I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương trình mũ cơ bản
Phương trình có dạng \[{a^x} = b\left[ {0 < a \ne 1} \right]\]
+] Với \[b > 0\] ta có \[{a^x} = b \Leftrightarrow x = {\log _a}b\].
+] Với \[b \le 0\] phương trình vô nghiệm.
Ví dụ: Giải phương trình \[{5^x} = 125\].
Ta có:
\[\begin{array}{l}{5^x} = 125\\ \Leftrightarrow x = {\log _5}125\\ \Leftrightarrow x = 3\end{array}\]
2. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản
a] Đưa về cùng cơ số
Ví dụ: Giải phương trình \[{\left[ {\frac{1}{2}} \right]^{2x - 1}} = {2^{3x}}\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}{\left[ {\frac{1}{2}} \right]^{2x - 1}} = {2^{3x}}\\ \Leftrightarrow {2^{ - 2x + 1}} = {2^{3x}}\\ \Leftrightarrow - 2x + 1 = 3x\\ \Leftrightarrow 1 = 5x\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{5}\end{array}\]
b] Đặt ẩn phụ
Ví dụ: Giải phương trình \[{4^x} - {2^{x + 1}} + 1 = 0\].
Ta có:
\[\begin{array}{l}{4^x} - {2^{x + 1}} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {{2^x}} \right]^2} - {2.2^x} + 1 = 0\end{array}\]
Đặt \[t = {2^x} > 0\] ta được:
\[\begin{array}{l}{t^2} - 2t + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {t - 1} \right]^2} = 0\\ \Leftrightarrow t - 1 = 0\\ \Leftrightarrow t = 1\end{array}\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow {2^x} = 1\\ \Leftrightarrow x = {\log _2}1\\ \Leftrightarrow x = 0\end{array}\]
c] Logarit hóa
Ví dụ: Giải phương trình \[{3^x}{.2^{{x^2}}} = 1\].
Logarit hai vế cơ số \[3\] ta được:
\[\begin{array}{l}{\log _3}\left[ {{3^x}{{.2}^{{x^2}}}} \right] = {\log _3}1\\ \Leftrightarrow {\log _3}{3^x} + {\log _3}{2^{{x^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow x + {x^2}{\log _3}2 = 0\\ \Leftrightarrow x\left[ {1 + x{{\log }_3}2} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\1 + x{\log _3}2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - \dfrac{1}{{{{\log }_3}2}} = - {\log _2}3\end{array} \right.\end{array}\]
II. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Phương trình logarit cơ bản
Phương trình có dạng \[{\log _a}x = b\] \[\left[ {0 < a \ne 1} \right]\]
Ta có: \[{\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}\].
Phương trình luôn có nghiệm \[x = {a^b}\].
Ví dụ: Giải phương trình \[{\log _5}x = - 2\].
Ta có: \[{\log _5}x = - 2 \Leftrightarrow x = {5^{ - 2}} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{25}}\].
2. Cách giải một số phương trình logarit
a] Đưa về cùng cơ số
Ví dụ: Giải phương trình \[{\log _2}x + {\log _4}x = 1\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}{\log _2}x + {\log _4}x = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}x + \dfrac{1}{2}{\log _2}x = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}{\log _2}x = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}x = \dfrac{2}{3}\\ \Leftrightarrow x = {2^{\frac{2}{3}}}\\ \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{4}\end{array}\]
b] Đặt ẩn phụ
Ví dụ: Giải phương trình \[\dfrac{1}{{\ln x}} + \dfrac{1}{{\ln x - 1}} = \dfrac{5}{6}\].
ĐK: \[\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\ln x \ne 0\\\ln x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\\x \ne e\end{array} \right.\]
Đặt \[t = \ln x\left[ {t \ne 0,t \ne 1} \right]\] ta được:
\[\begin{array}{l}\dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{{t - 1}} = \dfrac{5}{6}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6t - 6 + 6t}}{{6t\left[ {t - 1} \right]}} = \dfrac{{5t\left[ {t - 1} \right]}}{{6t\left[ {t - 1} \right]}}\\ \Rightarrow 12t - 6 = 5{t^2} - 5t\\ \Leftrightarrow 5{t^2} - 17t + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = \dfrac{2}{5}\end{array} \right.\left[ {TM} \right]\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\ln x = 3\\\ln x = \dfrac{2}{5}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {e^3}\\x = {e^{\frac{2}{5}}}\end{array} \right.\left[ {TM} \right]\end{array}\]
Vậy phương trình có tập nghiệm \[S = \left\{ {{e^3};{e^{\frac{2}{5}}}} \right\}\].
c] Mũ hóa
Ví dụ: Giải phương trình \[{\log _3}\left[ {3 - {3^x}} \right] = 1 + x\]
ĐK: \[3 - {3^x} > 0 \Leftrightarrow {3^x} < 3 \Leftrightarrow x < 1\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}{\log _3}\left[ {3 - {3^x}} \right] = 1 + x\\ \Leftrightarrow 3 - {3^x} = {3^{1 + x}}\\ \Leftrightarrow 3 - {3^x} = {3.3^x}\\ \Leftrightarrow 3 = {4.3^x}\\ \Leftrightarrow {3^x} = \dfrac{3}{4}\\ \Leftrightarrow x = {\log _3}\dfrac{3}{4}\\ \Leftrightarrow x = 1 - {\log _3}4\left[ {TM} \right]\end{array}\]