Bài tập sgk toán 12 giải tích trang 82 năm 2024

1. \({1 \over 2}\left( {{a^\alpha } + {a^{ - \alpha }}} \right) = 1\,\,\left( {a > 0} \right);\)

2. \({3^{\left| \alpha \right|}} < 27.\)

Giải

1. \({1 \over 2}\left( {{a^\alpha } + {a^{ - \alpha }}} \right) = 1 \Leftrightarrow {a^\alpha } + {a^{ - \alpha }} - 2 = 0 \)

\(\Leftrightarrow {\left( {{a^{{\alpha \over 2}}} - {a^{ - {\alpha \over 2}}}} \right)^{2} = 0 \Leftrightarrow {a}{{\alpha \over 2}}} = {a^{ - {\alpha \over 2}}}\)(*)

- Nếu \(a \ne \,1\) thì (*) \( \Leftrightarrow {\alpha \over 2} = - {\alpha \over 2} \Leftrightarrow \alpha = 0\)

- Nếu \(a = 1\) thì (*) \( \Leftrightarrow \alpha \) là số thực tùy ý.

2. \({3^{\left| \alpha \right|}} < 27 \Leftrightarrow {3^{\left| \alpha \right|}} < {3^3} \Leftrightarrow \left| \alpha \right| < 3 \Leftrightarrow - 3 < \alpha < 3.\)

Bài 21 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Giải các phương trình sau bằng cách đặt \(t = \root 4 \of x \):

1. \(\sqrt x + \root 4 \of x = 2;\)

2. \(\sqrt x - 3\root 4 \of x + 2 = 0\).

Giải

1. Điều kiện \(x \ge 0\) Đặt \(t = \root 4 \of x \left( {t \ge 0} \right)\), ta được phương trình \({t^2} + t = 2\).

Ta có

\({t^2} + t = 2 \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 1 \hfill \cr t = - 2\text{ loại } \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \root 4 \of x = 1 \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy tập nghiệm phương trình là S =\(\left\{ 1 \right\}\)

2. Điều kiện \(x \ge 0\). Đặt \(t = \root 4 \of x \,\,\left( {t \ge 0} \right)\) ta được phương trình

\({t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 1 \hfill \cr t = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \root 4 \of x = 1 \hfill \cr \root 4 \of x = 2 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr x = 16 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(S = \left\{ {1;16} \right\}\)

Bài 22 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Giải các bất phương trình sau:

\(a){x^4} < 3;\) \(b){x^{11}} \ge 7;\)

\(c){x^{10}} > 2;\) \(d){x^3} \le 5;\)

Giải

\(a)\,\,{x^4} < 3 \Leftrightarrow \left| x \right| < \root 4 \of 3 \Leftrightarrow - \root 4 \of 3 < x < \root 4 \of 3 \).

Tập nghiệm \(S = \left( { - \root 4 \of 3 ;\root 4 \of 3 } \right)\)

\(b)\,\,{x^{11}} \ge 7 \Leftrightarrow x \ge \root {11} \of 7 ;\)

Vậy \(S = \left[ {\root {11} \of 7 ; + \infty } \right)\)

\(c)\,\,{x^{10}} > 2 \Leftrightarrow \left| x \right| > \root {10} \of 2 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x < - \root {10} \of 2 \hfill \cr x > \root {10} \of 2 \hfill \cr} \right..\)

Vậy \(S = \left( { - \infty ; - \root {10} \of 2 } \right) \cup \left( {\root {10} \of 2 ; + \infty } \right)\)

\(d)\,\,{x^3} \le 5 \Leftrightarrow x \le \root 3 \of 5 \,\,\,\text{ Vậy } S = \left( { - \infty ;\root 3 \of 5 } \right)\)

Đề bài

Cho phương trình: \({\log _3}x + {\log _9}x = 6\)

Hãy đưa các logarit ở vế trái về cùng cơ số.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng lý thuyết \({\log _{{a^n}}}b = \dfrac{1}{n}{\log _a}b\)

Lời giải chi tiết

\({\log _9}x = {\log _{3^2}}x = \dfrac{1}{2}{\log _3}x\)

Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình:

\({\log _3}x + \dfrac{1}{2}.{\log _3}x = 6\)

Loigiaihay.com

\( = {a^{ - 2\sqrt 2 }}.{\left[ {{{\left( {{a^{ - \sqrt 2 - 1}}} \right)}^{{ - 1}}} \right]}{\sqrt 2 + 1}}\)

\(= {a^{ - 2\sqrt 2 }}{\left( {{a^{\sqrt 2 + 1}}} \right)^{\sqrt 2 + 1}} \)

\( = {a^{ - 2\sqrt 2 }}.{a^{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}\)

\(= {a^{ - 2\sqrt 2 }}{a^{3 + 2\sqrt 2 }} = {a^{ - 2\sqrt 2 + 3 + 2\sqrt 2 }}\)

\(= {a^3}\)

LG b

\({\left( {{{{a^{\sqrt 3 }}} \over {{b^{\sqrt 3 - 1}}}}} \right)^{{\sqrt 3 + 1}}{{{a}{ - 1 - \sqrt 3 }}} \over {{b^{ - 2}}}};\)

Lời giải chi tiết:

\({\left( {{{{a^{\sqrt 3 }}} \over {{b^{\sqrt 3 - 1}}}}} \right)^{{\sqrt 3 + 1}}{{{a}{ - 1 - \sqrt 3 }}} \over {{b^{ - 2}}}} \)

\( = \frac{{{{\left( {{a^{\sqrt 3 }}} \right)}^{{\sqrt 3 + 1}}}}{{{{\left( {{b}{\sqrt 3 - 1}}} \right)}^{{\sqrt 3 + 1}}}}.\frac{{{a}{ - 1 - \sqrt 3 }}}}{{{b^{ - 2}}}} \)

\(= \frac{{{a^{\sqrt 3 .\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}}}{{{b^{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}}}.\frac{{{a^{ - 1 - \sqrt 3 }}}}{{{b^{ - 2}}}}\)

\(= {{{a^{3 + \sqrt 3 }}} \over {{b^2}}}.{{{a^{ - 1 - \sqrt 3 }}} \over {{b^{ - 2}}}} \)

\(= \frac{{{a^{3 + \sqrt 3 }}.{a^{ - 1 - \sqrt 3 }}}}{{{b^2}.{b^{ - 2}}}} = \frac{{{a^{3 + \sqrt 3 - 1 - \sqrt 3 }}}}{{{b^{2 - 2}}}} = \frac{{{a^2}}}{{{b^0}}}= {a^2}\)

LG c

\({{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }}} \over {{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1;\)

Lời giải chi tiết:

\({{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }}} \over {{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^{2}}} + 1 = {{{a}{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }} + {{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^{2}} \over {{{\left( {{a}{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }} + {a^{2\sqrt 2 }} - 2{a^{\sqrt 2 }}.{b^{\sqrt 3 }} + {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}}\)

\( = {{2{a^{2\sqrt 2 }} - 2{a^{\sqrt 2 }}{b^{\sqrt 3 }}} \over {{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} \)

\(= {{2{a^{\sqrt 2 }}\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)} \over {{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}}\)

\(= {{2{a^{\sqrt 2 }}} \over {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}\)

LG d

\(\sqrt {{{\left( {{x^\pi } + {y^\pi }} \right)}^{2} - {{\left( {{4}{{1 \over \pi }}}xy} \right)}^\pi }} \)