| $ \alpha $ | $0^0$ | I | $90^0$ | II | $180^0$ |
| sin $ \alpha $ | 0 | + | 1 | + | 0 |
| cos $ \alpha $ | 1 | + | 0 | – | -1 |
| tan $ \alpha $ | 0 | + | || | – | 0 |
| cot $ \alpha $ | || | + | 0 | + | || |
Ví dụ
Ví dụ : Cho $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$ . Xác định dấu của giá trị lượng giác sau :
cos $\left[ {\alpha – \frac{\pi }{2}} \right]$
Giải
$\begin{array}{l}
\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\\ \Rightarrow \pi - \frac{\pi }{2} < \alpha - \frac{\pi }{2} < \frac{{3\pi }}{2} - \frac{\pi }{2}\\ \Rightarrow \frac{\pi }{2} < \alpha - \frac{\pi }{2} < \pi \\ \Rightarrow - 1 < \cos \left[ {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right] < 0
\end{array}$
Lưu ý: $\pi = {180^0}$
Bài tập thực hành
Cho $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$ . Xác định dấu của giá trị lượng giác sau :
a] sin $\left[ {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right]$
b] tan $\left[ {\frac{{3\pi }}{2} – \alpha } \right]$
c] cot$\left[ {\alpha + \pi } \right]$
DẠNG 2. Chứng minh các hằng đẳng thức lượng giác.
Ví dụ
Cho ${{{90}^0} < \alpha < {{180}^0}}$. CMR:
$\frac{{1 + {{\sin }^4}\alpha – {{\cos }^4}\alpha }}{{1 – {{\sin }^6}\alpha – {{\cos }^6}\alpha }} = \frac{2}{{3{{\cos }^2}\alpha }}$
GiảiDo: ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$
Ta có:
$\begin{array}{*{20}{l}} {VT = \frac{{1 + \left[ {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right]\left[ {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right]}}{{1 – \left[ {{{\left[ {{{\sin }^2}\alpha } \right]}^3} + {{\left[ {{{\cos }^2}\alpha } \right]}^3}} \right]}}}\\ \begin{array}{l} = \frac{{1 + \left[ {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right]}}{{1 – \left[ {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right]\left[ {{{\sin }^4}\alpha – {{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha + {{\cos }^4}\alpha } \right]}}\\ = = \frac{{1 – {{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha }}{{1 – \left[ {{{\left[ {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right]}^2} – 3{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha } \right]}} \end{array}\\ { = \frac{{2{{\sin }^2}\alpha }}{{1 – \left[ {1 – 3{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha } \right]}}}\\ { = \frac{{2{{\sin }^2}\alpha }}{{3{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }}}\\ { = \frac{2}{{3{{\cos }^2}\alpha }} = VP}
\end{array}$
Ví dụ 2
Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
\[B=2[sin^6x+cos^6x]-3[sin^4x+cos^4x]\].
Giải
Ta có: $B=2[sin^6x+cos^6x]-3[sin^4x+cos^4x]$
$ =2[sin^2x+cos^2x][sin^4x-sin^2xcos^2x+cos^4x]-3[sin^4x+2sin^2xcos^2x+cos^4x-2sin^2xcos^2x]$
$=2[sin^4x+2sin^2xcos^2x+cos^4x-3sin^2xcos^2x]-3[1-2sin^2xcos^2x]$
$=2[1-3sin^2xcos^2x]-3[1-2sin^2xcos^2x]$
$=-1$
Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của góc x
Dạng 3. Tính giá trị biểu thức lượng giác
Ví dụ
Tính giá trị của biểu thức: $A = \frac{{11tan\alpha – 5cot\alpha }}{{34tan\alpha + 2cot\alpha }}$ biết \[sin\alpha=\frac{1}{4}\].
Giải
Ta có: $A = \frac{{11tan\alpha – 5cot\alpha }}{{34tan\alpha + 2cot\alpha }}$
$ = \frac{{11\frac{{sin\alpha }}{{cos\alpha }} – 5\frac{{cos\alpha }}{{sin\alpha }}}}{{34\frac{{sin\alpha }}{{cos\alpha }} + 2\frac{{cos\alpha }}{{sin\alpha }}}}$
$ = \frac{{11si{n^2}\alpha – 5co{s^2}\alpha }}{{34si{n^2}\alpha + 2co{s^2}\alpha }}$
$ = \frac{{16si{n^2}\alpha – 5}}{{36si{n^2}\alpha + 2}}$$ = \frac{{16.{{[0,25]}^2} – 5}}{{32.{{[0,25]}^2} + 2}} = – 1$
Bài tập thực hành
Bài 1. Áp dụng công thức lượng giác cơ bản. CMR:
$a]\text{ }{{\left[ sinx\text{ }+\text{ }cosx \right]}^{2}}=\text{ }1\text{ }+\text{ }2sinx.cosx$
$b]\text{ }{{\left[ sinx\text{ }\text{ }cosx \right]}^{2}}=\text{ }1\text{ }\text{ }2sinx.cosx$
$c]\text{ }si{{n}^{4}}x\text{ }+\text{ }co{{s}^{4}}x\text{ }=\text{ }1\text{ }\text{ }2si{{n}^{2}}x\text{ }co{{s}^{2}}x$
$d]\text{ }sinxcosx\left[ 1\text{ }+\text{ }\tan x \right]\left[ 1\text{ }+\text{ }cotx \right]\text{ }=\text{ }1\text{ }+\text{ }2sinx\text{ }.\text{ }cosx$ .
Bài 2. Áp dụng công thức lượng giác cơ bản. Chứng minh các đẳng thức sau:
a] $\frac{1}{1+\tan \alpha }+\frac{1}{1+\cot \alpha }=1$
b] $si{{n}^{4}}x\text{ }\text{ }co{{s}^{4}}x\text{ }=\text{ }2si{{n}^{2}}x\text{ }\text{ }1$
c] $\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}+\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}={{\tan }^{2}}x\text{ }+\text{ }co{{t}^{2}}x\text{ }+\text{ }2$
d] $\frac{1+{{\sin }^{2}}\alpha }{1-{{\sin }^{2}}\alpha }=1+2{{\tan }^{2}}\alpha $
e] $co{{s}^{2}}\alpha \text{ }\text{ }co{{s}^{2}}b=\text{ }si{{n}^{2}}b-\text{ }si{{n}^{2}}\alpha \text{ }=\frac{1}{1+{{\tan }^{2}}\alpha }+\frac{1}{1+{{\tan }^{2}}\beta }$.
DẠNG 3. Cho một giá trị LG, tính các giá trị lượng giác còn lại.
Ví dụ
Biết rằng ${{{90}^0} < \alpha < {{180}^0}}$ và sinα = 0,6. Tính cosα và tanα.
Giải
Do: ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$
$ \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 – {\sin ^2}\alpha = 1 – {[0,6]^2} = 0,64$
$ \Rightarrow \cos \alpha = \pm 0,8$
Do: ${90^0} < \alpha < {180^0}$
$ \Rightarrow \cos \alpha = – 0,8$
*$\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{0,6}}{{0,8}} = \frac{2}{3}$
Bài tập thực hành
Bài 1. Tính
- Biết rằng $\left[ {{90}^{0}}