Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,10,Bạn đọc viết,225,Bất đẳng thức,74,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,39,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,129,Câu đố Toán học,83,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,15,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,289,Công thức Thể tích,11,Công thức Toán,101,Cười nghiêng ngả,31,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học Toán,259,Dạy học trực tuyến,20,Dựng hình,5,Đánh giá năng lực,1,Đạo hàm,16,Đề cương ôn tập,38,Đề kiểm tra 1 tiết,29,Đề thi - đáp án,933,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,157,Đề thi giữa kì,16,Đề thi học kì,130,Đề thi học sinh giỏi,122,Đề thi THỬ Đại học,376,Đề thi thử môn Toán,44,Đề thi Tốt nghiệp,41,Đề tuyển sinh lớp 10,98,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,210,Đọc báo giúp bạn,13,Epsilon,8,File word Toán,33,Giải bài tập SGK,16,Giải chi tiết,184,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,24,Giải thưởng Lê Văn Thiêm,4,Giải thưởng Toán học,5,Giải tích,29,Giải trí Toán học,170,Giáo án điện tử,11,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,17,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục,349,Giáo trình - Sách,80,Giới hạn,20,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,191,Hằng số Toán học,19,Hình gây ảo giác,9,Hình học không gian,106,Hình học phẳng,88,Học bổng - du học,12,Khái niệm Toán học,64,Khảo sát hàm số,36,Kí hiệu Toán học,13,LaTex,12,Lịch sử Toán học,80,Linh tinh,7,Logic,11,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,231,Lượng giác,55,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,McMix,2,McMix bản quyền,3,McMix Pro,3,McMix-Pro,3,Microsoft phỏng vấn,11,MTBT Casio,26,Mũ và Logarit,36,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,11,Ngô Bảo Châu,50,Nhiều cách giải,36,Những câu chuyện về Toán,15,OLP-VTV,33,Olympiad,278,Ôn thi vào lớp 10,1,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,26,Phân phối chương trình,4,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,12,Sách Giấy,10,Sai lầm ở đâu?,13,Sáng kiến kinh nghiệm,8,SGK Mới,5,Số học,55,Số phức,34,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,37,TestPro Font,1,Thiên tài,95,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,77,Tính chất cơ bản,15,Toán 10,128,Toán 11,173,Toán 12,361,Toán 9,64,Toán Cao cấp,26,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,100,Toán học Việt Nam,29,Toán THCS,16,Toán Tiểu học,4,Tổ hợp,36,Trắc nghiệm Toán,220,TSTHO,5,TTT12O,1,Tuyển dụng,11,Tuyển sinh,270,Tuyển sinh lớp 6,7,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,24,Vẻ đẹp Toán học,108,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,28,
Bài viết trình bày công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong hệ trục tọa độ không gian Oxyz và hướng dẫn áp dụng công thức giải một số bài tập trắc nghiệm liên quan.
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Cho hai đường thẳng chéo nhau ${d_1}$ và ${d_2}$ có phương trình: ${d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {x_1} + {a_1}t}\\
{y = {y_1} + {b_1}t}\\
{z = {z_1} + {c_1}t}
\end{array}} \right.$ và ${d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {x_2} + {a_2}t’}\\
{y = {y_2} + {b_2}t’}\\
{z = {z_2} + {c_2}t’}
\end{array}} \right.$ $\left[ {t;t’ \in R} \right].$ Ta tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ${d_1}$ và ${d_2}$ theo một trong các cách sau:
Cách 1:
+ Bước 1: Xác định các vectơ chỉ phương ${\vec a_1}$ của ${d_1}$, ${\vec a_2}$ của ${d_2}.$
+ Bước 2: Xác định các điểm ${M_1} \in {d_1}$, ${M_2} \in {d_2}.$
+ Bước 3: Lúc đó $d\left[ {{d_1};{d_2}} \right]$ $ = \frac{{\left| {\left[ {{{\vec a}_1},{{\vec a}_2}} \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec a}_1},{{\vec a}_2}} \right]} \right|}}.$
Cách 2:
+ Bước 1: Gọi $H \in {d_1}$, $K \in {d_2}$ [lúc này $H$, $K$ có toạ độ phụ thuộc ẩn $t$, $t’$].
+ Bước 2: Xác định $H$, $K$ dựa vào:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{HK \bot {d_1}}\\
{HK \bot {d_2}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {HK} .{{\vec a}_1} = 0}\\
{\overrightarrow {HK} .{{\vec a}_2} = 0}
\end{array}} \right..$
+ Bước 3: Lúc đó: $d\left[ {{d_1};{d_2}} \right] = HK.$
Nhận xét: Trong nhiều bài toán yêu cầu viết phương trình đường vuông góc chung thì nên sử dụng cách 2.
2. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}:\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}.$
A. $d = \sqrt 3 .$
B. $d = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.$
C. $d = 2\sqrt 3 .$
D. $d = 3\sqrt 3 .$
Lời giải: Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau.
Cách 1: [Tính độ dài đoạn vuông góc chung].
Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = [ – 1;2; – 1].$ Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = [2; – 1; – 1].$ Ta có ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2 – t}\\ {y = 1 + 2t}\\ {z = 2 – t} \end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 1 + 2k}\\ {y = – k}\\ {z = 1 – k} \end{array}} \right..$ Gọi $H[2 – t;1 + 2t;2 – t] \in {\Delta _1}$, $K[1 + 2k; – k;1 – k] \in {\Delta _2}.$ $HK$ là đoạn vuông góc chung của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_1} = 0}\\ {\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_2} = 0} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = 0}\\ {k = 0} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow H[2;1;2]$, $K[1;0;1]$ $ \Rightarrow \overrightarrow {HK} = [ – 1; – 1; – 1]$ $ \Rightarrow d\left[ {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right] = HK = \sqrt 3 .$Cách 2: [Sử dụng công thức].
Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = [ – 1;2; – 1].$ Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = [2; – 1; – 1].$ Chọn $A[2;1;2] \in {\Delta _1}$, $B[1;0;1] \in {\Delta _2}$ $ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = [ – 1; – 1; – 1].$ Lúc đó: $d = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}} = \sqrt 3 .$Chọn đáp án A.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là các điểm bất kì lần lượt thuộc ${\Delta _1}:\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}.$ Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $MN.$ A. $2\sqrt 3 .$ B. $\sqrt 3 .$ C. $4\sqrt 3 .$
D. $\frac{{3\sqrt 3 }}{2}.$
Lời giải: Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau. Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $MN$ là khoảng cách giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}.$ Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = [ – 1;2; – 1].$ Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = [2; – 1; – 1].$ Chọn $A[2;1;2] \in {\Delta _1}$, $B[1;0;1] \in {\Delta _2}$ $ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = [ – 1; – 1; – 1].$ Lúc đó: $d = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}} = \sqrt 3 $ $ \Rightarrow M{N_{\min }} = \sqrt 3 .$
Chọn đáp án B.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất và đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng ${\Delta _1}:\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}.$ A. ${\left[ {x – \frac{3}{2}} \right]^2} + {\left[ {y – \frac{1}{2}} \right]^2} + {\left[ {z – \frac{3}{2}} \right]^2} = 3.$ B. ${\left[ {x + \frac{3}{2}} \right]^2} + {\left[ {y + \frac{1}{2}} \right]^2} + {\left[ {z + \frac{3}{2}} \right]^2} = \frac{3}{4}.$ C. ${\left[ {x – \frac{3}{2}} \right]^2} + {\left[ {y – \frac{1}{2}} \right]^2} + {\left[ {z – \frac{3}{2}} \right]^2} = \frac{3}{4}.$
D. ${[x – 1]^2} + {[y – 2]^2} + {[z + 1]^2} = \frac{3}{4}.$
Lời giải: Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau. Gọi $HK$ là đoạn vuông góc chung của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Rightarrow $ mặt cầu cần tìm là mặt cầu có đường kính $HK.$ Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = [ – 1;2; – 1].$ Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = [2; – 1; – 1].$ Ta có ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2 – t}\\ {y = 1 + 2t}\\ {z = 2 – t} \end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 1 + 2k}\\ {y = – k}\\ {z = 1 – k} \end{array}} \right..$ Gọi $H[2 – t;1 + 2t;2 – t] \in {\Delta _1}$, $K[1 + 2k; – k;1 – k] \in {\Delta _2}.$ $HK$ là đoạn vuông góc chung của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_1} = 0}\\ {\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_2} = 0} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = 0}\\ {k = 0} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow H[2;1;2]$, $K[1;0;1]$ $ \Rightarrow \overrightarrow {HK} = [ – 1; – 1; – 1]$ $ \Rightarrow HK = \sqrt 3 .$ Mặt cầu cần tìm có tâm $I\left[ {\frac{3}{2};\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right]$ là trung điểm $HK$, bán kính $R = \frac{{HK}}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ có phương trình: $[S]:{\left[ {x – \frac{3}{2}} \right]^2} + {\left[ {y – \frac{1}{2}} \right]^2} + {\left[ {z – \frac{3}{2}} \right]^2} = \frac{3}{4}.$
Chọn đáp án C.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $\vec u[1;a;b]$ $[a;b \in R]$ là một vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung của hai đường thẳng ${\Delta _1}:\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}.$ Tính tổng $S = a + b.$ A. $S=2.$ B. $S=-2.$ C. $S=4.$
D. $S=-4.$
Lời giải: Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau.
Cách 1: [Tìm đoạn vuông góc chung].
Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = [ – 1;2; – 1].$ Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = [2; – 1; – 1].$ Ta có ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2 – t}\\ {y = 1 + 2t}\\ {z = 2 – t} \end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 1 + 2k}\\ {y = – k}\\ {z = 1 – k} \end{array}} \right..$ Gọi $H[2 – t;1 + 2t;2 – t] \in {\Delta _1}$, $K[1 + 2k; – k;1 – k] \in {\Delta _2}.$ $HK$ là đoạn vuông góc chung của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_1} = 0}\\ {\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_2} = 0} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = 0}\\ {k = 0} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow H[2;1;2]$, $K[1;0;1]$ $ \Rightarrow \overrightarrow {HK} = [ – 1; – 1; – 1].$ Đường vuông góc chung có vectơ chỉ phương dạng $m\overrightarrow {HK} $ $[m \in R,m \ne 0]$, từ giả thiết suy ra $a = 1$, $b = 1$ $ \Rightarrow S = a + b = 2.$Cách 2:
Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = [ – 1;2; – 1].$ Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = [2; – 1; – 1].$ Do $\vec u[1;a;b]$ là một vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung của hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ suy ra: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\vec u.{{\vec u}_1} = 0}\\ {\vec u.{{\vec u}_2} = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { – 1 + 2a – b = 0}\\ {2 – a – b = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = 1}\\ {b = 1} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \vec u = [1;1;1].$ Vậy $a = 1$, $b = 1$ $ \Rightarrow S = a + b = 2.$Chọn đáp án A.
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng ${\Delta _1}:\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 2}}{4} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.$ A. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}.$ B. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z – 1}}{1}.$ C. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z + 1}}{{ – 2}}.$
D. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}.$
Lời giải: Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau. Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = [ – 1;1; – 1].$ Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = [4;2;1].$ Ta có ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 1 – t}\\ {y = t}\\ {z = 1 – t} \end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2 + 4k}\\ {y = – 1 + 2k}\\ {z = – 1 + k} \end{array}} \right..$ Gọi $H[1 – t;t;1 – t] \in {\Delta _1}$, $K[2 + 4k; – 1 + 2k; – 1 + k] \in {\Delta _2}.$ $HK$ là đoạn vuông góc chung của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_1} = 0}\\ {\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_2} = 0} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = 0}\\ {k = 0} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow H[1;0;1]$, $K[2; – 1; – 1]$ $ \Rightarrow \overrightarrow {HK} = [1; – 1; – 2].$ Đường vuông góc chung cần tìm là đường thẳng qua $H[1;0;1]$ và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {HK} = [1; – 1; – 2]$, có phương trình: $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}.$
Chọn đáp án D.
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2 – 2t}\\ {y = 1 + t}\\ {z = 1} \end{array}} \right.$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 3}}{4} = \frac{{y – 3}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.$ A. $d = \sqrt 6 .$ B. $d = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.$ C. $d = 2\sqrt 3 .$
D. $d = 3.$
Lời giải: Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau.
Cách 1: [Tính độ dài đoạn vuông góc chung].
Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = [ – 2;1;0].$ Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = [4; – 1; – 1].$ Ta có ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2 – 2t}\\ {y = 1 + t}\\ {z = 1} \end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 3 + 4k}\\ {y = 3 – k}\\ {z = 3 – k} \end{array}} \right..$ Gọi $H[2 – 2t;1 + t;1] \in {\Delta _1}$, $K[3 + 4k;3 – k;3 – k] \in {\Delta _2}.$ $HK$ là đoạn vuông góc chung của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_1} = 0}\\ {\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_2} = 0} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = 0}\\ {k = 0} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow H[2;1;1]$, $K[3;3;3]$ $ \Rightarrow \overrightarrow {HK} = [1;2;2]$ $ \Rightarrow d\left[ {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right] = HK = 3.$Cách 2: [Sử dụng công thức].
Chọn đáp án D.
Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng: ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2 – 2t}\\ {y = 1 + t}\\ {z = 1} \end{array}} \right.$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 3}}{4} = \frac{{y – 3}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.$ A. $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}.$ B. $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{2}.$ C. $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{2}.$
D. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 2}}{2}.$
Lời giải: Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau. Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = [ – 2;1;0].$ Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = [4; – 1; – 1].$ Ta có ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2 – 2t}\\ {y = 1 + t}\\ {z = 1} \end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 3 + 4k}\\ {y = 3 – k}\\ {z = 3 – k} \end{array}} \right..$ Gọi $H[2 – 2t;1 + t;1] \in {\Delta _1}$, $K[3 + 4k;3 – k;3 – k] \in {\Delta _2}.$ $HK$ là đoạn vuông góc chung của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_1} = 0}\\ {\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_2} = 0} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = 0}\\ {k = 0} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow H[2;1;1]$, $K[3;3;3]$ $ \Rightarrow \overrightarrow {HK} = [1;2;2].$ Đường vuông góc chung cần tìm là đường thẳng qua $H[2;1;1]$ và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {HK} = [1;2;2]$, có phương trình: $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{2}.$
Chọn đáp án B.
Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là các điểm bất kì lần lượt thuộc ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2 – 2t}\\ {y = 1 + t}\\ {z = 1} \end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\frac{{x – 3}}{4} = \frac{{y – 3}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.$ Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $MN.$ A. $2\sqrt 3 .$ B. $3.$ C. $4\sqrt 3 .$
D. $\frac{{3\sqrt 3 }}{2}.$
Lời giải: Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau. Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $MN$ là khoảng cách giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}.$ Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = [ – 2;1;0].$ Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = [4; – 1; – 1].$ Chọn $A[2;1;1] \in {\Delta _1}$, $B[3;3;3] \in {\Delta _2}$ $ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = [1;2;2].$ Lúc đó: $d = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}} = 3$ $ \Rightarrow M{N_{\min }} = 3.$
Chọn đáp án B.
Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất và đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2 – 2t}\\ {y = 1 + t}\\ {z = 1} \end{array}} \right.$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 3}}{4} = \frac{{y – 3}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.$ A. ${\left[ {x – \frac{5}{2}} \right]^2} + {[y – 2]^2} + {[z + 2]^2} = \frac{9}{4}.$ B. ${\left[ {x – \frac{5}{2}} \right]^2} + {[y – 2]^2} + {[z – 2]^2} = \frac{9}{4}.$ C. ${\left[ {x – \frac{5}{2}} \right]^2} + {[y – 2]^2} + {[z – 2]^2} = \frac{9}{2}.$
D. ${\left[ {x + \frac{5}{2}} \right]^2} + {[y + 2]^2} + {[z + 2]^2} = \frac{9}{4}.$
Lời giải: Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau. Gọi $HK$ là đoạn vuông góc chung của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$, suy ra mặt cầu cần tìm là mặt cầu có đường kính $HK.$ Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = [ – 2;1;0].$ Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = [4; – 1; – 1].$ Ta có ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2 – 2t}\\ {y = 1 + t}\\ {z = 1} \end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 3 + 4k}\\ {y = 3 – k}\\ {z = 3 – k} \end{array}} \right..$ Gọi $H[2 – 2t;1 + t;1] \in {\Delta _1}$, $K[3 + 4k;3 – k;3 – k] \in {\Delta _2}.$ $HK$ là đoạn vuông góc chung của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_1} = 0}\\ {\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_2} = 0} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = 0}\\ {k = 0} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow H[2;1;1]$, $K[3;3;3]$ $ \Rightarrow \overrightarrow {HK} = [1;2;2]$ $ \Rightarrow HK = 3.$ Mặt cầu cần tìm có tâm $I\left[ {\frac{5}{2};2;2} \right]$ là trung điểm $HK$, bán kính $R = \frac{{HK}}{2} = \frac{3}{2}$ có phương trình: $[S]:{\left[ {x – \frac{5}{2}} \right]^2} + {[y – 2]^2} + {[z – 2]^2} = \frac{9}{4}.$
Chọn đáp án B.
Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa hai đường thẳng $\Delta :\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 4}}{1}$ và trục $Oy.$ A. $d = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}.$ B. $d = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.$ C. $d = \frac{{7\sqrt 5 }}{5}.$
D. $d = 3.$
Lời giải: Kiểm tra được $\Delta $ và $Oy$ chéo nhau. Đường thẳng $\Delta $ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_\Delta } = [2;1; – 1].$ Đường thẳng chứa trục $Oy$ có một vectơ chỉ phương là $\vec u = [0;1;0].$ Chọn $O[0;0;0] \in Oy$, $A[1;0; – 4] \in \Delta $ $ \Rightarrow \overrightarrow {OA} = [1;0; – 4].$ Lúc đó: $d = \frac{{\left| {\overrightarrow {OA} .\left[ {\vec u,{{\vec u}_\Delta }} \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {\vec u,{{\vec u}_\Delta }} \right]} \right|}} = \frac{{7\sqrt 5 }}{5}.$
Chọn đáp án C.
3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. ĐỀ BÀI
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng ${\Delta _1}:\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}$, \Delta_{2}: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{-1}
A. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{1}.$
B. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z – 1}}{1}.$
C. $\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{1}.$
D. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{1}.$
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}:\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 2}}{4} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.$ A. $d = \sqrt 6 .$ B. $d = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.$ C. $d = 2\sqrt 3 .$
D. $d = 3\sqrt 3 .$
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là các điểm bất kì lần lượt thuộc ${\Delta _1}:\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x – 2}}{4} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.$ Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $MN.$ A. $2\sqrt 3 .$ B. $\sqrt 6 .$ C. ${4\sqrt 3 .}$
D. ${\frac{{3\sqrt 3 }}{2}.}$
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất và đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng ${\Delta _1}:\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 2}}{4} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.$ A. ${\left[ {x – \frac{3}{2}} \right]^2} + {\left[ {y + \frac{1}{2}} \right]^2} + {z^2} = \frac{3}{4}.$ B. ${\left[ {x – \frac{3}{2}} \right]^2} + {\left[ {y – \frac{1}{2}} \right]^2} + {z^2} = \frac{3}{2}.$ C. ${\left[ {x – \frac{3}{2}} \right]^2} + {\left[ {y + \frac{1}{2}} \right]^2} + {z^2} = \frac{3}{2}.$
D. ${[x – 1]^2} + {[y – 2]^2} + {[z + 1]^2} = \frac{3}{4}.$
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là các điểm bất kì lần lượt thuộc $\Delta :\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 4}}{{ – 1}}$ và trục $Oy.$ Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $MN.$ A. $2\sqrt 3 .$ B. $\frac{{7\sqrt 5 }}{5}.$ C. $4\sqrt 3 .$
D. $\frac{{2\sqrt 5 }}{5}.$
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa hai đường thẳng $\Delta :\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{{ – 2}} = \frac{{z + 2}}{2}$ và trục $Oz.$ A. $d = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}.$ B. $d = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.$ C. $d = \frac{{7\sqrt 5 }}{5}.$
D. $d = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}.$
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A[1;1;2]$, $B[-3;3;4]$, $C[0;2;2]$, $D[0;1;-1].$ Tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $AC$ và $BD.$ A. $d = \frac{{2\sqrt {11} }}{{11}}.$ B. $d = \frac{{\sqrt {51} }}{{51}}.$ C. $d = \frac{{8\sqrt {51} }}{{51}}.$
D. $d = \frac{{2\sqrt {15} }}{{11}}.$
Câu 8: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=1$, $AD=2$, $SA$ vuông góc với đáy và $SA=2.$ Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SD$, $BC$, tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $CM$ và $AN.$ A. $d = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}.$ B. $d = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.$ C. $d = \frac{{\sqrt 6 }}{6}.$
D. $d = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.$
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa đường thẳng $\Delta :\frac{{x + 1}}{{ – 1}} = \frac{{y + 2}}{{ – 1}} = \frac{{z + 1}}{1}$ và mặt phẳng $[P]:x + y + 2z + 3 = 0.$ A. $d = \sqrt 3 .$ B. $d = \frac{1}{3}.$ C. $d = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.$
D. $d = \frac{2}{3}.$
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là các điểm bất kì lần lượt thuộc $\Delta :\frac{{x + 1}}{{ – 1}} = \frac{{y + 2}}{{ – 1}} = \frac{{z + 1}}{1}$ và mặt phẳng $[P]:x + y + 2z + 3 = 0.$ Tính độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng $MN.$ A. $d = \sqrt 3 .$ B. $d = \frac{1}{3}.$ C. $d = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.$
D. $d = \frac{2}{3}.$
2. BẢNG ĐÁP ÁN
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Đáp án | D | A | B | C | B |
| Câu | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Đáp án | C | C | D | C | C |
- Kiến thức Tọa độ không gian Oxyz