Đề bài
Xác định một hàm số \[y = f\left[ x \right]\] thoả mãn đồng thời các điều kiện sau :
a] \[f\left[ x \right]\]xác định trên R
b] \[y = f\left[ x \right]\]liên tục trên \[\left[ { - \infty ;0} \right]\]và trên \[{\rm{[}}0; + \infty ]\]nhưng gián đoạn tại x = 0.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Lấy ví dụ hàm số dạng khoảng và nhận xét.
Lời giải chi tiết
Xét
\[f\left[ x \right] = \left\{ \matrix{
{x^2}{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x \ge 0 \hfill \cr
x - 1{\rm{ , \,\,nếu }}\,\,x < 0 \hfill \cr} \right.\]
Dễ thấy hàm số xác định trên \[R\] và liên tục trên các khoảng \[[-\infty ;0]\] và \[[0;+\infty ]\].
Tại \[x=0\] ta có:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^2} = 0\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left[ {x - 1} \right] = - 1\]
Do đó \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left[ x \right] \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left[ x \right]\] nên không tồn tại \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left[ x \right]\].
Vậy hàm số gián đoạn tại \[x = 0\].