§8. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRƯC CỦA TAM GIÀC BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT ?1 ?2 Em hãy vẽ hình, viết giả thiết, kết luận và chứng minh tính chất : Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh này. Hướng dẫn / K Hình vẽ : / \ GT AABC cân tại A AI là đường trung trực / \ KL AI là đường trung tuyến L 1 B LI 1 A C Chứng minh : Vì AI là trung trực của tam giác ABC nên IB = IC. Vậy AI cũng là trung tuyến của tam giác ABC. Dùng thước và compa, dựng ba đường trung trực của một tam giác [xem mục 3, §7]. Em có nhận thấy ba đường này cùng đi qua một điểm không ? Hướng dan Học sinh tự dựng hình. Nhận xét : Ba đường trung trực này cùng đi qua một điểm. GIẢI BÀI TẬP 52 Chứng minh định lí : Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực ứng với cùng một cạnh thỉ tam giác đó là một tam giác cân. Giải Cho AABC có AH là đường trung tuyến và là đường trung trực của BC. Chứng minh AABC cân tại A. Do đường trung trực của BC vuông góc với BC tại trung điểm H của BC và đường trung tuyến của tam giác đồng thời là đường trung trực của cùng một cạnh BC nên A thuộc đường trung trực của BC, do đó AB = AC. Vậy AABC cân tại A. 53 Giải Ba gia đình quyết định đào chung một cái giếng [xem hình]. Phải chọn vị trí của giếng ở đâu để các khoảng cách từ giếng đến các nhà bằng nhau ? Gọi I là vị trí của giếng;. A, B, c là vị trí của ba căn nhà. Ta có : IA = IB = IC Do IA = IB nên I thuộc đường trung trực của AB IB = IC nên I thuộc đường trung trực của BC Suy ra I là giao điểm hai đường trung trực của các đoạn thẳng AB, BC. Đó là vị trí của giếng cần xác định. [Ghi chú : Ta chỉ cần xác định giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh tam giác vì theo định lí ba đường trung trực của tam giác sẽ cùng đi qua một điểm]. LUYỆN TẬP 54 Vẽ đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC trong các trường hợp sau : a] A, B, C đều nhọn. b] A = 90°. c] A > 90°. Giải Cách dựng : - Dựng đường trung trực của cạnh BC. Dựng đường trung trực của cạnh AB. Hai đường trung trực này cắt nhau tại o. - Dựng đường tròn [O; OB]. Chứng minh : Ta có : OB = oc [O thuộc đường trung trực của BC] oc = OA [O thuộc đường trung trực của AC] Suy ra : OA = OB = oc Vậy A, B, c thuộc đường tròn [0]. b] c] 55 Nhận xét : A, B, C đều nhọn, tâm đường tròn ngoại tiếp AABC nằm bên trong tam giác [hình a]. A = 90°, tâm đường tròn ngoại tiếp AABC thuộc cạnh BC [hình b]. A > 90°, tâm đường tròn ngoại tiếp AABC nằm bên ngoài tam giác [hình c]. Cho hình bên. Chứng minh ba điểm B, c, D thẳng hàng. Gợi ỷ : Chứng minh ADB + ADC = 180°. Giải Ta có DI ± AB tại trung điểm I của AB nên DI là đường trung trực của AB, suy ra DA = DB. Xét hai tam giác vuông DIB và DIA, ta có : DB = DA ■ IB = IA Do đó : ADIB = ADIA Suy ra : IDB = IDA hay ADB = 2IDA [DI1AB Mặt khác: -í À „ => KA 1 AB DI // AK mà DK 1 AK Chứng minh tương tự, ta có : ADC = 2ADK Từ đó : ẤDB + ẤDC = 2[ĨDẦ + ADK] = 2IDK Do đó : DK 1 DI hay IDK = 90° Suy ra : ADB + ADC = 2.90° = 180° hay BDC = 180° Vậy ba điểm B, D, c thẳng hàng. Sử dụng bài 55 để chứng minh rằng : Điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền của tam giác đó. Từ đó hãy tính độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông theo độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông. Giải Theo bài 55, AABC vuông tại A. Ta có DB = DA = DC, do đó D cách đều ba đỉnh của tam giác vuông ABC. Mà B, D, c thẳng hàng và DB = DC nên D là trung điểm của BC. Vậy điểm cách đều ba đỉnh của tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền của tam giác đó. Ta có AD là trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông nên : AD = DB = DC = — 2 Vậy độ dài trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông bằng nửa độ dài cạnh huyền. Có một chi tiết máy [mà đường viền ngoài là đường tròn] bị gãy [xem hình]. Làm thế nào để xác định được bán kính của đường viền này ? Giải Đặt chi tiết máy lên giấy, vẽ đường viền bên ngoài lên giấy. Xác định trên cung tròn vừa vẽ ba điểm A, B, c. Vẽ đường trung trực của AB và BC cắt nhau tại o là tâm của cung tròn. Đo độ dài đoạn thẳng OA là bán kính của đường viền chi tiết máy.
Đường trung trực là một khái niệm cơ bản trong hình học THCS. Đây là một đường cơ bản trong tam giác. Đường trung trực của một cạnh tam giác là đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với cạnh đó. Như vậy, trong một tam giác sẽ có 3 đường trung trực cơ bản. Dựa vào khái niệm trên, chúng ta có các cách chứng minh đường trung trực như sau. Ví dụ yêu cầu chứng minh d là trung trực của AB
Thông báo: Giáo án, tài liệu miễn phí, và các giải đáp sự cố khi dạy online có tại Nhóm giáo viên 4.0 mọi người tham gia để tải tài liệu, giáo án, và kinh nghiệm giáo dục nhé!
- Cách 1: Chứng minh đường thẳng a vuông góc với AB tại trung điểm
- Cách 2: Chứng minh tồn tại một điểm trên d cách đều hai A, B
- Cách 3: Sử dụng tính chất đối xứng
- Cách 4: Sử dụng các tính chất của đường cao, trung tuyến
- Cách 5: Sử dụng tính chất nối tâm của hai đường tròn cách nhau tại hai điểm
Trên đây là 5 cách để chứng minh trung trực.
Bộ tài liệu chuyên đề cực hay
Có các cách chứng minh đường trung trực rồi thì các bạn cần phải luyện tập. Bộ tài liệu dưới đây của chúng tôi là các bài tập vận dụng. Mỗi bài tập sẽ có nhiều cách chứng minh và cách giải khác nhau. Như vậy làm bài tập bằng nhiều cách khác nhau sẽ giúp các bạn linh hoạt trong làm bài. Đồng thời, đây cũng là cơ hội để hiểu rõ hơn cách làm cho từng phương pháp. Bên cạnh đó, các bạn có thể làm thêm các bài tập trong đề thi cuối kì 2 Toán 7 để tìm thêm nhiều bài tập liên quan. Chúng tôi tin rằng đây sẽ là bộ tài liệu cực đỉnh để giúp bạn học tốt chuyên đề này.
Tải tài liệu miễn phí ở đây
Tải tài liệu miễn phí ở đây
Tải tài liệu miễn phí ở đây
Tài liệu tiếp tục được cập nhật
Sưu tầm: Trần Thị Nhung
1.
$\Delta $ABC có $\widehat{A}=90^{\circ}$. Lấy M là trung điểm cạnh BC.
Ta chứng minh được MA = MB = MC = $\frac{1}{2}$BC
MA = MB nên M nằm trên đường trung trực của AB
MA = MC nên M nằm trên đường trung trực của AC
MC = MB nên M nằm trên đường trung trực của BC
Vậy M là giao điểm của ba đường trung trực của $\Delta $ABC
2.
a] Xét $\Delta $AOP có: Ox là đường trung trực của AP nên OA = OP
$\Delta $AOP cân tại O $\Rightarrow $ OI vừa là đường trung trực vừa là đường phân giác của $\widehat{O}$
$\Rightarrow \widehat{O_{1}}=\widehat{O_{2}}$
Tương tự:
Xét $\Delta $BOP có: Oy là đường trung trực của BP nên OB = OP
$\Delta $AOP cân tại O $\Rightarrow $ OE vừa là đường trung trực vừa là đường phân giác của $\widehat{O}$
$\Rightarrow \widehat{O_{3}}=\widehat{O_{4}}$
$\Rightarrow $ $\widehat{O_{1}}+\widehat{O_{4}}=\widehat{O_{2}}+\widehat{O_{3}}$
Mà $\widehat{O_{2}}+\widehat{O_{3}}=90^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{O_{1}}+\widehat{O_{4}}+\widehat{O_{2}}+\widehat{O_{3}}=180^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{AOB}=180^{\circ}$ hay A, O, B thẳng hàng.
b] Theo câu a ta có:
$\Delta $AOP cân tại O nên $\widehat{A}=\widehat{P_{1}}$
$\Delta $BOP cân tại O nên $\widehat{B}=\widehat{P_{2}}$
$\Rightarrow \widehat{A}+\widehat{B}=\widehat{P_{1}}+\widehat{P_{2}}$
Do A, O, B thẳng hàng nên AB là một cạnh của $\Delta $APB
Từ đó $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{P_{1}}+\widehat{P_{2}}=180^{\circ}$
$\Leftrightarrow \widehat{A}+\widehat{B}=\widehat{P_{1}}+\widehat{P_{2}}=90^{\circ}$
Vậy $\Delta $BAP vuông tai P có O là trung điểm cạnh huyền AB.
Từ đó ta chứng minh được O là trung điểm ba đường trung trực của $\Delta $APB [theo bài 1]
3.
a] Xét $\Delta $AEF có :
$\widehat{E}=\widehat{A_{1}}$ [2 góc đồng vị]
$\widehat{F}=\widehat{A_{2}}$ [2 góc so le trong]
Mà $\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}\Rightarrow \widehat{E}=\widehat{F}$
$\Rightarrow $ $\Delta $AEF cân tại A.
b] Gọi K là giao điểm của EH với đường trung trực của EF.
$\Delta $AEF cân tại A nên AK vừa là đường trung trực, vừa là đường phân giác của góc $\widehat{EAF}$.
Mà $\widehat{BAC}$ và $\widehat{CAF}$ là hai góc kề bù có AI và AK là hai đường phân giác nên AI $\perp $ AK.
c] $\Delta $ABC cố định nên đường phân giác AI cố định, AK $\perp $ AI nên AI cũng cố định. Điểm H chuyển động trên IC thì $\Delta $EAF luôn cân tại A nên đường trung trực qua A cố định.
4.
Xét $\Delta $AKH và $\Delta $BKC1 là hai tam giác vuông có:
AK = KB
KH = KC1
$\Rightarrow $ $\Delta $AKH = $\Delta $BKC1 [hai cạnh góc vuông]
$\Rightarrow $ AH = BC1 [1]
Và $\widehat{A_{1}}=\widehat{B_{1}}\Rightarrow $ AH // BC1 [có hai góc so le trong bằng nhau] [2]
Xét $\Delta $AHI và $\Delta $CB1I là hai tam giác vuông có:
HI = IB
AI = IC
$\Rightarrow $ $\Delta $AHI = $\Delta $CB1I [3]
Và $\widehat{A_{2}}=\widehat{C_{1}}\Rightarrow $ AH // B1C [4]
Từ [1] và [3] $\Rightarrow $ BC1 // CB1
Từ [2] và [4] $\Rightarrow $ BC1 = CB1 = AH
Tương tự ta có AC1 // A1C; A1B // AB1
AC1 = A1C = BH; A1B // AB1 = CH
Mà H là giao điểm ba đường trung trực của $\Delta $ABC nên AH = BH = CH
Do đó BC1 = B1C = AC1 = A1C = AB1 = A1B
b] Xét $\Delta $C1AB1 và $\Delta $CA1B là hai tam giác cân, ta có:
C1A = CA1
AB1 = BA1
$\widehat{C_{1}AB_{1}}=\widehat{CA_{1}B}$
$\Rightarrow $ $\Delta $C1AB1 = $\Delta $CA1B [c.g.c]
$\Rightarrow $ BC = B1C1
Tương tự ta có: AC = A1C1
AB = A1B1
Do đó $\Delta $ABC = $\Delta $A1B1C1 [c.c.c]