Phương trình chính tắc là gì năm 2024
|
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ vuông góc \(Oxy\), cho đường thẳng \(d\) qua \(M_0(x_0;y_0)\) và nhận \(\overrightarrow{u}=(a;b)\ne\overrightarrow{0}\) làm vectơ chỉ phương. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là \(\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}\right.\) Show
Trong trường hợp \(a\) và \(b\) đều khác \(0\) thì \(t=\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}\) ta có phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) là \[\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}\] Lớp 12: Hình học 12, chương 3: Phương pháp toạ độ trong không gian Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\) qua \(M_0(x_0;y_0;z_0)\) và nhận \(\overrightarrow{u}=(a;b;c) \ne\overrightarrow{0}\) làm vectơ chỉ phương. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là \(\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt \\ z=z_0+ct \end{array}\right.\) Bài tập phương trình đường thẳng trong không gian là phần kiến thức quan trọng nằm trong chương trình toán hình lớp 12 và thường xuyên xuất hiện trong đề thi THPT Quốc Gia. Bài viết dưới đây của VUIHOC sẽ giúp các em ôn tập kiến thức và các dạng bài tập kèm hướng dẫn giải chi tiết. 1. Lý thuyết phương trình đường thẳng trong không gian1.1. Phương trình tham số của đường thẳng trong không gianĐường thẳng d đi qua $M_{0}(x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(a; b; c)$ Phương trình tham số d: $x = x_{0} + at$ $y = y_{0} + bt$ $z = z_{0} + ct$ $(t \epsilon R)$ 1.2. Phương trình chính tắc của đường thẳng trong không gian Đường thẳng d đi qua $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$ và vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (a; b; c)$ Phương trình chính tắc của d: $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c} (abc \neq 0)$ 1.3. Vị trí tương đối của 2 đường thẳngTrong không gian cho 2 đường thẳng 1 đi qua $M_{1}$ và có một vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}$. Khi đó vị trí tương đối $\Delta_{1}$ và $\Delta_{2}$ được xác định như sau: 1.4. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳngĐường thẳng d đi qua $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (a; b; c)$ và mặt phẳng (P): $Ax + By + Cz + D = 0$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{u} = (A; B; C)$. Khi đó: 1.5. Góc giữa 2 đường thẳngTrong không gian cho 2 đường thẳng $\Delta_{1}$ có một vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ khi đó: \>> Xem thêm: Góc giữa 2 mặt phẳng: Định nghĩa, cách xác định và bài tập 1.6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳngTrong không gian cho đường thẳng $\Delta$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}} = (a; b; c)$ mặt phẳng (P) có vecto chỉ phương $\overrightarrow{n} = (A; B; C)$. Khi đó: \>> Xem thêm: Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT: ⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+ ⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích ⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô ⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi ⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề ⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập Đăng ký học thử miễn phí ngay!! 1.7. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳngCho điểm M cùng đường thẳng $\Delta$ đi qua N có vectơ $\overrightarrow{u}$. Khi đó khoảng cách từ điểm M đến $\Delta$ xác định bởi công thức. 1.8. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhauCách 1: Trong không gian cho đường thẳng $\Delta_{1}$ đi qua $M_{1}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}} . \Delta_{2}$ đi qua $M_{2}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_{2}}$. Khi đó: Cách 2: Gọi AB là đoạn thẳng vuông góc $\Delta_{1}, \Delta_{2}$ với $A \epsilon \Delta_{1}, B \epsilon \Delta_{2}$ $\Rightarrow \overrightarrow{AB} \, . \, \overrightarrow{u_{1}} = 0$ hoặc $\Rightarrow \overrightarrow{AB} \, . \, \overrightarrow{u_{2}} = 0$ $\Rightarrow d(\Delta_{1}, \Delta_{2})=AB$ 2. Các dạng bài tập về viết phương trình đường thẳng trong không gian và cách giải2.1. Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phươngVí dụ 1: Với tọa độ Oxyz trong không gian cho đường thẳng d: $\frac{x + 1}{2}=\frac{y - 1}{1}=\frac{z - 2}{3}$ và mặt phẳng P: $x-y-z-1=0$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ vuông góc với d, song song với (P) và đi qua A(1; 1; -2). Giải: Để tìm được vectơ chỉ phương của $\Delta$ ta phải tìm 2 vectơ chỉ phương không cùng phương của nó sau đó tìm tích có hướng của 2 vecto. Như vậy ta có: $\overrightarrow{u_{\Delta}}=[\overrightarrow{u_{d}}; \overrightarrow{_{p}}]=(2; 5; -3)$ Trong đó: $\overrightarrow{u_{d}} = (2; 1; 3); \overrightarrow{_{p}}=(1; -1; -1)$ $\Delta$ đi qua A(1; 1; -2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{\Delta}} = (2; 5; -3)$ $\Rightarrow$ Ta có phương trình: $\Delta : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{5} = \frac{z + 2}{-3}$ Ví dụ 2: Cho tọa độ Oxyz trong không gian cho đường thẳng $\Delta: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{-1}$ và mặt phẳng P: $x-y-z-1=0$. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc và cắt với $\Delta$, qua M(2; 1; 0). Giải: 2.2. Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng khácVí dụ 1: Cho tọa độ Oxyz trong không gian cho đường thẳng $d: \frac{x + 1}{3}=\frac{y - 2}{-2}=\frac{z - 2}{2}$ và $P: x + 3y + 2z + 2=0$. Viết phương trình của $\Delta$ song song với (P), cắt đường thẳng (d) và đi qua M(2; 2; 4). Giải: Ví dụ 2: Cho hệ tọa độ Oxyz trong không gian có đường thẳng $d: \frac{x - 1}{2}=\frac{y + 1}{1}=\frac{z}{-1}$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua A(2; 3; -1) và cắt d tại B sao cho khoảng cách từ B đến $\alpha: x + y + z = 0$ bằng $2\sqrt{3}$. Giải: Do $B \epsilon d \Rightarrow$ Tọa độ B(1 + t; 2 + 2t; -t) Do khoảng cách từ B tới $\alpha: x + y + z = 0$ bằng $2\sqrt{3}$ nên:
$\Delta$ đi qua B(3; 6; -2) và nhận $\overrightarrow{AB} (1; 3; -1)$ làm vecto chỉ phương: $\Rightarrow$ Phương trình $\Delta: \frac{x - 3}{1}=\frac{y - 6}{3}=\frac{z - 2}{-1}$
$\Delta$ đi qua B(-3; -6; 4) và nhận $\overrightarrow{AB}(-5; -9; 5)$ làm vecto chỉ phương: $\Rightarrow$ Phương trình $\Delta: \frac{x + 3}{-5}=\frac{y + 6}{9}=\frac{z - 4}{5}$ 2.3. Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng khácVí dụ 1: Cho hệ tọa độ Oxyz trong không gian, viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M(-4; -5; 3) và cắt cả 2 đường thẳng $d_{1}: 2x + 3x + 11 = 0$ hoặc $y - 2z + 7 = 0$ và $d_{2}: \frac{x - 2}{2}=\frac{y + 1}{3}=\frac{z - 1}{-5}$ Giải: Viết phương trình đường thẳng: Ví dụ 2: Cho hệ tọa độ Oxyz trong không gian với 3 đường thẳng có phương trình: Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ biết $\Delta$ cắt $d_{1}; d_{2}; d_{3}$ lần lượt tại A, B, C để AB = BC. Giải: Xét 3 điểm A, B, C lần lượt nằm trên $d_{1}; d_{2}; d_{3}$ Giả sử: A(t; 4 - t; -1 + 2t); B(u; 3 - 3u, -3u) và C(-1 + 5v, 1 + 2v, -1 + v) Ta có A, B, C thẳng hàng và BC = AB ⇔ B chính là trung điểm của BC Tọa độ 3 điểm A(1; 3; 1); B(0; 2; 0); C(-1; 1; -1) $\Delta$ đi qua B(0; 2; 0) và có $\overrightarrow{CB}(1; 1; 1)$ Tham khảo ngay bộ tài liệu tổng hợp trọn bộ kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán 2.4. Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cáchVí dụ 1: Cho tọa độ Oxyz trong không gian, đường thẳng $d: x = 2 + 4t; y = 3 = 2t$ và $z = -3 + t$. Mặt phẳng $(P): -x + y + 2z + 5 = 0$. Viết phương trình nằm trong mặt phẳng (P) song song và cách d một khoảng bằng $\sqrt{14}$. Giải: Ví dụ 2: Đăng ký ngay để được các thầy cô tư vấn và xây dựng lộ trình ôn thi sớm hiệu quả và phù hợp nhất với bản thân Trên đây là toàn bộ kiến thức lý thuyết và bài tập về phương trình đường thẳng trong không gian. Hy vọng rằng qua bài viết này các em có thể tự tin khi làm bài tập phần này. Để học nhiều hơn kiến thức về toán học lớp 12, truy cập trang web Vuihoc.vn ngay nhé! Thế nào là phương trình chính tắc?Phương trình chính tắc là một cách biểu diễn phương trình của một đường thẳng, một mặt phẳng hay một hình học khác trong không gian ba chiều. Phương trình chính tắc được xác định dựa trên vectơ pháp tuyến (a, b, c) của đường thẳng hoặc mặt phẳng. Phương trình tham số nghĩa là gì?Phương trình tham số thường được sử dụng để biểu diễn các tọa độ của các điểm thuộc đối tượng hình học như đường cong hoặc bề mặt, mà khi đó các đối tượng này được gọi là biểu diễn theo tham số hoặc tham số hóa. Phương trình biểu diễn đường cong có thể viết dưới dạng tham số của tọa độ x và y. Chính tắc là gì trong toán học?Phương trình chính tắc là một phương trình đại số dùng để biểu diễn một đường thẳng trong không gian Oxyz. Phương trình chính tắc của một đường thẳng có dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C là các hệ số của các biến x, y, z và D là hệ số tự do. Các hệ số này có thể là các số thực hoặc số phức. Phương trình tham số của đường thẳng có dạng như thế nào?Trong phương trình đường tham số của đường thẳng dạng x = x0 + at, y = y0 + bt, a và b là các tham số có ý nghĩa sau: - Tham số a đại diện cho hướng của đường thẳng. Nếu a = 0, đường thẳng sẽ song song với trục y. Nếu a ≠ 0, đường thẳng sẽ có hướng nghiêng với một góc tương ứng với giá trị của a. |
