1. Định nghĩa 1 [Khái niệm và phân loại]:
Phương trình vi phân là 1 phương trình chứa biến độc lập x, hàm cần tìm y = f [x] và các
đạo hàm các cấp của nó. Nói cách khác, một phương trình chứa đạo hàm hoặc vi phân
của hàm cần tìm được gọi là phương trình vi phân.
Nếu phương trình có hàm số phải tìm là hàm 1 biến số thì phương trình đó được
gọi là phương trình vi phân thường.
Ví dụ:
2 2 3
[ ] . [ ] 0; 0;[ ] .y x x y x d y xydx y x y sinx
là những phương trình vi phân
thường.
Nếu phương trình chứa hàm nhiều biến z và các biến số của nó cùng với các đạo
hàm riêng của z được gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng.
Ví dụ:
2 2
2 2
. . ;
z z z z z
x y
x y x y y
là những phương trình đạo hàm riêng
Ghi chú: Trong học phần Giải tích 2, ta chỉ xét phương trình vi phân thường [gọi tắt
phương trình vi phân [ptvp]], còn với phương trình vi phân đạo hàm riêng [gọi tắt
phương trình đạo hàm riêng [ptđhr]] sẽ được nghiên cứu ở những học phần sau. Nhiều
chuyên ngành chỉ học ptvp mà không học ptđhr.
Quy ước: từ đây khi nói ptvp ta ngầm hiểu đó là ptvp thường.
2. Định nghĩa 2 [phân nhóm ptvp]:
Cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong ptvp được gọi là cấp của ptvp đó.
Ví dụ:
2 3 5 2
[ ] 5[ ] 1;[ ] [ ] 1y y y y y y
có mặt đạo hàm cấp 2 nên được gọi là ptvp
cấp 2.
2 3 5
[ ] 4 5 0y xy y
được xếp vào nhóm ptvp cấp 1.
Tổng quát: ptvp cấp n là phương trình có dạng
[ ]
[ , , ,..., ] 0
n
F x y y y
3. Định nghĩa 3: [Nghiệm của ptvp]:
Nghiệm hay tích phân của ptvp là mọi hàm số y \= f [x] mà khi thay vào pt sẽ biến phương
trình thành đồng nhất thức.