L.a là kí hiệu gì trong môn toán năm 2024

Trong toán học, để giải tích có nhiều kí hiệu khác nhau, cụ thể cách viết và ý nghĩa của từng kí hiệu được ghi cụ thể trong bảng sau:

Ảnh 3: Các kí hiệu của toán giải tích

4. Các kí hiệu về xác suất thống kê

Trong toán học, xác suất thống kê là một trong những phần kiến thức rất quan trọng và để học tốt phần kiến thức này thì các bạn cần phải ghi nhớ những kí hiệu liên quan. Dưới đây là những kí hiệu về xác suất thống kê và ý nghĩa của chúng:

Bài viết này tổng hợp lại các kí hiệu toán học được sử dụng trong blog. Về cơ bản, tôi sẽ cố gắng đồng bộ hết sức có thể các kí hiệu này với các kí hiệu thường được các nhà học máy và toán học sử dụng. Ở đây tôi không đề cập tới cách tính từng phép toán cụ thể vì tôi đã trình bày trong các chuỗi bài về Toán và Xác Suất rồi.

Mục lục

Tập hợp

Kí hiệuÝ nghĩa$\mathbb{A}$Tập $\mathbb{A}$ bất kì$\mathbb{N}$Tập số tự nhiên$\mathbb{Z}$Tập số nguyên$\mathbb{Q}$Tập số hữu tỉ$\mathbb{I}$Tập số vô tỉ$\mathbb{R}$Tập số thực$\{x,y,z\}$Tập chứa các phần tử $x,y,z$$\{a_1,a_2,…,a_n\}$Tập chứa các số nguyên từ $a_1$ tới $a_n$$[a,b]$Tập chứa các số thực trong khoảng $a

Số và ma trận

Kí hiệuÝ nghĩa$a$Số thực $a$$\mathbf{a}$Véc-to cột $\mathbf{a}$$\mathbf{A}$Ma trận $\mathbf{A}$$[a_i]_n$ hoặc $(a_1,….,a_m)$Véc-to hàng $\mathbf{a}$ cấp $n$$[a_i]_n^{\intercal}$ hoặc $(a_1,….,a_m)^{{\intercal}$Véc-to cột $\mathbf{a}$ cấp $n$$\mathbf{a}\in\mathbb{R^n}$Véc-to cột số thực $\mathbf{a}$ cấp $n$$[A_{ij}]_{mn}$Ma trận $\mathbf{A}$ cấp $m \times n$$\mathbf{A}\in\mathbb{R}{m \times n}}$Ma trận số thực $\mathbf{A}$ cấp $m \times n$$\mathbf{I}_n$Ma trận đơn vị cấp $n$$\mathbf{A}^{{\dagger}$Giả nghịch đảo của ma trận $A$ (Moore-Penrose pseudoinverse)$\mathbf{A}\odot\mathbf{B}$Phép nhân phần tử Hadamard của ma trận $\mathbf{A}$ với ma trận $\mathbf{B}$ (element-wise (Hadamard))$\mathbf{a}\otimes\mathbf{b}$Phép nhân ngoài của véc-to $\mathbf{a}$ với véc-to $\mathbf{b}$ (outer product): $\mathbf{a}\mathbf{b}}{\intercal}$$\Vert\mathbf{a}\Vert_p$Norm cấp $p$ của véc-to $\mathbf{a}$: $\Vert\mathbf{a}\Vert=\bigg(\sum_i\vert x_i\vert^p\bigg)^{\frac{1}{p}$$\Vert\mathbf{a}\Vert$Norm cấp 2 của véc-to $\mathbf{a}$ (độ dài véc-to)$a_i$Phần tử thứ $i$ của véc-to $\mathbf{a}$$A_{i,j}$Phần tử hàng $i$, cột $j$ của ma trận $\mathbf{A}$$A_{i_1:i_2,j_1:j_2}$Ma trận con từ hàng $i_1$ tới $i_2$ và cột $j_1$ tới $j_2$ của ma trận $\mathbf{A}$$A_{i,:}$ hoặc $\mathbf{A}}{(i)}$Hàng $i$ của ma trận $\mathbf{A}$$A_{:,j}$Cột $j$ của ma trận $\mathbf{A}$

Giải tích

Kí hiệuÝ nghĩa$f:\mathbb{A}\mapsto\mathbb{B}$Hàm số $f$ với tập xác định $A$ và tập giá trị $B$$f(x)$Hàm số 1 biến $f$ theo biến $x$$f(x,y)$Hàm số 2 biến $f$ theo biến $x$ và $y$$f(\mathbf{x})$Hàm số $f$ theo véc-to $\mathbf{x}$$f(\mathbf{x};\theta)$Hàm số $f$ theo véc-to $\mathbf{x}$ có tham số véc-to $\theta$$f(x)^{{\prime}$ hoặc $\dfrac{df}{dx}$Đạo hàm của hàm $f$ theo $x$$\dfrac{\partial{f}}{\partial{x}}$Đạo hàm riêng của hàm $f$ theo $x$$\nabla_\mathbf{x}f$Gradient của hàm $f$ theo véc-to $\mathbf{x}$$\int_a^bf(x)dx$Tích phân tính theo $x$ trong khoảng $[a,b]$$\int_\mathbb{A}f(x)dx$Tích phân toàn miền $\mathbb{A}$ của $x$$\int f(x)dx$Tích phân toàn miền giá trị của $x$$\log{x}$ hoặc $\ln{x}$Logarit tự nhiên: $\log{x}\triangleq\ln{x}\triangleq\log_e{x}$$\sigma(x)$Hàm sigmoid (logistic sigmoid): $\dfrac{1}{1+e}{-x}}=\dfrac{1}{2}\Bigg(\tanh\bigg({\dfrac{x}{2}}\bigg)+1\Bigg)$

Xác suất thống kê

Kí hiệuÝ nghĩa$\hat{y}$Đầu ra dự đoán$\hat{p}$Xác suất dự đoán$\hat{\theta}$Tham số ước lượng$J(\theta)$Hàm chi phí (cost function) hay hàm lỗi (lost function) ứng với tham số $\theta$I.I.DMẫu ngẫu nhiên (Independent and Identical Distribution)$LL(\theta)$Log Likelihood của tham số $\theta$MLEƯớc lượng hợp lý cực đại (Maximum Likelihood Estimation)MAPCực đại xác suất hậu nghiệm (Maximum A Posteriori)

Muốn làm tốt bài tập về các phép toán tập hợp thì nhất định các em phải nắm chắc lý thuyết, luyện tập thêm nhiều dạng bài khác nhau. Bài viết dưới đây sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức về các phép toán trên tập hợp, các em cùng tham khảo nhé!

1. Lý thuyết các phép toán tập hợp

1.1. Phép hợp

Hợp của hai tập hợp A và B

Ký hiệu là A∪B, là tập hợp bao gồm tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B.

A∩B⇔{x∣ x∈A và x∈B}

Ví dụ: Cho tập A={2;3;4},B={1;2} thì A∪B={1;2;3;4}

1.2. Phép giao

Giao của hai tập hợp A, B

Kí hiệu: A∩B là tập hợp bao gồm tất cả các phần tử thuộc cả A và B.

A∪B ⇔ {x∣x∈A hoặc x∈B}

Nếu 2 tập hợp A, B không có phần tử chung

A∩B=∅ khi đó ta gọi A và B là 2 tập hợp rời nhau.

Ví dụ: Cho tập A={2;3;4},B={1;2} thi A∩B={1}

1.3. Phép hiệu

Hiệu của tập hợp A, B là tập hợp tất cả các phần tử thuộc A nhưng lại không thuộc B.

Ký hiệu: A∖B

A∖B= x∣x∈A & x∉B

Ví dụ: Cho tập A = {2;3;4}, B = {1;2} ta có:

A∖B = {3;4}

B∖A = {1}

1.4. Phần bù

Ta có A là tập con của E. Phần bù A trong X là X∖A, ký hiệu (CXA) là tập hợp cả các phần tử của E mà không là phần tử của A.

Ví dụ: Cho tập A = {2;3;4},B={1;2} ta có CAB=A∖B={3;4}

Tham khảo ngay bộ tài liệu ôn tập kiến thức và tổng hợp phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi tốt nghiệp THPT

2. Một số bài tập về các phép toán tập hợp và phương pháp giải

Phương pháp giải chung:

- Hợp của 2 tập hợp

x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A hoặc x ∈ B

- Giao của 2 tập hợp

x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A hoặc x ∈ B

- Hiệu của 2 tập hợp

x ∈ A \ B ⇔ x ∈ A hoặc x B

- Phần bù

Khi B ⊂ A thì A\B là phần bù của B trong A (kí hiệu là CAB)

Ví dụ 1: Cho A là tập hợp học sinh lớp 10 đang học ở trường và B là tập hợp các học sinh đang học Tiếng Anh của trường. Hãy diễn đạt bằng lời các tập hợp sau: A ∪ B;A ∩ B;A \ B;B \ A.

Giải:

1. A ∪ B: tập hợp các học sinh hoặc học lớp 10 hoặc học môn Tiếng Anh của trường.

2. A ∩ B: tập hợp học sinh lớp 10 học môn Tiếng Anh của trường.

3. A \ B: tập hợp các học sinh học lớp 10 nhưng không học môn Tiếng Anh của trường.

4. B \ A: tập hợp các học sinh học môn Tiếng Anh của trường em nhưng không học lớp 10 của trường.

Ví dụ 2: Cho A={1,2,3,4,5,6,9}; B={1,2,4,6,8,9} và C={3,4,5,6,7}

1. Tìm hai tập hợp (A \ B) ∪ (B \ A) và (A ∪ B) \\ (A ∩ B). Hai tập hợp nhận được có bằng nhau hay không?

2. Hãy tìm A ∩ (B \ C) và (A ∩ B) \ C. Hai tập hợp nhận được có bằng nhau hay không?

Giải

1. A \ B={3,5}; B \ A={8}

⇒ (A \ B) ∪ (B \ A)={3;5;8}

A ∪ B={1,2,3,4,5,6,8,9}

A ∩ B={1,2,4,6,9}

⇒ (A ∪ B) \\ (A ∩ B)= {3;5;8}

Do đó: (A \ B) ∪ (B \ A)=(A ∪ B) \\ (A ∩ B)

2. B \ C = {1,2,8,9}

⇒ A ∩ (B \ C) = {1,2,9}.

A ∩ B={1,2,4,6,9}

⇒ (A ∩ B) \ C = {1,2,9}.

Do đó: A ∩ (B \ C) =(A ∩ B) \ C

Ví dụ 3: Viết mỗi tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó:

1. A = {2; 3; 5; 7}

2. B = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}

3. C = {-5; 0; 5; 10; 15}.

Giải:

1. A là tập hợp các số nguyên tố nhỏ hơn 10.

2. B là tập hợp các số nguyên có giá trị tuyệt đối không vượt quá 3.

B={x ∈ Z||x| ≤ 3}.

3. C là tập hợp các số nguyên n chia hết cho 5, không nhỏ hơn -5 và không lớn hơn 15.

C={n ∈ Z|-5 ≤ n ≤ 15; n ⋮ 5}

3. 10 câu hỏi trắc nghiệm các phép toán tập hợp có đáp án

Câu 1: Cho các tập hợp A = {m ∈ N | m là ước của 16}; B = {n ∈ N | n là ước của 24}.

Tập hợp A ∩ B là:

1. ∅

2. {1; 2; 4; 8}

3. {±1; ±2; ±4; ±8}

4. {1; 2; 4; 8; 16}

Giải:

Ta có A = {m ∈ N | m là ước của 16} = {1; 2; 4; 8; 16}.

B = {n ∈ N | n là ước của 24 = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}.

⇒ A ∩ B = {1; 2; 4; 8}.

Chú ý: A ∩ B chính là tập hợp các ước số tự nhiên của 8 = ƯCLN(16;24).

Chọn đáp án B

Câu 2: Xác định tập hợp X thỏa mãn hai điều kiện:

X ∪ {1; 2; 3} = {1; 2; 3; 4} và X ∩ {1; 2; 3; a} = {2; 3}.

1. X = {2; 3}

2. X = {1; 2; 3; 4}

3. X = {2; 3; 4}

4. X = {2; 3; 4; a}

Giải:

Chọn đáp án C

Vì X ∪ {1; 2; 3} = {1; 2; 3; 4} nên 4 ∈ X và tập X ⊂ {1; 2; 3; 4}. Vì X ∩ {1; 2; 3; a} = 2; 3} nên 2; 3 ∈ X và 1 ∉ X, a ∉ X.

Tóm lại, ta có X = {2; 3; 4}.

Câu 3: Cho A = {a, b, c, d, e} và B = {c, d, e, k}. Tập hợp A ∩ B là:

1. {a, b}

2. {c, d, e}

3. {a, b, c, d, e, k}

4. {a, b, k}

Giải:

Chọn đáp án B

A= {a; b; c; d;e} và B= {c; d; e; k}

Tập hợp A ∩ B= {c; d;e}

Đăng ký ngay để được các thầy cô tư vấn và xây dựng lộ trình ôn thi THPT sớm ngay từ bây giờ

Câu 4: Cho hai tập hợp M = {1; 3; 6; 8} và N = {3; 6; 7; 9}. Tập hợp M ∪ N là:

1. {1; 8}

2. {7;9}

3. {1;7;8;9}

4. {1; 3;6;7;8;9}

Giải:

Chọn đáp án D

Hai tập hợp M= {1; 3;6;7;8} và N = {3;6;7;9}

Tập hợp M ∪ N= {1; 3;6;7;8;9}

Câu 5: Cho hai tập hợp A = {2; 4; 5; 8} và B = {1; 2; 3; 4}.

Tập hợp A\B bằng tập hợp nào sau đây?

2. {2;4}

2. {5;8}

4. {5;8;1;3}

Giải:

Chọn đáp án C

Hai tập hợp A= {2;4;5;8} và B= {1;2;3;4}

Tập hợp A\B= {5;8}

Câu 6: Cho các tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5}, B = {3; 4; 5; 6; 7}. Tập hợp (A \ B) ∪ (B \ A) bằng:

1. {1;2}

2. {6;7}

4. {1;2;6;7}

Giải:

Chọn đáp án D

Ta có A\B = {1;2}; B\A = {6;7}

(A\B) ∪ (B\A) = {1;2;6;7}

Câu 7: Cho hai tập hợp A, B thỏa mãn A ⊂ B.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

1. A ∩ B = A

2. A ∪ B= B

3. A\ B=

4. B\ A= B

Giải:

Chọn đáp án D

Nếu A B khí đó

A B = A

A ∪ B= B

A\ B =

Câu 8: Cho các tập hợp A = {2m - 3 | m ∈ Z} , B = {5n | n ∈ Z}. Khi đó A ∩ B là:

1. {5(2k-1)| k ∈ Z}

2. {10k| k ∈ Z}

3. {3(2k-1) | k ∈ Z}

4. {3k-3 | k ∈ Z}

Giải:

Các phần tử của A, B thuộc A ∩ B

Khi các giá trị m, n ∈ thỏa mãn

Vì m, n ∈ nên suy ra ∈

Hay

Từ đó suy ra A ∩ B =

Câu 9: Gọi T là tập hợp các học sinh của lớp 10A; N là tập hợp các học sinh nam và G là tập hợp các học sinh nữ của lớp 10A. Xét các mệnh đề sau:

(I) N ∪ G = T

(II) N ∪ T = G

(III) N ∩ G = ∅

(IV) T ∩ G = N

(V) T \ N = G

(VI) N \ G = N

Trong các mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề đúng?

1. 2

2. 3

3. 4

4. 5

Giải:

Chọn đáp án C

Trong các mệnh đề trên, có 4 mệnh đề đúng là (I), (III), (V), (VI).

Chú ý: Vì N ⊂ T, G ⊂ T nên N ∪ T = T, T ∩ G = G.

Câu 10: Cho hai đa thức P(x) và Q(x). Xét các tập hợp sau:

1. {x ∈ R: P(x)=0}

2. {x ∈ R: Q(x)=0}

3. {x ∈ R: \=0}

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

1. C= A ∩ B

2. C= A ∪ B

3. C= A\ B

4. C= B\ A

Giải:

Chọn đáp án C

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Hy vọng qua bài viết này các em đã nắm được toàn bộ kiến thức về lý thuyết cũng như bài tập vận dụng về các phép toán tập hợp để đạt kết quả cao nhất khi làm bài. Để có thêm nhiều kiến thức hay thì em có thể truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm hỗ trợ để có được kiến thức tốt nhất chuẩn bị cho kỳ thi đại học sắp tới nhé!