Đề bài
Cho đường tròn [O ; 5 cm]. Từ một điểm M ở ngoài [O], vẽ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho \[MA \bot MB\] tại M.
a] Tính MA và MB.
b] Qua giao điểm I của đoạn MO và đường tròn [O], vẽ một tiếp tuyến với [O] cắt OA, OB tại C và D. Tính CD.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Chứng minh tứ giác OAMB là hình vuông.
b] Chứng minh tam giác OCD cân tại O, suy ra I là trung điểm của CD. Sử dụng các giá trị lượng giác trong tam giác vuông tính IC, từ đó tính CD.
Lời giải chi tiết
a] Ta có MA, MB là tiếp tuyến của \[\left[ O \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AM \bot OA \Rightarrow \angle OAM = {90^0}\\BM \bot OB \Rightarrow \angle OBM = {90^0}\end{array} \right.\]
Xét tứ giác \[OAMB\] có \[\angle OAM = \angle OBM = \angle AMB = {90^0}\]
\[\Rightarrow \] Tứ giác \[OAMB\] là hình chữ nhật [Tứ giác có 3 góc vuông]. Lại có \[OA = OB = R \Rightarrow OAMB\] là hình vuông [Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau].
\[ \Rightarrow MA = MB = OA = OB = 5\] [cm].
b] Do \[OAMB\] là hình vuông [cmt] nên \[OI\] là phân giác của \[\angle AOB\].
Xét \[\Delta OCD\] có \[OI\] là phân giác đồng thời là đường cao \[ \Rightarrow \Delta OCD\] cân tại O.
\[ \Rightarrow \] Đường cao OI đồng thời là đường trung tuyến \[ \Rightarrow I\] là trung điểm của \[CD \Rightarrow CD = 2IC\].
Ta có \[\angle COI = \dfrac{1}{2}\angle COD = \dfrac{1}{2}{.90^0} = {45^0}\]
Xét tam giác vuông OCI có: \[IC = OI.\tan {45^0} = 5\,\,\left[ {cm} \right]\].
\[ \Rightarrow CD = 2IC = 2.5 = 10\,\,\left[ {cm} \right]\].