dựa vào bảng phân bố tần suất của 30 công nhân may trên ta có:
Giá trị tiền lương là 700[nghìn đồng] và 900[nghìn đồng] có tần số bằng nhau và cũng lớn hơn các tần số khác. Vì thế bảng phân bố này ta có 2 số mốt là:
M1 = 700 và M2 = 900
b] Ý nghĩa
- Số công nhân may có tiền lương là 700.000 vnđ/ tháng và 900.000 vnđ/ tháng có tần số bằng nhau và chiếm đa số.
- Tỷ lệ công nhân nhận được mức lương là 700[nghìn đồng] và 900 [nghìn đồng] có tỷ lệ cao hơn các công nhân nhận mức lương khác.
Bài 4: SGK – 123
Ta có thể sắp xếp các thứ tự của các số đã thống kê thành một dãy số không giảm hoặc không tăng. Số trung vị được ký hiệu là Me là số được đứng ở giữa các dãy số nếu các phần tử là các số lẻ và trung bình cộng sẽ là 2 số đứng giữa dãy số đó nếu phần tử đó là số chẵn.
Giải bài toán:
Bài 5 – 123 SGK
Sử dụng công thức tính số trung bình cộng để giải bài toán:
Giải bài toán:
Một số bài tập nâng cao luyện tập
Dạng 1: Tính giá trị số trung bình
Phương pháp giải: Hãy xác định bảng phân bố rời rạc hay là bảng phân bố ghép lớp.
Nếu là bảng phân bố rời rạc ta sử dụng công thức:
Còn nếu là bảng phân bố ghép lớp ta sử dụng công thức:
Hãy vận dụng kiến thức trên vào giải bài toán sau:
Bài toán: Trong một lớp học môn vẽ [ lớp Vẽ A], để có thể tìm hiểu được khả năng, trình độ luyện tập của các học sinh của lớp đó đến đâu. Người ta 2 lớp học vẽ làm bài kiểm tra chung một đề và từ đó lập được bảng phân bố tần số sau:
Điểm thi môn vẽ của lớp Vẽ A
| Điểm thi môn vẽ | Tần số |
| [0;3] | 2 |
| [3; 5] | 4 |
| [5; 7] | 12 |
| [7; 9] | 28 |
| [9; 10] | 4 |
| Cộng | 50 |
Hãy tính trung bình cộng cho kết quả thi môn vẽ của lớp đó theo bảng phân bố tần số trên.
Dạng 2: Tìm số trung vị
Phương pháp giải:
Hãy sắp xếp thứ tự của các số liệu được thống kê theo thứ tự không tăng hoặc không giảm.
- Nếu có n số liệu , n = 2k + 1 thì ta có Me = xk + 1
- Nếu ta có n số liệu, n = 2k thì giá trị số trung vị được tính là Me = [xk + xk +1]/ 2
Bài toán: Tiền gạo hàng tháng của một gia đình 5 người được tính như sau: 200; 250; 300; 350; 450 [ đơn vị: nghìn đồng]. Hãy tìm số trung vị theo các số liệu đã được cho trước. Nêu ý nghĩa của giá trị số kết quả vừa tìm được.
Dạng 3: Mốt
Phương pháp giải:
Giá trị lớn nhất trong bảng phân bố tần số được gọi là Mốt và ký hiệu là M0.
Bài toán: Theo kết quả điều tra được từ một công ty A thì tiền lương hàng tháng của 25 nhân viên được thể hiện qua bảng phân bố tần số sau:
Tiền lương 25 nhân viên tại công ty A
| Tiền lương [nghìn đồng] | 300 | 500 | 700 | 800 | 900 | 1000 | Cộng |
| Tần số | 3 | 3 | 5 | 5 | 4 | 5 | 25 |
Hãy tính số trung bình cộng và mốt của 25 nhân viên theo bảng phân bố tần số tiền lương trên.
Tổng kết kiến thức về số trung bình cộng, số trung vị, mốt
Trên đây là toàn bộ nội dung, kiến thức cần ôn tập về số trung bình cộng, số trung vị, mốt và cách tính mốt, tính trung vị. Hy vọng những chia sẻ trên sẽ giúp các bạn ôn tập các kiến thức thật tốt. Luôn đạt thành tích cao trong lĩnh vực học tập của mình.