Viết phương trình đường thẳng song song và cách đều 2 đường thẳng lớp 10

Cho hai đường thẳng song [d_1]:5x - 7y + 4 = 0 , ,và [d_2]:5x - 7y + 6 = 0. , ,Phương trình đường thẳng song song và cách đều [[d_1] ] và [[d_2] ] là

Câu 56681 Vận dụng

Cho hai đường thẳng song ${d_1}:5x - 7y + 4 = 0\,\,$và ${d_2}:5x - 7y + 6 = 0.\,\,$Phương trình đường thẳng song song và cách đều \[{d_1}\] và \[{d_2}\] là

Đáp án đúng: d

Phương pháp giải

- Viết dạng của \[d\] dựa vào điều kiện song song.

- \[d\] cách đều \[{d_1},{d_2}\] nếu \[d\left[ {d,{d_1}} \right] = d\left[ {d,{d_2}} \right]\].

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song \[d: ax + by + c = 0\] và \[d’:ax + by + c' = 0\]

Lấy \[M\left[ {{x_0};{y_0}} \right] \in d'\]\[ \Rightarrow a{x_0} + b{y_0} + c' = 0 \Leftrightarrow a{x_0} + b{y_0} = - c'\] ta có \[d[d,d']=d\left[ {M,d} \right] = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \dfrac{{\left| { - c' + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\].

Khoảng cách và góc --- Xem chi tiết

...

BÀI VIẾT LIÊN QUAN

• Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
• Viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau cho trước
• Viết phương trình tham số của đường thẳng d’ là hình chiếu của đường thẳng d trên mặt phẳng [P]
• Nhận diện đa diện lồi, đa diện đều
• Các đặc điểm của khối đa diện đều
• Thể tích khối chóp đều
• Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc dựa vào các quan hệ song song, vuông góc
• Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian
• Viết phương trình đường thẳng trong không gian
• Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và viết phương trình mặt phẳng
• Phương pháp tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng và bài tập áp dụng
• Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số [C]: y = f[x] có hệ số góc k cho trước
• Thể tích khối chóp biết trước một đường thẳng vuông góc với đáy
• Tìm các điểm trên đồ thị hàm số y = f[x] mà tiếp tuyến tại các điểm đó song song với nhau hoặc có cùng hệ số góc k
• Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu

Viết phương trình mặt phẳng [P] song song và cách đều hai đường thẳng:d1:x-21=y1=z1; d2:x2=y-1-1=z-2-1

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Trang trước Trang sau

Quảng cáo

Cho hai đường thẳng [d] và [d’] song song với nhau. Khoảng cách hai đường thẳng này bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của đường thẳng này đến đường thẳng kia.

d[ d; d’] = d[ A; d’] trong đó A là một điểm thuộc đường thẳng d.

⇒ Để tính khoảng cách hai đường thẳng song song ta cần:

+ Đưa phương trình hai đường thẳng về dạng tổng quát.

+ Lấy một điểm A bất kì thuộc đường thẳng d.

+ Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d’ .

+ Kết luận: d[ d; d’] = d[ A; d’] .

Ví dụ 1: Khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆: 6x - 8y - 101 = 0 và d: 3x - 4y = 0 là:

A. 10, 1 B. 1,01 C. 12 D. √101 .

Hướng dẫn giải

+ Ta có:

⇒ Hai đường thẳng đã cho song song với nhau: d // ∆.

+ Lấy điểm O[ 0;0] thuộc đường thẳng d.

+ Do hai đường thẳng d và ∆ song song với nhau nên

d[∆; d] = d [ O; ∆] =

= 10,1

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d: 7x + y - 3 = 0 và ∆:

.

A.

B. 15 C. 9 D.

Lời giải

+ Ta đưa đường thẳng ∆ về dạng tổng quát:

∆:

⇒ Phương trình ∆: 7[ x + 2] + 1[ y - 2] = 0 hay 7x + y + 12 = 0

Ta có:

nên d // ∆

⇒ d[d;Δ] = d[A;d] =

Chọn A.

Ví dụ 3. Tập hợp các điểm cách đường thẳng ∆: 3x - 4y + 2 = 0 một khoảng bằng 2 là hai đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A. 3x - 4y + 8 = 0 hoặc 3x - 4y + 12 = 0. B. 3x - 4y - 8 = 0 hoặc 3x - 4y + 12 = 0.

C. 3x - 4y - 8 = 0 hoặc 3x - 4y - 12 = 0. D. 3x - 4y + 8 = 0 hoặc 3x - 4y - 12 = 0.

Lời giải

Gọi điểm M [x ; y] là điểm cách đường thẳng ∆ một khoảng bằng 2. Suy ra :

d[M[x; y]; Δ] = 2 ⇔

= 2

|3x - 4y + 2| = 10 ⇒

Vậy tập hợp các điểm cách ∆ một khoảng bằng 2 là hai đường thẳng :

3x - 4y + 12 = 0 và 3x - 4y - 8 = 0

Chọn B.

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 5x + 3y - 3 = 0 và d2: 5x + 3y + 7 = 0 song song nhau. Đường thẳng d vừa song song và cách đều với d1; d2 là:

A. 5x + 3y - 2 = 0 B. 5x + 3y + 4 = 0 C. 5x + 3y + 2 = 0 D. 5x + 3y - 4 = 0

Lời giải

Lấy điểm M [ x; y] thuộc đường thẳng d. Suy ra:

d[M[x; y]; d1]=d[M[x; y]; d2] ⇔

⇔

Đường thẳng d: 5x + 3y + 2 song song với hai đường thẳng d1 và d2.

Vậy đường thẳng d thỏa mãn là: 5x + 3y + 2 = 0

Chọn C.

Quảng cáo

Ví dụ 5: Cho đường thẳng d:

và đường thẳng ∆: . Tính khoảng cách hai đường thẳng này.

A. 1 B. 0. C. 2 D. 3

Lời giải

+ Đường thẳng d:

⇒ Phương trình d: 3[x - 2] – 2[y + 1] = 0 hay 3x - 2y - 8 = 0

+ Đường thẳng ∆:

⇒ Phương trình ∆: 3[x - 0] – 2[y + 4] = 0 hay 3x - 2y - 8 = 0

⇒ hai đường thẳng này trùng nhau nên khoảng cách hai đường thẳng này là 0.

Chọn B.

Ví dụ 6: Cho hai đường thẳng d: x + y - 2 = 0 và đường thẳng ∆:

. Viết phương trình đường thẳng d’// d sao cho khoảng cách hai đường thẳng d’ và ∆ là √2.

A. x + y - 1 = 0 B. x + y + 1= 0 C. x + y - 3 = 0 D. Cả B và C đúng.

Lời giải

+ Do đường thẳng d’// d nên đường thẳng d có dạng [d’] : x + y + c = 0[ c ≠ -2]

+ Đường thẳng ∆:

⇒ Phương trình ∆: 1[x + 2] + 1[y - 3] = 0 hay x + y - 1 = 0.

+ Lấy điểm M [ 1; 0] thuộc ∆.

Để khoảng cách hai đường thẳng d’ và ∆ bằng 2 khi và chỉ khi:

d[ d’; ∆] = d[ M; d’] = 2

⇔

= √2 ⇔ |1 + c| = 2

⇔

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : x + y + 1 = 0 và x + y - 3 = 0

Chọn D.

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có B[ 1; -2] và C[ 0; 1]. Điểm A thuộc đường thẳng
d: 3x+ y= 0 .Tính diện tích tam giác ABC.

A. 1 B. 3 C. 0,5 D. 2

Lời giải

+ Phương trình đường thẳng BC:

⇒ Phương trình BC: 3[x - 1] + 1[y + 2] = 0 hay 3x + y - 1 = 0 .

+ ta có; BC =

= √10

+ Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và BC:

Ta có:

⇒ d // BC.

Mà điểm A thuộc d nên d[ A; BC] = d[ d; BC] . [1]

+ Ta tính khoảng cách hai đường thẳng d và BC.

Lấy điểm O[0; 0] thuộc d.

⇒ d[d; BC] = d[O;BC] =

= [ 2]

Từ [ 1] và [ 2] suy ra d[ A; BC] = .

+ Diện tích tam giác ABC là S =

d[ A,BC].BC = . .√10 = 0, 5

Chọn C.

Câu 1: Cho hai đường thẳng d: x + y - 4 = 0 và đường thẳng ∆:

. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng này?

A. 1 B. 2 C. √2 D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

+Đường thẳng ∆:

⇒ Phương trình đường thẳng ∆: 1[ x - 1] + 1[ y - 1] = 0 hay x + y - 2 = 0.

+ Ta có:

nên hai đường thẳng d//∆.

+ Lấy điểm A[ 1; 1] thuộc ∆. Do d // ∆ nên :

d[d; ∆] = d[A; d] =

= √2

Câu 2: Cho đường thẳng d: x - 2y + 2 = 0 . Phương trình các đường thẳng song song với d và cách d một đoạn bằng √5 là

A. x - 2y - 3 = 0; x - 2y + 7 = 0 B. x - 2y + 3 = 0 và x - 2y + 7 = 0

C. x - 2y - 3 = 0; x - 2y - 7 = 0 D. x - 2y + 3 = 0; x - 2y - 7 = 0 .

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

+ Gọi ∆ là đường thẳng song song với d: x - 2y + 2 = 0

⇒ Đường thẳng ∆ có dạng: x - 2y + c = 0 [ c ≠ 2 ] .

+ Lấy một điểm A[ -2 ; 0] thuộc d.

⇒ d[ d ; ∆] = d[ A ; ∆] = √5

⇔

= √5 ⇔ |c - 2| = 5 nên

+ Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là x - 2y + 7 = 0 hoặc x - 2y - 3 = 0.

Câu 3: Cho đường thẳng d: 3x + 4y + 1 = 0. Có 2 đường thẳng d1 và d2 cùng song song với d và cách d một khoảng bằng 1. Hai đường thẳng đó có phương trình là:

A. 3x + 4y - 7 = 0; 3x - 4y + 3 = 0. B. 3x - 4y + 7 = 0; 3x - 4y - 3 = 0

C. 3x + 4y + 4 = 0; 3x + 4y + 3 = 0. D. 3x + 4y - 4 = 0; 3x + 4y + 6 = 0 .

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

+ Do đường thẳng song song với d nên ∆ có dạng là : ∆ : 3x + 4y + c = 0 [ c ≠ 1] .

Lấy điểm M[-3 ; 2] thuộc d

Do d[d ; ∆] = d[ M ; ∆] =1 ⇔

= 1

⇔ |c - 1| = 5 ⇔

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : 3x + 4y + 6 = 0 hoặc 3x + 4y - 4 = 0

Câu 4: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng [a]: 7x + y - 3 = 0 và [b]: 7x + y + 12 = 0 là

A.

B. 9. C. D. 15.

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

Ta có :

nên a // b

Lây điểm M [0 ; 3] thuộc[ a] .

Do a // b nên d[M ; b] = d[ a ; b] =

Câu 5: Cho đường thẳng d: 3x - 4y + 2 = 0. Có đường thẳng a và b cùng song song với d và cách d một khoảng bằng 1. Hai đường thẳng đó có phương trình là:

A. 3x + 4y - 1 = 0 ; 3x + 4y + 5 = 0 B. 3x - 4y + 7 = 0 ; 3x - 4y - 3 = 0

C. 3x + 4y - 3 = 0 ; 3x + 4y + 7 = 0 D. 3x - 4y + 6 = 0; 3x - 4y - 4 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

Giả sử đường thẳng ∆ song song với d : 3x - 4y + 2 = 0

Khi đó ; ∆ có phương trình là ∆ : 3x - 4y + C = 0.

Lấy điểm M[ -2 ; -1] thuộc d.

Do d[d; ∆] = 1 ⇔

= 1 ⇔ |C - 2| = 5 ⇔

Do đó hai đường thẳng thỏa mãn là : 3x - 4y + 7 = 0 và 3x - 4y - 3 = 0.

Câu 6: Cho đường thẳng d: 2x - 3y + 6 = 0 và đường thẳng ∆: 4x - 6y + 20 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ // d sao cho khoảng cách hai đường thẳng d’ và ∆ là √13

A. 2x - 3y + 23 = 0 B. 2x - 3y - 3 = 0.

C. 2x - 3y – 8 = 0 và 2x - 3y = 0 D. Cả A và B đúng

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

+ Ta có đường thẳng d’// d nên đường thẳng d’ có dạng : 2x - 3y + c = 0 [ c ≠ 6]

+ Xét vị trí của hai đường thẳng d và ∆:

⇒ Hai đường thẳng d và ∆ song song với nhau .

Mà d // d’ nên d’ // ∆.

+ Lấy điểm A[ -5; 0] thuộc ∆.

+ Do d’ // ∆ nên d[ d’; ∆] = d[ A; d’] = √13

⇔

= √13 ⇔

⇔

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là 2x - 3y + 23 = 0 và 2x - 3y - 3 = 0.

Câu 7: Cho tam giác ABC có B[ - 2; 1] và C[ 2; 0]. Điểm A thuộc đường thẳng
d: x+ 4y- 10= 0 .Tính diện tích tam giác ABC.

A. 1 B. 3 C. 0,5 D. 2

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

+ Phương trình đường thẳng BC:

⇒ Phương trình BC: 1[ x + 2] + 4[ y - 1] = 0 hay x + 4y - 2 = 0 .

+ ta có; BC =

= √17

+ Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và BC:

Ta có:

⇒ d // BC.

Mà điểm A thuộc d nên d[ A; BC] = d[ d; BC] . [1]

+ Ta tính khoảng cách hai đường thẳng d và BC.

Lấy điểm H[ 10; 0] thuộc d.

⇒ d[d; BC] = d[H;BC] =

=

[ 2]

Từ [ 1] và [ 2] suy ra d[ A; BC] =

+ Diện tích tam giác ABC là S = d[ A,BC].BC = . .√17= 1

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Giới thiệu kênh Youtube Tôi

Trang trước Trang sau

Phương trình đường thẳng lớp 10 chuẩn nhất

Hãy cùng với Cunghocvui đi vào tìm hiểu về lý thuyết về chuyên đề phương trình đường thẳng lớp 10, trong bài sẽ đưa ra các khái niệm và cách viết phương trình đường thẳng lớp 10 và cùng với các dạng bài tập phương trình đường thẳng lớp 10 giúp các bạn nhanh chóng nắm bắt bài học. Hãy cùng theo dõi nhé!

I. Lý thuyết

1. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

- Đường thẳng [d] được cho trước, vectơ\[\underset{n}{\rightarrow} \neq \underset{0}{\rightarrow}\]thì được gọivectơ pháp tuyến [VTPT] của đường thẳng [d] nếu giá của\[\underset{n}{\rightarrow} \]vuông góc với đường thẳng [d].

- Nhận xét: Vectơ\[\underset{n}{\rightarrow} \]là VTPT của đường thẳng [d] thì k.\[\underset{n}{\rightarrow} \]cũng được gọi là VTPT của đường thẳng[d]

2. Phương trình tổng quát của đường thẳng

- Định nghĩa: Phương trình đường thẳng [d] có dạng ax + by + c = 0 [\[a^2+b^2\neq 0\]] thì được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng [d].

- Vectơ pháp tuyến của phương trình đường thẳng [d] là:\[\underset{n}{\rightarrow} \]\[[a;b]\].

* Dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng

- Đường thẳng [d] song song hoặc trùng với Oy: [d]: ax + c = 0 [\[a\neq0\]]

- Đường thẳng [d] song song hoặc trùng với Ox: [d]: by + c = 0 [\[b\neq0\]]

- Đường thẳng [d] đi qua gốc tọa độ: [d]: ax + by = 0 [\[a^2+b^2\neq 0\]]

- Phương trình dạng đoạn chắn: ax + by = 1 nên đi qua điểm A[a;0]; B[0;b][\[a;b\neq0\]]

- Phương trình đường thẳng có hệ số góc k: y = kx + m [k được gọi là hệ số góc của đường thẳng]

3. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

- Cho đường thẳng [d], vectơ\[\underset{u}{\rightarrow}\neq \underset{0}{\rightarrow}\]được gọi là vectơ chỉ phương [VTCP] của đường thẳng [d] nếu giá của\[\underset{u}{\rightarrow}\]song song hoặc trùng với đường thẳng [d]

- Nhận xét:

• Nếu\[\underset{u}{\rightarrow}\]là vectơ chỉ phương của đường thẳng [d] thì k.\[\underset{u}{\rightarrow}\]cũng là VTCP của đường thẳng[d].
• VTCP vuông góc với VTPT, vì vậynếu đường thẳng[d] có VTCP\[\underset{u}{\rightarrow}\]\[[a;b]\]thì\[\underset{n}{\rightarrow} \][\[-b;a\]] là VTPT của đường thẳng [d].

4. Phương trình tham số của đường thẳng

- Phương trình có dạng:\[\left\{\begin{matrix} & x=x_0+at\\ & y=y_0+bt\end{matrix}\right.\]; [\[a^2+b^2\neq 0\]]. Đường thẳng [d] đi qua điểm\[M_0[x_0;y_0]\]và nhận\[\underset{u}{\rightarrow}\][a;b] làm vectơ chỉ phương, t là tham số.

- Lưu ý:

• Khi thay mỗi\[t \in \mathbb{R}\]vào phương trình tham số ta sẽ được một điểm M[xl y] thuộc đường thẳng [d]
• M[x; y] thuộc [d] thì sẽ có một tham số t sao cho x, y thỏa mãn được với phương trình tham số.
• Ứng với mỗi\[t \in \mathbb{R}\]ta có một phương trình tham số, vì vậy một đường thẳng sẽ có vô số phương trình tham số.

5. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Đường thẳng [d] đi qua điểm\[M_0[x_0;y_0]\]và nhận\[\underset{u}{\rightarrow}\][a;b] làm vectơ chỉ phương, khi đó phương trình chính tắc của đường thẳngcó dạng:\[\dfrac {x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}\]với\[a;b\neq0\].

6. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đã cho trước tọa độ

Cho điểm A [\[x_A; y_A\]] và B [\[x_B; y_B\]], nếu đường thẳng đi qua hai điểm A, B thì phương trình sẽ có dạng:

- Nếu:\[\left\{\begin{matrix} & x_A \neq x_B\\ & y_A \neq y_B\end{matrix}\right.\]thì đường thẳng qua AB sẽ có phương trình chính tắc là:\[\dfrac {x-x_A}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_A}{y_B-y_A}\]

- Nếu:\[x_A=x_B\]thì AB:\[x=x_A\]

- Nếu:\[y_A = y_B\]thì AB:\[y=y_A\]

7. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng

Cho trước điểm M[\[x_0;y_0\]] và đường thẳng\[\Delta: ax+by+c=0\]. Khi đó khoảng cách từ M đến\[\Delta\]được tính theo công thức:\[d[M;\Delta]=\dfrac {\left | ax_0 + by_0+c \right |}{\sqrt{a^2+b^2}}\]

8. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

- Cho trước hai đường thẳng:\[\left\{\begin{matrix} & [d_1]:a_1x+b_1y+c_1=0\\ & [d_2]:a_2x+b_2y+c_2=0\end{matrix}\right.\]

• \[d_1\cap d_2 \Leftrightarrow \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & \ b_2\end{vmatrix}\]\[\neq 0\]
• \[d_1//d_2 \Leftrightarrow \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & \ b_2\end{vmatrix}\]= 0 và\[d_1//d_2 \Leftrightarrow \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2\end{vmatrix}\]\[\neq 0\]hoặc\[ \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & \ b_2\end{vmatrix}\]= 0 và\[d_1//d_2 \Leftrightarrow \begin{vmatrix} c_1 & a_1 \\ c_2 & a_2\end{vmatrix}\]\[\neq 0\]
• \[d_1 \ vuông \ d_2 \Leftrightarrow \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}\] =\[\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2\end{vmatrix}\]=\[\begin{vmatrix} c_1 & a_1 \\ c_2 & a_2\end{vmatrix}\]= 0

- Nếu\[a_2.b_2.c_2\neq0\]thì:

• Nếu\[\dfrac{a_1}{b_1}\neq\dfrac{a_2}{b_2}\]thì hai đường thẳng cắt nhau
• Nếu\[\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}\neq \dfrac {c_1}{c_2}\]thì hai đường thẳng song song với nhau
• Nếu\[\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}= \dfrac {c_1}{c_2}\]thì hai đường thẳng vuông góc với nhau