tìm m để khoảng cách từ a đến mặt phẳng (p lớn nhất)
Câu hỏi và hướng dẫn giải Nhận biếtTrong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A(2;1;3) \) và mặt phẳng \((P):x+my+(2m+1)z-(2+m)=0 \), với m là tham số. Gọi điểm \(H(a;b;c) \) là hình chiếu vuông góc của điểm A trên (P). Tính \(a+b \)khi khoảng cách từ điểm A đến (P) lớn nhất. \(a+b=2\). B. \(a+b=-\frac{1}{2}\). C. \(a+b=0\). D. \(a+b=\frac{3}{2}\). Lời giải của Tự Học 365Giải chi tiết: \(\begin{align} (P):x+my+(2m+1)z-(2+m)=0 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow m(y+2z-1)+x+z-2=0 \\ \end{align}\) Khi đó,(P)luôn đi qua đường thẳng cố định (d): \(\left\{ \begin{align} y+2z-1=0 \\ x+z-2=0 \\ \end{align} \right.\) với mọim. Do A,(d)cố định nên đoạn AK (K là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳngd)là cố định. Vì \(AH\bot (P)\Rightarrow AH\le AK\Rightarrow A{{H}_{\max }}=AK\) khi và chỉ khi H trùng K, hay khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất khi H trùng K. +) Ta tìm tọa độ của điểm K: (d): \(\left\{ \begin{align} y+2z-1=0 \\ x+z-2=0 \\ \end{align} \right.\) Cho \(z=0\Rightarrow y=1;x=2\Rightarrow I(2;1;0)\in d\) Đặt \(\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 0;1;2 \right),\,\,\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( 1;0;1 \right)\),(d)có 1 VTCP \(\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right]=(1;2;-1)\) Phương trình tham số của đường thẳngd: \(\left\{ \begin{align} x=2+t \\ y=1+2t \\ z=-t \\ \end{align} \right.\) \(K\in (d)\Rightarrow K(2+t;1+2t;-t)\) Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và vuông góc vớid, Khi đó, (Q) có 1 VTPT \(\overrightarrow{{{n}_{(Q)}}}=\overrightarrow{u}\left( 1;2;-1 \right)\) Phương trình mặt phẳng (Q): \(1(x-2)+2(y-1)-1(z-3)=0\Leftrightarrow x+2y-z-1=0\) \(K\in (Q)\Rightarrow 2+t+2(1+2t)-(-t)-1=0\Leftrightarrow t=\frac{-1}{2}\) \(\Rightarrow K\left( \frac{7}{6};\frac{-2}{3};\frac{5}{6} \right)\Rightarrow a=\frac{3}{2},\,\,b=0\Rightarrow a+b=\frac{3}{2}\). Chọn: D Video liên quan |
