Bài 5 Khoảng cách SBT Toán lớp 11.Giải bài 3.37, 3.38, 3.39, 3.40 trang 162. Câu 3.37: Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối trong một tứ diện đều cạnh a; Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SG ?
Bài 3.37:Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối trong một tứ diện đều cạnh a.
Giả thiết cho ABCD là tứ diện đều nên các cặp cạnh đối diện của tứ diện đó có vai trò như nhau. Do đó ta chỉ cần tính khoảng cách giữa hai cạnh AB và CDlà đủ.
Gọi Ivà Klần lượt là trung điểm của AB và CD. Dễ thấy IKlà đoạn vuông góc chung của AB và CD nên nó chính là khoảng cách giữa AB và CD.
Tam giác BKI vuông tại I. Ta có :
\[I{K^2} = B{K^2} B{I^2} = {\left[ {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right]^2} {\left[ {{a \over 2}} \right]^2} = {{{a^2}} \over 2}\]
Vậy \[IK = {{a\sqrt 2 } \over 2}\].
Bài 3.38:Tính khoảng cách giữa hai cạnh AB và CD của hình tứ diện ABCD biết rằng \[AC = BC = A{\rm{D}} = B{\rm{D}} = a\]và \[AB = p,C{\rm{D}} = q\].
Gọi Ivà Klần lượt là trung điểm của AB và CD[h.3.80], ta có IKlà đoạn vuông góc chung của AB và CDvà độ dài đoạn IKlà khoảng cách cần tìm:
\[I{K^2} = B{K^2} B{I^2} = B{K^2} {{{p^2}} \over 4}\]
Mà \[B{K^2} = B{C^2} C{K^2} = {a^2} {{{q^2}} \over 4}\]
Vậy \[I{K^2} = {a^2} {{{p^2} + {q^2}} \over 4}\]
Do đó \[IK = {1 \over 2}\sqrt {4{{\rm{a}}^2} \left[ {{p^2} + {q^2}} \right]} \]
Với điều kiện \[4{{\rm{a}}^2} \left[ {{p^2} + {q^2}} \right] > 0\].
Bài 3.39:Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là trọng tâm của tam giác đáy ABC.
a] Tính khoảng cách từ Stới mặt phẳng đáy [ABC].
b] Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SG.
a] SGlà trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABCnên SG [ABC]. Ta có
\[\eqalign{
& S{G^2} = S{A^2} A{G^2} \cr
& = {\left[ {2{\rm{a}}} \right]^2} {\left[ {{2 \over 3}\left[ {{{3{\rm{a}}\sqrt 3 } \over 2}} \right]} \right]^2} \cr
& = 4{{\rm{a}}^2} 3{{\rm{a}}^2} = {a^2} \cr} \]
Vậy khoảng cách từ Stới mặt phẳng [ABC] là độdài của đoạn SG = a
Ta có CG AB tại H. Vì GHlà đoạn vuông góc chung của ABvà SG, do đó \[HG = {1 \over 3}HC\]mà \[HC = {{3{\rm{a}}\sqrt 3 } \over 2}\]nên \[HG = {{a\sqrt 3 } \over 2}\].
Bài 3.40:Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABCcó tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt phẳng đáy góc 60° và hình chiếu vuông góc của đỉnh Alên mặt phẳng [ABC] trùng với trung điểm của cạnh BC.
a] Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ.
b] Chứng minh rằng mặt bên BCCB là một hình vuông.
a] Gọi Ilà trung điểm của cạnh BC. Theo giả thiết ta có AI [ABC] và \[\widehat {AAI} = {60^0}\]. Ta biết rằng hai mặt phẳng [ABC] và [ABC] song song với nhau nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng chính là khoảng cách AI.
Do đó \[AI = AA.\sin {60^0} = a.{{\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 2}\]
b] \[\left. \matrix{
BC \bot AI \hfill \cr
BC \bot AI \hfill \cr} \right\} \Rightarrow BC \bot \left[ {AIA} \right]\]
\[ \Rightarrow BC \bot AA\]
Mà \[AA\parallel BB\parallel CC\]nên BC BB
Vậy mặt bên BCCB là một hình vuông vì nó là hình thoi có một góc vuông.