Bài tập bất đẳng thức toán 10 violet năm 2024
|
III/KẾT LUẬN....................................................................................trang 20 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ***** a õ b *****
-Để rèn luyện kỹ năng, phương pháp giải toán cho học sinh ngoài việc trang bị cho học sinh kiến thức cơ bản, người thầy giáo cần giúp các em tổng hợp phân loại các phương pháp giải và các dạng thường gặp để các em dễ nhớ, dễ vận dụng. - Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó và rộng của bộ môn Toán nhưng nhờ các bài tập về bất đẳng thức mà học sinh có thể hiểu kĩ hơn, sâu hơn về giải và biện luận phương trình, bất phương trình; Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức, về mối liên hệ giữa các yếu tố trong tam giác và trong quá trình giải toán khả năng tư duy sáng tạo của người học được phát triển mạnh. Thực tế khi giải các bài tập về bất đẳng thức học sinh thường gặp nhiều khó khăn vì cách giải chúng không hoàn toàn có một mẫu quy tắc nào như ở một số mảng kiến thức khác. -Qua nhiều năm giảng dạy toán ở trường phổ thông, là người thầy, tôi thường trăn trở suy nghĩ, thu thập tài liệu, cố gắng sắp xếp hợp lý một số phương pháp và bài tập về chứng minh bất đẳng thức với mong muốn giúp học sinh tự tin hơn khi đứng trước một số bài toán về bất đẳng thức cụ thể là các bài toán chứng minh bất đẳng thức. - Phạm vi và giới hạn bài viết. Khuôn khổ bài viết có hạn nên tôi muốn tổng hợp phân loại các phương pháp chứng minh bất đẳng thức và các ví dụ áp dụng dành cho học sinh THCS đặc biệt là học sinh khá giỏi lớp 8; 9. II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: (Nội dung sáng kiến kinh nghiệm) 1)Cơ sở lý luận của vấn đề: - Vận dụng tốt phương pháp phù hợp để giải các bất đẳng thức, Học Sinh sẽ tiết kiệm được thời gian, bài giải gọn . - Bất đẳng thức là một kiến thức khó nhưng không thể thiếu trong vốn kiến thức của Học Sinh phổ thông, nhất là học sinh khá giỏi. -Khi vận dụng phương pháp phù hợp , Học Sinh sẽ biến đổi nhanh gọn bất ngờ, đầy hứng thú, kích thích và phát triển tinh thần say mê , thích thú học toán. 2)Thực trạng của vấn đề: - Học Sinh thường gặp những bài toán về bất đẳng thức mà không biết phải sử dụng phương pháp nào để chứng minh nên lúng túng trong biến đổi,tính toán - Để có cơ sở vận dụng tốt phương pháp chứng minh bất đẳng thức các em cần nắm vững kiến thức cơ bản về bất đẳng thức.Nếu không dễ bị dẫn đến khó khăn ,bế tắc. * Kiến thức cần nắm vững:
a
1. a > b ; b >c 2. a >b 3. a > b ; c > 0 a > b ; c < 0 5. a > b ; c > d a > b ; c < d 6. a > b 7 a > b > 0 ; 0 < c < d 8. a > b > 0 a > b 9. Nếu m > n >0 thì a >1 a =1 0 < a < 1 10. a > b , ab > 0
1. a2 2.
4. 5. 3)Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề: -Để học sinh vận dụng tốt các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ngoài việc nắm vững lí thuyết ,các em phải nhớ dạng và phương pháp thích hợp Học Sinh cần: o Học thuộc lòng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức o Biết phối hợp với một số kiến thức khác o Kết hợp với biến đổi, tính toán , rút gọn . -Để học sinh có kết quả tốt thì học sinh cần nắm chắc nội dung và cách giải quyết một số bài toán chứng minh bất đẳng thức sau: *11 PHƯƠNG PHÁP :Mỗi phương pháp có:1/ Phương pháp giải 2/Ví dụ áp dụng 3/ Bài tập tương tự 1. Phương pháp sử dụng định nghĩa: 1.1. Phương pháp giải: Muốn chứng minh A > B hãy xét hiện A - B. Nếu hiện A - B dương thì khẳng định được A > B là bất đẳng thức cần chứng minh. 1.2. Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Cho a,b,c > 0. chứng minh rằng (a + b + c) ( Giải: Xét hiệu H = (a + b + c) ( \= ( \= Do a,b,c > 0 Dấu = xẩy ra Ví dụ2: Cho a > 0, b > 0. chứng minh rằng: Giải: Xét hiệu: A = Bỏ ngoặc, phân tích thành nhân tử ta được: A = Theo định nghĩa Dấu bằng xẩy ra 1.3. Bài tập tương tự: Bài 1: Chứng minh: Bài 2: Chứng minh: x2 + y2 + z2 Bài 3: Cho a,b,c > 0 chứng minh: 2. Phương pháp sử dụng tính chất: 2.1. Phương pháp giải: Sử dụng một hay nhiều tính chất đã nêu ở 2.2 để biến đổi. Từ đó khẳng định bất đẳng thức cần chứng minh 2.2. Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Cho a, b > 2. Chứng minh ab > a + b Giải: Ta có: a > 2 , b > 0 b > 2 , a > 0 Từ (1) và (2) Ví dụ 2: Cho x (x + y) (y + z) (z + x) Giải: Ta có: (x-y)2 Tương tự ta có: (y+z)2 (x+z)2 Nhân từng vế (1),(2),(3) 2.3. Bài tập tương tự: Bài 1: Cho a + b > 1. Chứng minh rằng a4 +b4 > Bài 2: Chứng minh rằng: Bài 3: Cho x + y = 2. Chứng minh : x4 + y4 3. Phương pháp phân tích: ( Biến đổi tương đương) 3.1. Phương pháp giải: Xuất phát từ bất đẳng thức cần chứng minh ta biến đổi nó tương đương với một bất đẳng thức khác mà ta đã biết là đúng từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng. 3.2. Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (a + b)2 Giải: (a + b)2 Bất đẳng thức (2) luôn đúng Ví dụ 2: Cho 2 số a, b thoả mãn: a + b = 1 Chứng minh: a3 + b3 +ab Giải: (1) Bất đẳng thức (2) luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương 3.3. Bài tập tương tự Bài 1: Với mọi a, b chứng minh a4 + b4 Bài 2: Cho a > 0, b > 0. Chứng minh Bài 3: Chứng minh x4 + y4 4. Phương pháp tổng hợp: 4.1. Phương pháp giải: Từ một bất đẳng thức đã biết là đúng, dùng các phép biến đổi tương đương biến đổi bất đẳng thức đó về bất đẳng thức cần chứng minh. Phương pháp giải này làm cho học sinh thấy khó ở chỗ là không biết nên bắt đầu từ bất đẳng thức nào nhưng nếu biết phương pháp giải này ngược với phương pháp phân tích thì cũng rất dễ tìm ra bất đẳng thức xuất phát. 4.2. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho a, b Giải: Theo giả thiết a, b Ta có: ( a - b)2 Ví dụ 2: Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng: Giải: Ta có: (ad - bd)2 Chú ý: với a, b, c, d >0 thì các phép biến đổi trong cách giải trên là tương đương. 4.3. Bài tập tương tự: Chứng minh các bất đẳng thức Bài 1: a2 + b2 + c2 Bài 2: (x-y)2+ (y -z)2 + (z -x)2 Bài 3: 5. Phương pháp phản chứng: 5.1. Phương pháp giải: Nếu bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức A ( hoặc A < B) thì ta giả sử A < B (hoặc A Giải như vậy gọi là phương pháp phản chứng. 5.2. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho a2 + b2 Giải: Giả sử: a + b > 2 Ta có: (a - b)2 Mặt khác theo giả thiết ta có: a2 + b2 Suy ra: a2 + b2 + 2ab Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Nếu a + b + c > 0; abc >0 , ab + bc + ac > 0 thì a > 0, b > 0, c > 0. Giải: giả sử a Nếu a = 0 thì abc = 0 trái với giả thiết abc > 0 Nếu a < 0 : do a + b + c > 0 nên b + c > 0 Do abc > 0 nên bc < 0 Hay ab + ac + bc < 0 trái với giả thiết ab + ac + bc > 0 Vậy a > 0. Tương tự ta chứng minh được b > 0, c > 0 5.3. Bài tập tương tự: Bài 1: cho các số a, b, c , m, n, p thoả mãn: ap - 2bn + cm = 0 và ac - b2 = 0 chứng minh mp - n2 Bài 2: chứng minh rằng: Nếu a Bài 3: Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh a + b 6. Phương pháp quy nạp toán học: 6.1. Phương pháp giải: Nếu cả 2 vế của bất đẳng thức phải chứng minh đều phụ thuộc vào đối số tự nhiên n thì có thể dùng phương pháp quy nạp toán học. Khi đó đòi hỏi phải chứng minh: + Bất đẳng thức đúng với n = 1 (hoặc đúng với n = n0 là giá trị tự nhiên bé nhất thừa nhận được của n theo yêu cầu của đề bài) + Thừa nhận bất đẳng thức đúng với n = k (k > 1 hoặc k > n0) rồi chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1. 6.2. Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n Giải: Với n= 3 ta có 23 = 8 ; 2n + 1 = 7 Giả sử (1) đúng với n = k (k Tức là 2k > 2k + 1. Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1 hay 2k+1 > 2(k+1) +1 hay 2k+1 > 2k+3 (2) Thật vậy: hay 2k+1 =2.2k mà 2k > 2k +1 Vậy 2n > 2n + 1 với mọi n nguyên dương và n Ví dụ 2: chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 thì (n+1)(n+2)(n+3)….2n > 2n (1) Giải: Với n = 2 thì (1) đúng với n = k (k Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1 tức là phải chứng minh (k+2)(k+3)(k+4)…2(k+1) > 2k+1 Hay (k+2)(k+3)(k+4)…(2k+2) > 2k+1 Thật vậy: Theo giả thiết quy nạp ta có: (k+2)(k+3)(k+4)…2k > 2k Vậy bất đẳng thức (1) đúng với mọi số tự nhiên n >1 nghĩa là: (n+1)(n+2)(n+3)….2n > 2n 6.3. Bài tập tương tự Bài 1: Cho a Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì n2 > n + 5 Bài 3: Chứngminh rằng vớimọi số nguyên dương n thì 7. Phương pháp xét các khoảng giá trị của biến: 7.1. Phương pháp giải: Có những bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức A(x) > 0 mà không cho thêm giả thiết nào nữa ta có thể suy nghĩ theo cách giải sau: Nếu biểu thức A(x) viết được về dạng tổng các hạng tử nx(x-a) thì ta xét các khoảng giá trị của biến x chẳng hạn như x x < a Trong trường hợp bất đẳng thức cần chứng minh chưa có dạng A(x) > 0 hay A(x) < 0 trước hết ta chuyển vế để đưa về dạng đó. 7.2. Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh x10 -x9 +x4 - x+ 1 >0 Giải: Xét A = x10 -x9 +x4 - x+ 1 \= x9(x-1) + x(x3 -1) +1 (1) Hoặc A = x10 + x4(1-x5) +(1-x) (2) + Nếu x Nên từ (1) + Nếu x < 1 Ví dụ 2: Chứng minh 12x4 + 8x3 +11x2 +7x+10 >0 Giải: xét B = 12x4 + 8x3 +11x2 +7x+10 (1) Hoặc B= 10(x4 + x3 +x2 +x+1) + 2x4 +x2 -2x3 -3x (2) + Nếu x Vậy B > 0 (đpcm) 7.3. Bài tập tương tự Bài 1: chứngminh x8 +x4 +1 > x7 + x Bài 2: Chứngminh x6 - x5 + x4- x3+x2 - x + 1 > 0 Bài 3: Chứng minh x6 - x5 + x4- x3+x2 - x + 8. Phương pháp làm trội ( hoặc làm giảm) 8.1. Phương pháp giải: Để chứng minh A < B ta làm trội A thành C (A < C) rồi chứng minh C Tương tự đối với phương pháp làm giảm 8.2. Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n A = Giải: Làm trội mỗi phân số ở A bằng cách giảm mẫu Ta có: Do đó: A < Đặt C = \= \= Vậy: Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n A = 1+ Giải: A= ở mỗi nhóm trong A ta làm trội bằng cách thay các phân số bởi phân số lớn nhất trong nhóm, ta được A< Vậy A < n (đpcm) 8.3. Bài tập tương tự Bài 1: Cho A = Bài 2: 9. Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức kinh điển: ( bất đẳng côsi và bất đẳng thức bunhiacốpxki) 9.1. Phương pháp giải: Để chứng minh một bất đẳng thức nào đó ngoài các cách đã giới thiệu ta có thể sử dụng các bất đẳng thức kinh điển. Trong phạm vi chương trình THCS , tôi xin giới thiệu và hướng dẫn học sinh vận dụng bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacốpxki để chứng minh các bất đẳng thức khác.
(a1b1+ a2b2 + …+ anbn)2 Dấu bằng xẩy ra 9.2. Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: Giải: Do a, b, c >0 áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số Tương tự ta có: Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta được: Vậy Ví dụ 2: Cho a, b, c là các số không âm và a+b+c=1. Chứng minh rằng: Giải: a, b, c áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski với 2 bộ số: a1=1, a2=2, a3=3, b1= ta có: (1. *Lưu ý: + Việc chứng minh các bất đẳng thức côsi và bất đẳng thức Bunhiacôpxki ở đây không đề cập mà chỉ hướng dẫn các em chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng một hoặc nhiều bất đẳng thức đã biết khác. + Khi sử dụng bất đẳng thức côsi thì cần chú ý các số áp dụng phải có điều kiện + Ngoài 2 bất đẳng thức hay sủ dụng cho học sinh THCS đã nêu ở trên thì các em có thể sử dụng một số bất đẳng thức đã biết để chứng minh một bất đẳng thức khác. 9.3. Bài tập tương tự: Bài 1: cho a, b, c >0. Chứng minh Bài 2: Cho a+b = 2. Chứng minh a4+b4 10.Phương pháp tam thức bậc hai: 10.1. Phương pháp giải: Dùng định lí về dấu của tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức Định lý về dấu của tam thức bậc hai: Định lý về dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a - Nếu - Nếu - Nếu 10.2. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho bốn số thực a, b, c, d thoả mãn hệ điều kiện Chứng minh rằng: c2 + d2-2ac -2bd Giải: c + d = 6 c2+ (6-c)2 -2ac -2b(6-c) -18+ Quan niệm vế trái của (2) là tam thức bậc hai của c, ta có: \= - (a+b)2 + 12(a+b) + 2 -12 Do a2+b2 =1 Xét tam thức bậc hai f(x) = -x2 +12x+2-12 Ta có bảng xét dấu sau: x 12- f(x) - 0
Do Dấu = xảy ra Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki đã nêu trong phần <9> Giải: Xét tam thức bậc hai F(x) = (b1x - a1)2 + (b2x - a2)2+….+(bnx - an)2 Ta thấy f(x) F(x) =( b Do f(x) Dấu = xảy ra * Nhận xét: khi sử dụng phương pháp tam thức bậc hai để chứngminh bất đẳng thức như ví dụ 1, ví dụ 2 của <10> đã nêu ở trên thì học sinh cần biết định lí về dấu của tam thức bậc hai nhưng kiến thức đó chưa được chính thức giới thiệu ở bậc THCS nên hơi khó đối với các em. Vì thế tôi xin giới thiệu 2 ví dụ để HS tham khảo chứ không yêu cầu các em tự làm bài tập ở phần này. 11. Phương pháp đồ thị và hình học: 11.1. Phương pháp giải: Vận dụng các kiến thức hình học để chứng minh các bài toán về bất đẳng thức đại số. 11.2. Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh rằng với a, b ta có: Giải: Xét AC = Theo định lý Pi ta go ta có: BC = Trong Ví dụ 2: Cho a,b,c,d > 0 . Chứng minh rằng: OE = EF = OF = Mà OE + EF Dấu bằng xảy ra Ví dụ 3: Cho x, y là 2số thoả mãn: Giải: Gọi I(x;y) là điểm trên mặt phẳng Oxy trong đó x, y thoả mãn đề bài. Tập hợp các điểm I(x,y) là miền ặt phẳng giới hạn bởi tam giác ABC. Như vậy muốn chứng minh x2 + y2 ta cần chứng minh : OI2 Vậy OH2 = 11.3. Bài tập tương tự Bài 1: Chứngminh rằng với a > b > 0 thì Bài 2: Chứng minh rằng với x, y, z, t > 0 thì Bài 3: Chứng minh rằng: 4)Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm: -Tôi đã giới thiệu một số bài toán về chứng minh bất đẳng thức cho học sinh, trong quá trình học toán tôi thấy khi các em gặp chứng minh bất đẳng thức không còn lúng túng nữa mà biết tìm cho mình phương pháp phù hợp để giải -Từ đó học sinh quen dần với những bài chứng minh bất đẳng thức khó hơn làm tiền đề cho sự phát triển toán học III. KẾT LUẬN: -Học sinh biết được càng nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức thì khi giải các loại bài tập liên quan đến việc chứng minh bất đẳng thức có nhiều hướng suy nghĩ nên dễ tìm ra cách giải, qua đó cũng phát triển được tư duy và nâng cao được năng lực sáng tạo. -Bất đẳng thức là một chuyên đề khó , phức tạp,phong phú với nhiều phương pháp giải nhưng học sinh thường gặp phải khi giải toán.Để học sinh chọn lựa được phương pháp phù hợp thì cần phải nghiên cứu và đầu tư thời gian nhiều. |
