Giải bài 31 toán hình sách bài tập lớp 7 năm 2024

Bài 32: Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Lời giải:

Giả sử ΔABC có hai đường trung tuyến BD và CE bằng nhau.

Gọi I là giao điểm BD và CE, ta có:

BI = 2/3 BD (tính chất đường trung tuyến) (1)

CI = 2/3 CE (tính chất đường trung tuyến) (2)

Từ (1), (2) và giả thiết BD = CE suy ra: BI = CI

Suy ra: BI + ID = CI + IE ⇒ ID = IE

Xét ΔBIE và ΔCID, ta có:

BI = CI (chứng minh trên)

∠(BIE) = ∠(CID) (đối đỉnh)

IE = ID (chứng minh trên)

Suy ra: ΔBIE = ΔCID (c.g.c)

Suy ra: BE = CD (hai cạnh tương ứng) (3)

Lại có: BE = 1/2 AB (vì E là trung điểm AB) (4)

CD = 1/2 AC (vì D trung điểm AB) (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: AB = CD.

Vậy tam giác ABC cân tại A.

Bài 33: Tam giác ABC cân tại A có AB = CD = 34cm, BC = 32cm. Kẻ đường trung tuyến AM.

1. Chứng minh rằng AM ⊥ BC.

2. Tính độ dài AM

Lời giải:

1. Xét ΔAMB và ΔAMC, ta có:

AM = AC (gt)

BM = CM (gt)

AM cạnh chung

Suy ra: ΔAMB = ΔAMC (c.c.c)

Suy ra: ∠(AMB) = ∠(AMC) (1)

Lại có: ∠(AMB) + ∠(AMC) = 180° (hai góc kề bù) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠(AMB) = ∠(AMC) = 90°

Vậy AM ⊥ BC.

2. Tam giác AMB có ∠(AMB) = 90°

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AMB, ta có:

AB2 = AM2 + BM2 ⇒ AM2 = AB2 - BM2 = 342 - 162

\= 1156 - 256 = 900

Suy ra: AM = 30 (cm).

Bài 34: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Vẽ điểm D sao cho G là trung điểm của AD. Chứng minh rằng:

1. Các cạnh của tam giác BGD bằng 2/3 các đường trung tuyến của tam giác ABC.

2. Các đường trung tuyến của tam giá BGD bằng một nửa các cạnh của tam giác ABC.

Lời giải:

1. Gọi AM, BN, CP lần lượt là các đường trung tuyến của ΔABC. Các đường trung tuyến cắt nhau tại G.

Ta có: AG = GD (gt)

AG = 2GM (tính chất đường trung tuyến)

Suy ra: GD = 2GM

Mà GD = GM + MD ⇒ GM = MD

Xét ΔBMD và ΔCMG, ta có:

BM = CM (gt)

∠(BMD) = ∠(CMG) (đối đỉnh)

MD = GM (chứng minh trên)

Suy ra: ΔBMD = ΔCMG (c.g.c)

⇒ BD = CG (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác: CG = 2/3 CP (tính chất đường trung tuyến)

Suy ra: BD = 2/3 CP (1)

Lại có: BG = 2/3 BN (tính chất đường trung tuyến) (2)

Và AG = 2/3 AM (tính chất đường trung tuyến)

Suy ra: GD = 2/3 AM (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra các cạnh của tam giác BGD bằng 2/3 các đường trung tuyến của tam giác ABC.

9.2. Cho tam giác ABC cân tại A, hai điểm D, E nằm trên đường thẳng BC, D nằm giữa B và C, C nằm giữa D và E. Hãy chứng minh AD < AC < AE.

9.3. Hãy giải thích tại sao trong tam giác vuông, cạnh huyền dài nhất và trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.

Hai đoạn thẳng BE và CD vuông góc với nhau tại A sao cho AB = AD, AC = AE, AB > AC. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai? Vì sao?

1. ΔAED = ΔACB.

b)DE = BC.

3. ΔACE = ΔABD.

4. \(\widehat {ABC} = \widehat {A{\rm{ED}}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xem các điều kiện đề bài đưa ra để tìm ra các phát biểu sai.

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

Xét ΔAED và ΔACB có:

\(\widehat {DA{\rm{E}}} = \widehat {BAC}\) (cùng bằng 90°),

AD = AB (giả thiết),

AE = AC (giả thiết)

Do đó ΔAED = ΔACB (hai cạnh góc vuông) nên phát biểu a đúng.

Từ ΔAED = ΔACB, suy ra:

DE = BC (hai cạnh tương ứng), nên phát biểu b đúng.

\(\widehat {ABC} = \widehat {A{\rm{DE}}}\) (hai góc tương ứng) nên phát biểu d sai.

Xét ΔACE và ΔABD, ta thấy hai tam giác này không có các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau. Do đó hai tam giác này không bằng nhau, nên phát biểu c sai.