Bài tập phương trình vi phân cấp 1 phân ly năm 2024

1. Định nghĩa 1 (Khái niệm và phân loại):

Phương trình vi phân là 1 phương trình chứa biến độc lập x, hàm cần tìm y = f (x) và các

đạo hàm các cấp của nó. Nói cách khác, một phương trình chứa đạo hàm hoặc vi phân

của hàm cần tìm được gọi là phương trình vi phân.

Nếu phương trình có hàm số phải tìm là hàm 1 biến số thì phương trình đó được

gọi là phương trình vi phân thường.

Ví dụ:

2 2 3

( ) . ( ) 0; 0;( ) .y x x y x d y xydx y x y sinx

  

     

là những phương trình vi phân

thường.

Nếu phương trình chứa hàm nhiều biến z và các biến số của nó cùng với các đạo

hàm riêng của z được gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng.

Ví dụ:

2 2

2 2

. . ;

z z z z z

x y

x y x y y

    

  

    

là những phương trình đạo hàm riêng

Ghi chú: Trong học phần Giải tích 2, ta chỉ xét phương trình vi phân thường (gọi tắt

phương trình vi phân (ptvp)), còn với phương trình vi phân đạo hàm riêng (gọi tắt

phương trình đạo hàm riêng (ptđhr)) sẽ được nghiên cứu ở những học phần sau. Nhiều

chuyên ngành chỉ học ptvp mà không học ptđhr.

Quy ước: từ đây khi nói ptvp ta ngầm hiểu đó là ptvp thường.

2. Định nghĩa 2 (phân nhóm ptvp):

Cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong ptvp được gọi là cấp của ptvp đó.

Ví dụ:

2 3 5 2

( ) 5( ) 1;( ) ( ) 1y y y y y y

   

     

có mặt đạo hàm cấp 2 nên được gọi là ptvp

cấp 2.

2 3 5

( ) 4 5 0y xy y

  

được xếp vào nhóm ptvp cấp 1.

Tổng quát: ptvp cấp n là phương trình có dạng

( )

( , , ,..., ) 0

n

F x y y y



3. Định nghĩa 3: (Nghiệm của ptvp):

Nghiệm hay tích phân của ptvp là mọi hàm số y \= f (x) mà khi thay vào pt sẽ biến phương

trình thành đồng nhất thức.