Đề bài
Câu 1.
a. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \[y = 3{x^2} - 6x + 2\] .
b. Xác định a, b để đường thẳng \[y = ax + b\] đi qua hai điểm A[3;1], B[-3;-5].
c. Xác định giao điểm của hai đồ thị trên.
Câu 2.
a. Giải và biện luận phương trình \[{m^2}x - 3 = 9x + m\] theo tham số m.
b. Giải phương trình \[{{{x^2} - 2} \over x} + {x \over {{x^2} - 2}} = 2\] .
Câu 3. Cho phương trình \[\left[ {m - 1} \right]{x^2} - 2mx + m + 2 = 0\] .
a. Xác định m để phương trình có nghiệm.
b. Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm trái dấu?
Lời giải chi tiết
Câu 1.
a.Xét hàm số \[y = 3{x^2} - 6x + 2\]
Tập xác định \[D=R\]
Đỉnh: \[I\left[ {1; - 1} \right]\]
Trục đối xứng \[x=1\]
\[x = 0 \Rightarrow y = 2\] : Đồ thị cắt trục tung tại điểm [0;2].
\[y = 0 \Rightarrow 3{x^2} - 6x + 2 = 0 \Rightarrow x = {{3 \pm \sqrt 3 } \over 3}\] .
Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm \[\left[ {{{3 \pm \sqrt 3 } \over 3};0} \right]\]
Đồ thị
b.Đường thẳng \[y = ax + b\] đi qua hai điểm \[A\left[ {3;1} \right],B\left[ { - 3; - 5} \right]\] khi và chỉ khi
\[\left\{ \matrix{ 3a + b = 1 \hfill \cr - 3a - b = - 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = 1 \hfill \cr b = - 2 \hfill \cr} \right.\]
Vậy đường thẳng có phương trình \[y = x - 2\] .
c. Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị
\[3{x^2} - 6x + 2 = x - 2 \Leftrightarrow 3{x^2} - 7x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr x = {4 \over 3} \hfill \cr} \right.\]
Vậy giao điểm của hai đồ thị là [1;-1] và \[\left[ {{4 \over 3}; - {2 \over 3}} \right]\] .
Câu 2.
a.Ta có \[{m^2}x - 3 = 9x + m \Leftrightarrow \left[ {{m^2} - 9} \right]x = m + 3\] .
Xét các trường hợp
\[{m^2} - 9 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 3\]
Phương trình có nghiệm duy nhất \[x = {{m + 3} \over {{m^2} - 9}} = {1 \over {m - 3}}\] .
\[m= 3\]: Phương trình trở thành \[0x= 6\]. Phương trình vô nghiệm.
m= -3:Phương trình trở thành 0x= 0. Phương trình nghiệm đúng với mọi
Kết luận :
\[m \ne \pm 3:{\rm{ x = }}\dfrac{1 } {m - 3}\] .
m= 3: Phương trình vô nghiệm .
b. Xét phương trình\[\dfrac{{{x^2} - 2}}{x} + \dfrac{x}{{{x^2} - 2}} = 2\]
Điều kiện xác định: \[x \ne 0,x \ne \pm \sqrt 2 \] .
Đặt\[t = \dfrac{{{x^2} - 2}}{x},{t^2} \ne 0\]. Phương trình trở thành
\[t + \dfrac{1}{t} = 2 \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 = 0 \]
\[\Leftrightarrow t = 1\][thỏa mãn điều kiện]
Vậy \[\dfrac{{{x^2} - 2}}{x} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1 \hfill \cr x = 2 \hfill \cr} \right.\] [thỏa mãn điều kiện]
Phương trình đã cho có hai nghiệm \[x= -1, x=2.\]
Câu 3.
a. Xét phương trình \[\left[ {m - 1} \right]{x^2} - 2mx + m + 2 = 0\] [1]
\[m= 1\]: Phương trình trở thành \[ - 2x + 3 = 0\] . Phương trình có nghiệm \[x = \dfrac{3 }{ 2}\] .
\[m \ne 1\] : Lập \[\Delta ' = {m^2} - \left[ {m - 1} \right]\left[ {m + 2} \right] = - m + 2\] .
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \[\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow - m + 2 \ge 0 \Leftrightarrow m \le 2\] .
Kết luận: Phương trình [1] có hai nghiệm khi \[m \le 2\] .
b. Phương trình [1] có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
\[P < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{n + 2}}{{m - 1}}< 0 \]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ m + 2 > 0 \hfill \cr m - 1 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow - 1 < m < 1 \hfill \cr \left\{ \matrix{ m + 2 < 0 \hfill \cr m + 1 > 0 \hfill \cr} \right.{\rm{ }} \hfill \cr} \right.\]