Khi các em học tới phương trình bậc 2 một ẩn, thì việc ghi nhớ cách tính biệt thức delta là điều tất nhiên có vai trò chính để giải được phương trình bậc 2, cách tính biệt thức delta này các em đã ghi nhớ nằm lòng chưa?
***
=====>>>>Phần Mềm Giải Toán Chính Xác 100%
Bài viết này sẽ trả lời cho các em câu hỏi: Phương trình bậc 2 có nghiệm khi nào? khi đó delta thỏa điều kiện gì?.
Bạn đang xem: Phương trình có nghiệm kép khi nào
I. Phương trình bậc 2 - kiến thức cơ bản cần nhớ
• Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 [a≠0]
• Công thức nghiệm tính delta [ký hiệu: Δ]
Δ = b2 - 4ac
+ Nếu Δ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
+ Nếu Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép:
+ Nếu Δ 2 - ac với b = 2b".
+ Nếu Δ" > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
+ Nếu Δ" = 0: Phương trình có nghiệm kép:
+ Nếu Δ" Phương trình bậc 2 có nghiệm khi nào?
- Trả lời: Phương trình bậc 2 có nghiệm khi biệt thức delta ≥ 0. [khi đó phương trình có nghiệm kép, hoặc có 2 nghiệm phân biệt].
> Lưu ý: Nếu cho phương trình ax2 + bx + c = 0 và hỏi phương trình có nghiệm khi nào? thì câu trả lời đúng phải là: a=0 và b≠0 hoặc a≠0 và Δ≥ 0.
• Thực tế đối với bài toán giải phương trình bậc 2 thông thường [không chứa tham số], thì chúng ta chỉ cần tính biệt thức delta là có thể tính toán được nghiệm. Tuy nhiên bài viết này đề sẽ đề cập đến dạng toán hay làm các em bối rối hơn, đó là tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có chứa tham số m có nghiệm.
II. Một số bài tập tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm
* Phương pháp giải:
- Xác định các hệ số a, b, c của phương trình, đặc biệt là hệ số a. Phương trình ax2 + bx + c = 9 là phương trình bậc 2 chỉ khi a≠0.
- Tính biệt thức delta: Δ = b2 - 4ac
- Xét dấu của biệt thức để kết luận sự tồn tại nghiệm, hoặc áp dụng công thức để viết nghiệm.
* Bài tập 1: Chứng minh rằng phương trình: 2x2 - [1 - 2a]x + a - 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của a.
* Lời giải:
- Xét phương trình: 2x2 - [1 - 2a]x + a - 1 = 0 có:
a = 2; b = -[1 - 2a] = 2a - 1; c = a - 1.
Δ = [2a - 1]2 - 4.2.[a - 1] = 4a2 - 12a + 9 = [2a - 3]2.
- Vì Δ ≥ 0 với mọi a nên phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi a.
Xem thêm: Cách Chỉnh Đèn Flash Khi Có Cuộc Gọi Đến Samsung? Nháy Đèn Flash Khi Có Cuộc Gọi Và Tin Nhắn Đến
* Bài tập 2: Cho phương trình mx2 - 2[m - 1]x + m - 3 = 0 [*]. Tìm giá trị của m để phương trình trên có nghiệm.
* Lời giải:
- Nếu m = 0 thì phương trình đã cho trở thành: 2x - 3 = 0 là phương trình bậc nhất một ẩn, có nghiệm x = 3/2.
- Xét m ≠ 0. Khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc 2 một ẩn, khi đó, ta có:
a = m; b = -2[m - 1]; c = m - 3.
Và Δ = 2 - 4.m.[m-3] = 4[m2 - 2m + 1] - [4m2 - 12m]
= 4m2 - 8m + 4 - 4m2 + 12m = 4m + 4
- Như vậy, m = 0 thì pt [*] có nghiệm và với m ≠ 0 để phương trình [*] có nghiệm thì Δ≥0 ⇔ 4m + 4 ≥ 0 ⇔ m ≥ -1.
⇒ Kết luận: Phương trình [*] có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ -1.
* Bài tập 3: Chứng minh rằng phương trình x2 - 2[m + 4]x + 2m + 6 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
* Bài tập 4: Xác định m để các phương trình sau có nghiệm: x2 - mx - 1 = 0.
* Bài tập 5: Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: 3x2 + [m - 2]x + 1 = 0.
* Bài tập 6: Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm: x2 - 2mx - m + 1 = 0.
* Bài tập 7: Với giá trị nào của m thì phương trình sau: mx2 - 4[m - 1]x + 4m + 8 = 0 có nghiệm.
Như vậy với bài viết đã giải đáp được thắc mắc: Phương trình bậc 2 có nghiệm khi nào? khi đó delta cần thỏa điều kiện gì? cùng các bài tập về tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm ở trên đã giúp các em dễ hiểu hơn hay chưa? Các em hãy cho góp ý và đánh giá ở dưới bài viết để chúng ta cùng trao đổi thêm nhé, chúc các em học tốt.
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Cho phương trình ax4 + bx2 + c = 0 [a ≠ 0] [1]
Đặt t = x2 [t ≥ 0], khi đó phương trình [1] trở thành: at2 + bt + c = 0 [2]
+ Để phương trình [1] vô nghiệm thì phương trình [2] vô nghiệm hoặc có nghiệm âm
+ Để phương trình [1] có 1 nghiệm thì phương trình [2] có nghiệm kép t = 0 hoặc có1 nghiệm âm và 1 nghiệm bằng 0
+ Để phương trình [1] có 2 nghiệm thì phương trình [2] có nghiệm kép dương hoặc có 2 nghiệm trái dấu
+ Để phương trình [1] có 3 nghiệm thì phương trình [2] có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương
+ Để phương trình [1] có 4 nghiệm thì phương trình [2] có 2 nghiệm dương phân biệt
Ví dụ 1: Cho phương trình x4 – 2[m + 4]x2 + m2 = 0 [1]. Tìm m để phương trình [1]
a. Có nghiệm
b. Có 1 nghiệm
c. Có 2 nghiệm phân biệt
d. Có 3 nghiệm phân biệt
e. Có 4 nghiệm phân biệt
Giải
Đặt t = x2, khi đó phương trình [1] trở thành: t2 – 2[m + 4]t + m2 = 0 [2]
a. Để phương trình [1] vô nghiệm thì phương trình [2] vô nghiệm hoặc có nghiệm âm
+ Xét TH1: Phương trình [2] vô nghiệm ⇔ Δ' < 0
+ Xét TH2: Phương trình [2] có nghiệm âm
Vậy với m < -2 thì phương trình [1] vô nghiệm
b. Để phương trình [1] có 1 nghiệm thì phương trình [2] có nghiệm kép t = 0 hoặc có1 nghiệm âm và 1 nghiệm bằng 0
Vì t = 0 là nghiệm của phương trình [2] nên thay t = 0 vào [2] ta được:
m2 = 0 ⇔ m = 0
Với m = 0 thì phương trình [2] có dạng:
Suy ra m = 0 không thỏa mãn
Vậy không có giá trị nào của m để phương trình [1] có 1 nghiệm
c. Để phương trình [1] có 2 nghiệm thì phương trình [2] có nghiệm kép dương hoặc có 2 nghiệm trái dấu
+ Xét TH1: phương trình [2] có nghiệm kép dương
∆ꞌ = 8m + 16 = 0 ⇔ m = -2
Với m = -2 thì phương trình [2] có nghiệm kép
Suy ra m = -2 thỏa mãn
+ Xét TH2: phương trình [2] có 2 nghiệm trái dấu ⇔ a.c < 0
⇔ m2 < 0 [bất phương trình vô nghiệm ]
Vậy với m = -2 thì phương trình [1] có 2 nghiệm phân biệt
d. Để phương trình [1] có 3 nghiệm thì phương trình [2] có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương
theo kết quả câu [b] ta có với m = 0 thì phương trình [2] có 2 nghiệm: t = 0, t = 8
Suy ra m = 0 thỏa mãn
Vậy với m = 0 thì phương trình [1] có 3 nghiệm phân biệt
e. Để phương trình [1] có 4 nghiệm thì phương trình [2] có 2 nghiệm dương phân biệt
Vậy với m > -2 và m ≠ 0 thì phương trình [1] có 4 nghiệm phân biệt
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình [m – 1]x4 + 2[m – 3]x2 + m + 3 = 0 [1] vô nghiệm
Giải
Đặt t = x2 [t ≥ 0], khi đó phương trình [1] trở thành: [m – 1]t2 + 2[m – 3]t + m + 3 = 0 [2]
Nếu m = 1 thì phương trình [2] có dạng: -4t + 4 = 0 ⇔ t = 1
Với t = 1 ⇒ x2=1 ⇔ x=±1
Suy ra m = 1 không thỏa mãn
Nếu m ≠ 1 thì phương trình [2] là phương trình bậc hai
Để phương trình [1] vô nghiệm thì phương trình [2] vô nghiệm hoặc có nghiệm âm
+ Xét TH1: phương trình [2] vô nghiệm ⇔ Δ' < 0
+ Xét TH2: Phương trình [2] có nghiệm âm
Kết hợp điều kiện m ≠ 1 ta có với m < -3 hoặc m > 3/2 thì phương trình [1] vô nghiệm
Câu 1: Số giá trị của m để phương trình mx4 + 5x2 – 1 = 0 [1] có 2 nghiệm phân biệt là
A. 1
B. 2
C. 3
D. vô số
Giải
Đặt t = x2 [t ≥ 0], khi đó phương trình [1] trở thành: mt2 + 5t - 1 = 0 [2]
Nếu m = 0 thì phương trình [2] có dạng:
Suy ra m = 0 thỏa mãn
Nếu m ≠ 0 thì phương trình [2] là phương trình bậc hai
Để phương trình [1] có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình [2] có nghiệm kép dương hoặc có 2 nghiệm trái dấu
+ Xét TH1: phương trình [2] có nghiệm kép dương
Với thì phương trình [2] có nghiệm kép:
Suy ra thỏa mãn
+ Xét TH2: phương trình [2] có 2 nghiệm trái dấu ⇔ a.c < 0
⇔ -m < 0 ⇔ m > 0
Kết hợp điều kiện m ≠ 0 ta có với m = 0, , m > 0 thì phương trình [1] có 2 nghiệm phân biệt
Đáp án là D
Câu 2: Tìm m để phương trình x4 – [3m + 4]x2 + 12m = 0 [1] có 4 nghiệm phân biệt là
Giải
Đặt t = x2 [t ≥ 0], khi đó phương trình [1] trở thành: t2 – [3m + 4]t + 12m = 0 [2]
Để phương trình [1] có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình [2] có 2 nghiệm dương phân biệt
Vậy với m > 0 và m ≠ 4/3 thì phương trình [1] có 4 nghiệm phân biệt
Đáp án là B
Câu 3: Số giá trị của m để phương trình x4 – [m + 2]x2 + m = 0 [1] có 3 nghiệm phân biệt là
A. 1
B. 3
C. 5
D. vô số
Giải
Đặt t = x2 [t ≥ 0], khi đó phương trình [1] trở thành: t2 – [m + 2]t + m = 0 [2]
Để phương trình [1] có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình [2] có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương
Vì t = 0 là nghiệm của phương trình [2] nên thay t = 0 vào [2] ta được: m = 0
Với m = 0 thì phương trình [2] có dạng:
Suy ra m = 0 thỏa mãn
Vậy với m = 0 thì phương trình [1] có 3 nghiệm phân biệt
Đáp án là A
Câu 4: Tìm m để phương trình x4 + [1 – 2m]x2 + m2 - 1 = 0 [1] vô nghiệm
A. không tồn tại m
B. m < -1 hoặc m > 5/4
C. m > -1 hoặc m < -3
D. m > 2 hoặc m < -1
Giải
Đặt t = x2 [t ≥ 0], khi đó phương trình [1] trở thành: t2 + [1 – 2m]t + m2 -1 = 0 [2]
Để phương trình [1] vô nghiệm thì phương trình [2] vô nghiệm hoặc có nghiệm âm
+ Xét TH1: Phương trình [2] vô nghiệm ⇔ Δ < 0
+ Xét TH2: Phương trình [2] có nghiệm âm
Vậy với m < -1 hoặc m > 5/4 thì phương trình [1] vô nghiệm
Đáp án là B
Câu 5: Số giá trị của m để phương trình mx4 – 2[m – 1]x2 + m – 1 = 0 [1] có 1 nghiệm là
A. 0
B. 1
C. 2
D. vô số
Giải
Đặt t = x2 [t ≥ 0], khi đó phương trình [1] trở thành: mt2 – 2[m – 1]t + m - 1 = 0 [2]
Nếu m = 0 thì phương trình [2] có dạng: 2t - 1 = 0 ⇔ t = 1/2
Suy ra m = 0 không thỏa mãn đề bài
Nếu m ≠ 0 thì phương trình [2] là phương trình bậc hai
Để phương trình [1] có 1 nghiệm thì phương trình [2] có nghiệm kép t = 0 hoặc có1 nghiệm âm và 1 nghiệm bằng 0
Vì t = 0 là nghiệm của phương trình [2] nên thay t = 0 vào [2] ta được:
m - 1 = 0 ⇔ m = 1
Với m = 1 thì phương trình [2] có dạng: t2 = 0 ⇔ t = 0 ⇒ x2 = 0 ⇔ x = 0
Suy ra m = 1 thỏa mãn đề bài
Vậy với m = 1 thì phương trình [1] có 1 nghiệm
Đáp án là B
Câu 6: Tìm m để phương trình [m + 2]x4 + 3x2 - 1 = 0 [1] có 4 nghiệm phân biệt
Giải
Đặt t = x2 [t ≥ 0], khi đó phương trình [1] trở thành: [m + 2]t2 + 3t -1 = 0 [2]
Để phương trình [1] có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình [2] là phương trình bậc hai có 2 nghiệm dương phân biệt
Vậy với thì phương trình [1] có 4 nghiệm phân biệt
Đáp án là C
Câu 7: Tìm m để phương trình [m - 2]x4 – 2[m + 1]x2 + m - 1 = 0 [1] có 3 nghiệm phân biệt
A. m = 1
B. m = -1
C. m = 0
D. không tồn tại m
Giải
Đặt t = x2 [t ≥ 0], khi đó phương trình [1] trở thành: [m - 2]t2 – 2[m + 1]t + m -1 = 0 [2]
Để phương trình [1] có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình [2] phải là phương trình bậc hai có 2 nghiệm ,trong đó một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương
Vì t = 0 là nghiệm của phương trình [2] nên thay t = 0 vào [2] ta được:
m - 1 = 0 ⇔ m = 1
Với m = 1 thì phương trình [2] có dạng:
Suy ra m = 1 không thỏa mãn đề bài
Vậy không có giá trị nào của m để phương trình [1] có 3 nghiệm
Đáp án là D
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
- Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
chuong-4-ham-so-y-ax2-phuong-trinh-bac-hai-mot-an.jsp