Môn xác suất thống kê là gì năm 2024

Ứng với mỗi cách chọn áo ở giai đoạn 1, ta có 5 cách chọn quần ở giai đoạn 2 để lập ra một bộ quần áo. Vậy ta có tất cả 12 ×5 = 60cách chọn.

Tổng quát, ta có

Giả sử một công việc được thực hiện tuần tự theokbước, trong đó - Bước 1 cón 1 cách thực hiện, - Bước 2 cón 2 cách thực hiện,.. ., - Bướckcónkcách thực hiện, Khi đó, ta cón 1 ×n 2 ×···×nkcách thực hiện công việc.

1 Chỉnh hợp

Ví dụ 3ó 5 bức tranh và 7 cái móc treo trên tường. Có bao nhiêu cách treo 5bức tranh này? Biết rằng mỗi móc chỉ treo một bức tranh.

Hướng dẫnCông việc treo tranh có 5 giai đoạn sau:

+Giai đoạn 1 : Treo bức tranh thứ nhất. Ta chọn ra một móc treo từ 7 cái móc treo, có 7 cách chọn [còn lại 6 móc treo]. +Giai đoạn 2 :Treo bức tranh thứ hai, có 6 cách chọn [còn lại 5 móc treo]. +Giai đoạn 3 :Treo bức tranh thứ ba, có 5 cách chọn [còn lại 4 móc treo]. +Giai đoạn 4 :Treo bức tranh thứ tư, có 4 cách chọn [còn lại 3 móc treo]. +Giai đoạn 5 :Treo bức tranh thứ tư, có 3 cách chọn.

Vậy, theo nguyên lý nhân, ta có: 7 × 6 × 5 × 4 ×3 = 2520cách treo.

Định nghĩa 1.3. Một chỉnh hợpnchậpklà một cách lấykphần tử khác nhau [có để ý đến thứ tự, trật tự sắp xếp] từnphần tử khác nhau.

Với tập hợpAgồmnphần tử, số chỉnh hợpnchậpkđược ký hiệuAknvà xác định bởi công thức

Akn= n! [n−k]!

trong đón! = 1. 2 ..,với quy ước:0! = 1.

Ví dụ 4. Theo ví dụ trên, ta có: Một cách treo 5 bức tranh là một cách chọn ra 5 móc treo khác nhau từ 7 móc treo [có để ý đến vị trí của chúng]→Mỗi cách treo là một chỉnh hợp 7 chập 5. Vậy có

A 57 =

7! [7−5]! \= 7! 2! \= 7. 6. 5. 4 .3 = 2520

cách treo.

Nhận xét 1ỗi cách treo 5 bức tranh là một cách lấy 5 cái móc treo từ 7 cái móc treo. Đây là cách lấy có thứ tự, bởi vì trật tự lấy các móc khác nhau sẽ cho ta các cách treo khác nhau. Vậy số cách lấy có thứ tự 5 phần tử từ 7 phần tử được tính như thế nào?

• Mỗi phần tử lấy ra từnphần tử tạo thành một nhóm.
• Các nhóm khác nhau do:
  • Các phần tử trong nhóm khác nhau. Chẳng hạn,1 2 3 4khác3 4 5 6.
  • Thứ tự, trật tự sắp xếp của các phần tử trong nhóm khác nhau. Chẳng hạn, 1 2 3 4khác3 4 2 1.

1 Hoán vị

Định nghĩa 1.4.1ónphần tử khác nhau. Mộthoán vịcủanphần tử này là một cách sắp xếpnphần tử này theo một thứ tự xác định.

Ví dụ 5. Có 4 người. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 4 người này:

1. Ngồi thành một hàng dài.
2. Ngồi thành một vòng tròn.
3. Ngồi thành một vòng tròn có đánh số.

Hướng dẫn.

1. Ngồi thành một hàng dài. A B C D 1 2 3 4 Mỗi cách xếp 4 người này là một hoán vị của 4 người này. Vậy có4!cách.
2. Ngồi thành một vòng tròn. Chọn ra 1 người làm mốc, ta thấy vị trí ban đầu của người này không quan trọng [chẳng hạn: A làm mốc, A ở vị trí 1 cũng như vị trí 2]⇒Chỉ xếp 3 người còn lại: có3!cách.
3. Ngồi thành một vòng tròn có đánh số:4!cách.

1 Tổ hợp

Định nghĩa 1.5.1ột tổ hợpnchậpklà một cách lấykphần tử khác nhau [không để ý đến thứ tự sắp xếp] từnphần tử khác nhau. Số tổ hợpnchậpkđược ký hiệu làCnkvà được tính theo công thức:

Cnk= n! k! [n−k]!

.

Chương 2

BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA

BIẾN CỐ

2 Một số khái niệm cơ bản

2.1 Đối tượng nghiên cứu

Trong cuộc sống, ta gặp rất nhiều hiện tượng mà kết quả của nó takhông biết chắc chắn được. Chẳng hạn, khi gieo đồng xu, có thể xuất hiện mặtsố cũng có thể xuất hiện mặt hình. Khi gieo một con xúc xắc, có thể xuất hiện mặt 6 chấm nhưng có thể xuất hiện mặt 2 chấm... Các hiện tượng như thế được gọi là hiện tượng ngẫu nhiên.

Hiện tượng ngẫu nhiênlà hiện tượng mà dù thực hiện trong cùng một điều kiện nhưng vẫn cho các kết quả khác nhau. Hiện tượng ngẫu nhiên là đối tượng nghiên cứu của lý thuyết xác suất. Lý thuyết xác suất nghiên cứu tính quy luật của hiện tượng ngẫu nhiên.

2.1 Phép thử, không gian mẫu và biến cố

Phép thửlà một khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất nhưng không có định nghĩa chính xác, tương tự khái niệm điểm, đường thẳng... trong hình học phổ thông. Ta có thể hiểu phép thử là một thí nghiệm hay một quan sát được thực hiện trong một điều kiện xác định. Chẳng hạn như

• Tung một con xúc xắc, coi như là ta đã thực hiện một phép thử.
• Kiểm tra bài một học sinh, coi như là ta đã thực hiện một phép thử.

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi làkhông gian mẫu của phép thử đó, ký hiệu làΩ. Mỗi kết quả của phép thử được gọi là mộtbiến cố sơ cấp, ký hiệu làω. Mỗi tập con của không gian mẫu được gọi làbiến cố.

Một biến cốAđược gọi là xảy ranếu có ít nhất một kết quả trong nó xảy ra. Một biến cố được gọi làbiến cố ngẫu nhiên nếu nó có thể xảy hoặc không xảy ra sau khi thực hiện phép thử. Ta thường dùng các chữ in hoa, chẳnghạn A, B, C.. ., A 1 , A 2 , A 3.. .,B 1 , B 2 , B 3 ,.. .để ký hiệu biến cố ngẫu nhiên.

10

Ngoài các biến cố ngẫu nhiên, ta còn có hai loại biến cố đặc biệt:

• Biến cố chắc chắnlà biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện phép thử, ký hiệu: Ω.
• Biến cố không thểlà biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử, ký hiệu:∅.

Ví dụ 8. Tung một con xúc xắc cân đối đồng chất

• Biến cố“xuất hiện mặt có 7 chấm”là biến cố không thể.
• Biến cố“xuất hiện mặt có 6 chấm”là biến cố ngẫu nhiên.
• Biến cố“xuất hiện mặt có số nút bé hơn hay bằng 6”là biến cố chắc chắn.

Ví dụ 9. Xét một gia đình có 3 con. Đặt

A= “gia đình có 2 con”, B= “gia đình có 3 con”, C= “gia đình có 2 con gái” D= “gia đình có 1 trai, 1 gái”. Biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố không thể, biến cố ngẫunhiên?

Ví dụ 10ộp có 8 bi gồm: 6 bi trắng, 2 bi xanh. Lấy ra 3 bi xem màu. Đặt

A= “lấy được 1 bi trắng”, B= “lấy được 3 bi xanh”, C= “lấy được 3 bi”, Biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố không thể, biến cố ngẫunhiên?

2.1 Mối quan hệ giữa các biến cố

Biến cốAđược gọi làkéo theobiến cốBnếu biến cốAxảy ra thì biến cốBxảy ra. Ký hiệu:A⊂B.

Biến cốAvàBđược gọi là hai biến cốtương đươngnếu biến cốAxảy ra thì biến cốBxảy ra và ngược lại. Ký hiệu:A=B.

Hợpcủa hai biến cốAvàBlà biến cốC mà biến cố này xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cốAvàBxảy ra. Kí hiệu:C=A∪BhoặcC=A+B. Nói cách khác, nếuC=A∪BthìC xảy ra trong các trường hợp sau:Axảy ra,Bkhông xảy ra;B xảy ra,Akhông xảy ra; cảAvàBcùng xảy ra.

Ta có thể mở rộng khái niệm trên như sau:Hợp củanbiến cốA 1 ,A 2 , ..., Anlà một biến cốAmà biến cố này xảy ra khi ít nhất một trong các biến cốA 1 ,A 2 , ...,An xảy ra. Lúc này, ta ký hiệu:A=A 1 ∪A 2 ∪...∪AnhoặcA=A 1 +A 2 +...+An.

Giaocủa hai biến cốAvàBlà một biến cốCmà biến cố này xảy ra khiAvàB đồng thời xảy ra khi thực hiện phép thử. Lúc này, ta viếtC=A∩BhoặcC=A hoặcC=AB.

Hướng dẫnép thử này có 6 biến cố sơ cấp có khả năng xảy ra làA 1 , A 2 , ..., A 6 vớiAilà biến cố“xuất hiện mặt cóichấm”, i= 1,... , 6. GọiAlà biến cố xuất hiện mặt lẻ,A=A 1 +A 3 +A 5 , tức có 3 biến cố sơ cấp đồng khả năng thuận lợi choA. Theo định nghĩa, ta có:

P[A] =

3 6 \= 0, 5.

Ví dụ 12. Một hộp có 8 sản phẩm, trong đó có 5 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ hộp đó ra 3 sản phẩm. Tính xác suất lấy được 2 sản phẩm tốt.

Hướng dẫn. GọiAlà biến cố lấy được 2 sản phẩm tốt. Mỗi kết quả của phép thử tương ứng với việc chọn 3 sản phẩm từ tập hợp 8 sản phẩm, tức là một tổ hợp chập 3 của 8 sản phẩm. Do đó, số kết quả của phép thử làC 83.

Biến cốAxảy ra khi trong 3 sản phẩm được chọn có 2 chính phẩm và 1 phế phẩm. Do đó, số trường hợp thuận lợi cho AlàC 52 .C 31. Vậy xác suất lấy được 3 sản phẩm tốt là:

P[A] =

C 52 .C 31 C 83 .

Nhận xét 4ông thức xác suất cổ điển có những ưu điểm và nhược điểm sau:

• Ưu điểm:Tính được chính xác các giá trị xác suất của biến cố mà không cần phải tiến hành phép thử.

*Nhược điểm:

• Chỉ áp dụng được với phép thử có hữu hạn các biến cố sơ cấp.
• Không phải lúc nào tất cả các biến cố sơ cấp cũng xảy ra đồng khả năng.
• Trong một số trường hợp thực tế, ta không tính được số phần tử củaA.

Ví dụ 13. Một lô hàng cóN sản phẩm. Lấy ngẫu nhiênn[n < N]sản phẩm của lô hàng. Tính xác suất lấy đượcmsản phẩm xấu trongnsản phẩm lấy ra.

Hướng dẫn.ĐặtAlà biến cố cómphế phẩm trongnsản phẩm lấy ra [m≤n]. Muốn tínhP[A], ta phải biết số sản phẩm xấu của lô hàng là bao nhiêu. Giả sử rằng, ta biết được số sản phẩm xấu của lô hàng làM thì xác suất

P[A] =

CMmCnN−−mM CNn

.

Tuy nhiên, trong thực tế ta không thể biết được chính xácM vì ta không thể kiểm tra [mở nắp] hết tất cả các sản phẩm trong lô hàng.

Ví dụ 14 sát số người đến siêu thị trong một ngày nào đó. GọiAlà biến cố quan sát được người đến siêu thị là nữ. Ta có thể xác định được sốphần tử củaAvà Ωkhông?

2.2 Định nghĩa xác suất theo thống kê

Định nghĩa 2.2.1ả sử khi tiến hànhnphép thử độc lập trong những điều kiện như nhau, biến cốAxuất hiệnmAlần. Khi đó, tỷ số mnA được gọi làtần suất xuất

hiệncủa biến cốAực nghiệm thống kê chứng minh rằng, khi số phép thửnkhá lớn, tần suất của biến cốAluôn dao động quanh một giá trị không đổip, [ 0 ≤p≤1]. Giá trịpđó được gọi làxác suấtcủa biến cốA. Như vậy, P[A] = lim n→∞

mA n

.

Trong thực tế, khi số phép thửnđủ lớn, ta lấy tần suất làm xấp xỉ cho xác suất của biến cốA, P[A]≈ mA n . [2]

Ví dụ 15.Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt số khi tung đồng tiền xu, người ta tiến hành tung đồng tiền xu nhiều lần, khi số phép thử tăng lên,tần suất xuất hiện mặt số tiến dần đến 0 , 5. Khi đó, ta xem xác suất xuất hiện mặt số là 0 , 5.

Bằng thực nghiệm, một số nhà khoa học đã thảy đồng tiền xu nhiềulần và nhận được các kết quả sau:

Người thực hiện Số lần thảy Số lần mặt hình Tần suất Buffon 4040 2048 0 , 5069 Pearson 12000 6019 0 , 5016 Pearson 24000 12012 0 , 5005

và khi đó, ta nói xác suất nhận được mặt hình gần bằng 0 , 5.

Ví dụ 16. Khi một xạ thủ nào đó bắn 1000 viên đạn thì có khoảng 800 viên trúng bia, khi đó ta nói xác suất để xạ thủ bắn trúng bia là80%.

Nhận xét 5.+ Chỉ có thể áp dụng cho các phép thử ngẫu nhiên có thể lặp lại nhiều lần một cách độc lập trong các điều kiện giống hệt nhau.

• Để cho kết quả chính xác thì số lần thực hiện phép thửnphải đủ lớn. Điều này thực tế không phải lúc nào cũng làm được.

2.2 Định nghĩa xác suất theo tiên đề Komogorov

Xét phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu làΩ. GọiP[Ω]là tập hợp tất cả các tập con củaΩ. Theo tiên đề Komogorov, xác suất là một ánh xạ nhận các giá trị thực và xác định trênP[Ω], P:P[Ω]→R A7→P[A] thỏa các tính chất sau:

1[Ω] = 1, 2[A]≥ 0 ,∀A∈P[Ω], 3[A 1 ∪A 2 ∪···∪An] =P[A 1 ] +P[A 2 ] +···+P[An],

Hệ quả 2.3.1 hai biến cốA, Bxung khắc. Khi đó,

P[A+B] =P[A] +P[B]. [2]

Tức là, nếu hai biến cố xung khắc thì xác suất của tổng hai biến cố bằng tổng hai xác suất của từng biến cố.

Ví dụ 18. Một hộp đựng 5 bi màu đỏ, 10 bi màu xanh, 15 bi màu trắng giống hệt nhau. Lấy ngẫu nhiên 1 bi và không nhìn vào hộp. Hãy tìm xác suất để lấy được bi đỏ hoặc bi xanh.

Hướng dẫn. ĐặtA= “lấy được bi màu đỏ”, B= “lấy được bi màu xanh”. Ta có P[A] =

5 30 \= 1 6 , P[B] = 10 30 \= 1 3 .

Ta thấyA+B= “lấy được bi màu đỏ hoặc màu xanh”. DoA,Blà hai biến cố xung khắc nên P[A+B] =P[A] +P[B] =

1 3 + 1 6 \= 1 2 .

Ví dụ 19 bình để 10 viên bi trong đó có 4 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để có 1 hoặc 2 viên bi đỏ.

Hướng dẫn. ĐặtA 1 là biến cố 3 viên bi lấy ra có đúng 1 viên bi đỏ, A 2 là biến cố 3 viên bi lấy ra có đúng 2 viên bi đỏ GọiAlà biến cố có 1 hoặc 2 viên bi đỏ. Ta sẽ tínhP[A].

Ta thấyA 1 , A 2 là hai biến cố xung khắc vì đã có 1 viên bi đỏ thì không thể có 2 viên bi đỏ và ngược lại. Do đó

P[A] = P[A 1 +A 2 ] =P[A 1 ] +P[A 2 ]

\=

C 41 .C 62 C 103 + C 42 .C 61 C 103 \= 4 5 .

Hệ quả 2.3.2ớiAlà biến cố bất kỳ của phép thử, ta có

P[A] = 1−P[A]. [2]

Ví dụ 20 một vùng dân cư tỷ lệ người mắc bệnh tim là9%, mắc bệnh huyết áp là12%và mắc cả hai bệnh là7%. Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng đó. Tính xác suất để người đó không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp.

Hướng dẫn GọiA=“Người đó mắc bệnh tim”,B=“Người đó mắc bệnh huyết áp” Ta có: P[A] = 0,09; P[B] = 0,12; P[AB] = 0, 07

GọiH= “Người đó không mắc bệnh tim và bệnh huyết áp”

H= “Người đó mắc bệnh tim hoặc bệnh huyết áp” Ta có:H=A+B, áp dụng công thức[2]ta được

P[H] =P[A+B] =P[A] +P[B]−P[AB] = 0,09 + 0, 12 − 0 ,07 = 0, 14.

Áp dụng công thức[2], ta có

P[H] = 1−P[H] = 1− 0 ,14 = 0, 86.

Mở rộng 2.3.1 1 , A 2 , ... Anlà dãy gồmnbiến cố xung khắc từng đôi. Khi đó, P[A 1 +A 2 +.. .+An] =P[A 1 ] +P[A 2 ] +.. .+P[An]. [2]

2.3 Công thức xác suất có điều kiện

Trong nhiều trường hợp, một vấn đề được đặt ra là: ta có thể nói gì về xác suất của biến cốAnếu có thông tin biến cốBnào đó [liên quan tớiA] đã xảy ra? Trong những trường hợp đơn giản nhất, câu trả lời khá dễ dàng. Chẳng hạn, nếuAvà B xung khắc thìAkhông thể xảy ra, vì vậy xác suất đểAxảy ra bằng 0. Trường hợp khác, nếuB⊂AthìAchắc chắn xảy ra nên xác suất đểAxảy ra bằng 1. Vấn đề còn lại, nếuBđã xảy ra chỉ cho ta một phần thông tin về phép thử [tức choA] thì khi đóP[A]được xác định thế nào. Khái niệm xác suất điều kiện sẽ được sử dụng cho trường hợp này.

Chẳng hạn, với phép thử rút ngẫu nhiên một lá bài từ một bộ bài 52 lá, ta cần xác định xem xác suất rút được lá ách cơ là bao nhiêu nếu biết rằng lá bài lấy ra là lá đỏ. Trong tình huống này, đặtA= “Rút được lá ách cơ”,B= “Rút được lá đỏ”. Ta cần tính xác suất để Axảy ra khi biếtBđã xảy ra. Một lập luận tự nhiên như sau: Khi biết Bđã xảy ra, nghĩa là ta đã biết lá bài lấy ra là lá đỏ, thì ta chỉ tập trung vào các lá bài đỏ trong bộ bài. Vì bộ bài có 26 lá đỏ và có duy nhất một lá ách cơ nên xác suất để rút ra lá ách cơ là 1 / 26.

Sau đây là định nghĩa của xác suất có điều kiện: Định nghĩa 2.3.1àBlà hai biến cố của một phép thử, vớiP[B]> 0. Đại lượng P[A|B] =

P[AB] P[B]

[2]

được gọi làxác suất có điều kiện củaAkhi biếtBđã xảy ra.

Áp dụng công thức [2], ta có thể giải lại ví dụ trên như sau: Ta có

P[B] =

C 261 C 521 \= 26 52 , P[AB] = 1 52 .

Do vậy

P[A|B] =

P[AB] P[B] \= 1 52 · 52 26 \= 1 26 .

Chú ý 2.3.1ếu hai biến cốAvàBlà độc lập, thìAcũng độc lập vớiB. Chứng minhả sửA, B là độc lập. VìA=AB+AB, vàABvàABxung khắc, nên ta có

P[A] = P[AB] +P[AB] = P[A]P[B] +P[AB][vìA, Bđộc lập]

Do đó,

P

[ AB

] = P[A] [1−P[B]] = P[A]P[B].

Định nghĩa 2.3.3 biến cốA, B, Cđược gọi làđộc lậpnếu

P[ABC] =P[A].P[B].P[C]

P[AB] =P[A].P[B] P[AC] =P[A].P[C] P[BC] =P[B].P[C] Tổng quát, n biến cốA 1 , A 2 ,... , An được gọi làđộc lập nếu bất kỳk biến cố A 1 ′, A 2 ′,... , Ar′, r≤n

P[A 1 ′A 2 ′···Ar′] =P[A 1 ′].P[A 2 ′]···P[Ar′]

Chú ý rằng, nếu từn biến cố độc lậpA 1 , A 2 ,... , An, i= 1, 2 ,... , n, ta thành lập n biến cố B 1 , B 2 ,... , Bn, i = 1, 2 ,... , n, với Bi = Ai hay Bi = Ai, thì các biến cố B 1 , B 2 ,... , Bn, i= 1, 2 ,... , n, cũng độc lập.

Ví dụ 23 một hộp bi đựng 5 bi trắng, 4 bi đen. Rút ngẫu nhiên lần lượt từng bi ra 2 bi [rút có hoàn lại]. Hãy tìm xác suất để rút được bi trắng trướcbi đen sau.

Giải= “Rút được bi trắng”,B= “Rút được bi đen”, suy raAB= “Rút được bi trắng trước và bi đen sau”.

Do rút có hoàn lại nên hai biến cốA, Bđộc lập nhau. Vì vậy

P[AB] =P[A].P[B].

Ta có

P[A] =

|A| |Ω| \= 5 9 , P[B] = |B| |Ω| \= 4 9 .

Vậy

P[AB] =P[A].P[B] =

5 9 . 4 9 \= 20 81 .

Ví dụ 24. Ba xạ thủ A, B và C độc lập với nhau cùng nổ súng vào một mục tiêu. Xác suất trúng của xạ thủ A, B và C tương ứng là 0 , 4 ; 0 , 5 và 0 , 7.

1. Tính xác suất để chỉ có duy nhất một xạ thủ bắn trúng. b. Tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng.

Hướng dẫn GọiA= “Xạ thủ A bắn trúng”,P[A] = 0,4; B= “Xạ thủ B bắn trúng”,P[B] = 0,5; C= “Xạ thủ C bắn trúng”,P[C] = 0, 7. a. ĐặtH= “Chỉ có duy nhất một xạ thủ bắn trúng”

H=ABC+ABC+ABC

Sử dụng công thức[2]và[2][chú ý A, B và C độc lập], ta có

P[H] = P[A]P[B]P[C] +P[A]P[B]P[C] +P[A]P[B]P[C] = [0,4][0,5][0,3] + [0,6][0,5][0,7] + [0,6][0,5][0,3] = 0, 36.

1. ĐặtG= “Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng”

G=A+B+C

P[D] = P[A] +P[B] +P[C]−P[A]P[B]−P[A]P[C]−P[B]P[C] +P[A]P[B]P[C] \= 0,4 + 0,5 + 0, 7 − 0 , 2 − 0 , 35 − 0 ,28 + 0,14 = 0, 91.

Ta có thể tínhP[D]bằng cách dùng công thức[2].

D=ABC

Vậy,

P[D] = P[A]P[B]P[C] = [0,6][0,5][0,3] = 0, 09.

Từ đóP[D] = 1−P[D] = 0, 91.

2.3 Công thức xác suất đầy đủ

Cho một họ các biến cốA 1 , A 2 ,... , Antrong một phép thử ngẫu nhiên. HọA 1 , A 2 ,... , An được gọi làđầy đủnếu có duy nhất một biến cố trong họ xảy ra khi thực hiện phép thử.

Nói khác đi, họA 1 , A 2 ,... , Anđầy đủ nếu { A 1 +A 2 +...+An= Ω, AiAj=∅, ∀i 6 =j.

Ví dụ 25 gieo đồng xu, thì biến cốA= “xuất hiện mặt số”và biến cốB= “xuất hiện mặt hình”tạo thành hệ đầy đủ.

Ví dụ 26 sát bài thi của một sinh viên. GọiA 0 , A 1 ,... , A 10 tương ứng là biến cố bài thi được 0 , 1 ,... , 10 điểm, thì các biến cốA 0 , A 1 ,... , A 10 tạo thành hệ đầy đủ.

Môn xác suất thống kê trong tiếng Anh là gì?

Xác suất và thống kê [Probability and statistics] là hai ngành học liên quan nhưng riêng biệt.

Xác suất thống kê có tác dụng gì?

Mục đích của thống kê, xác suất Thống kê đóng vai trò là một công cụ quan trọng trong cơ sở sản xuất kinh doanh. Nó được sử dụng để hiểu hệ thống đo lường biến động, kiểm soát quá trình [như trong kiểm soát quá trình thống kê hoặc thông qua hệ thống], cho dữ liệu tóm tắt, và đưa ra quyết định dựa trên dữ liệu.

Lý thuyết xác suất và thống kê toán tiếng Anh là gì?

TOA201 - Lý thuyết xác suất và thống kê toán [The Theory of Probability and Mathematical Statistics]

Tính xác suất để làm gì?

- Khoa học dữ liệu: xác suất là một công cụ quan trọng trong việc phân tích dữ liệu và xây dựng các mô hình dự đoán. Nó được sử dụng để ước tính các tham số của các mô hình, đánh giá mức độ chính xác của các dự đoán và khả năng tối đa hóa các quyết định dựa trên dữ liệu.