- LG a
- LG b
Giải các hệ phương trình :
LG a
\[ \left\{ \begin{gathered} \frac{2}{{x + y}} + \frac{1}{{x - y}} = 3 \hfill \\ \frac{1}{{x + y}} - \frac{3}{{x - y}} = 1 \hfill \\\end{gathered}\right.\]
Phương pháp giải:
Đưa về dạng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách đặt ẩn phụ.
Sử dụng phương pháp cộng đại số:
+] Bước \[1:\] Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.
+] Bước \[2:\] Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ [và giữ nguyên phương trình kia].
Lời giải chi tiết:
Điều kiện \[x \ne \pm y.\] Đặt \[u = \dfrac{1}{{x + y}};v = \dfrac{1}{{x - y}}.\] Hệ phương trình trở thành : \[\left\{ \begin{gathered}2u + v = 3 \hfill \\ u - 3v = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,\,\left[ * \right]\].
Giải hệ phương trình \[\left[ * \right]\] ta được :\[\left\{ \begin{gathered}2u + v = 3 \hfill \\ u - 3v = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]\[\Rightarrow\left\{ \begin{gathered}2u + v = 3 \hfill \\ 2u - 6v = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]\[\Rightarrow\left\{ \begin{gathered}7v = 1 \hfill \\ u - 3v = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]\[\Rightarrow\left\{ \begin{gathered}v = \dfrac{1}{7} \hfill \\ u = 1 +3.\dfrac{1}{7}\hfill \\ \end{gathered} \right.\]
\[\Rightarrow\left\{ \begin{gathered}u = \frac{{10}}{7} \hfill \\ v = \frac{1}{7} \hfill \\\end{gathered} \right. \]\[\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{{x + y}} = \frac{{10}}{7} \hfill \\\frac{1}{{x - y}} = \frac{1}{7} \hfill \\\end{gathered} \right. \]\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + y = \frac{7}{{10}} \hfill \\ x - y = 7 \hfill \\\end{gathered} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2x = \frac{{77}}{{10}} \hfill \\ y = x-7 \hfill \\\end{gathered} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{77}}{{20}} \hfill \\ y = \frac{{77}}{{20}}-7\hfill \\\end{gathered} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = - \frac{{63}}{{20}} \hfill \\ x = \frac{{77}}{{20}} \hfill \\\end{gathered} \right.\]
Vậy nghiệm của hệ phương trình là : \[\left[ {\dfrac{{77}}{{20}}\,\,;\,\, - \dfrac{{63}}{{20}}} \right].\]
LG b
\[\left\{ \begin{gathered} 3\sqrt x - 2\sqrt y = - 2 \hfill \\2\sqrt x + \sqrt y = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]
Phương pháp giải:
Đưa về dạng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách đặt ẩn phụ.
Sử dụng phương pháp cộng đại số:
+] Bước \[1:\] Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.
+] Bước \[2:\] Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ [và giữ nguyên phương trình kia].
Lời giải chi tiết:
Điều kiện \[x \geqslant 0;y \geqslant 0.\] Đặt \[\sqrt x = u\left[ {u \geqslant 0} \right],\sqrt y = v\left[ {v \geqslant 0} \right].\] Hệ phương trình trở thành :
\[\left\{ \begin{gathered} 3u - 2v = - 2 \hfill \\ 2u + v = 1 \hfill \\\end{gathered} \right. \]\[\Leftrightarrow\left\{ \begin{gathered} 3u - 2v = - 2 \hfill \\ 4u +2 v = 2 \hfill \\\end{gathered} \right. \]
\[\Leftrightarrow\left\{ \begin{gathered} 7u= 0 \hfill \\ 4u +2 v = 2 \hfill \\\end{gathered} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} u = 0 \hfill \\ v = 1 \hfill \\\end{gathered} \right.\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \sqrt x = 0 \hfill \\\sqrt y = 1 \hfill \\\end{gathered} \right.\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 0 [tm]\hfill \\ y = 1[tm] \hfill \\\end{gathered} \right.\]
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \[\left[ {0\,\,;\,\,1} \right].\]