Bất đẳng thức cosi thường dùng ở những dạng nào năm 2024
|
Bất đẳng thức Côsi là một trong những bất đẳng thức cổ điển. Tên chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, nhiều người gọi là bất đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của Arithmetic mean và GM là viết tắt của Geometric mean). Do nhà toán học người Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), người đã đưa ra một cách chừng mình đặc sắc nên nhiều người hay gọi là bất đẳng thức Cauchy. Show
Nó ứng dụng rất nhiều trong các bài Toán về bất đẳng thức và cực trị. Trong phạm vi chương trình Toán THCS, chúng ta quan tâm đến các trường hợp riêng của bất đẳng thức Cauchy. 1. Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Cosia. Dạng tổng quát bất đẳng thức cosiCho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực không âm ta có: Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực dương ta có: b) Các bất đẳng thức côsi đặc biệtc) Một số bất đẳng thức được suy ra từ bất đẳng thức Cauchyd) Chú ý khi sử dụng bất đẳng thức AM – GM
Đối với hai số:
Đối với ba số: $abc\le \frac{{{a}{3}}+{{b}{3}}+{{c}{3}}}{3},\,\,abc\le {{\left( \frac{a+b+c}{3} \right)}{3}}$ 2. Các dạng bài tậpDạng 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsiVí dụ: Cho a, b là số dương thỏa mãn a2 + b2 = 2. Chứng minh rằng ${{\left( a+b \right)}{5}}\ge 16ab\sqrt{\left( 1+{{a}{2}} \right)\left( 1+{{b}^{2}} \right)}$ Lời giải Dạng 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp
Ví dụ: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn 2a + 4b + 3c2 = 68. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = a2 + b2 + c3. Ngay từ bậc Tiểu học, chúng ta đã được làm quen với trung bình cộng và trung bình nhân rồi phải không nào? Và khi càng học cao hơn, chúng ta sẽ nhận thấy các bất đẳng thức còn được sử dụng với nhiều dạng khác nhau. Trong đó được sử dụng nhiều nhất có lẽ chính là bất đằng thức Cosi. Vậy bất đẳng thức Cosi được định nghĩa như thế nào? Làm thế nào để chứng minh được bất đẳng thức Cosi? Có những kỹ thuật nào sử dụng bất đẳng thức Cosi để chứng minh các bất đẳng thức khác hay không?… Mọi thắc mắc của các bạn liên quan đến bất đẳng thức Cosi sẽ được chúng tôi giải đáp ngay trong bài viết dưới đây. Hãy cùng theo dõi nhé! Khái niệm bất đẳng thức CosiTrong toán học, bất đẳng thức Cosi là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau: Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau. Với n số thực không âm Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: Bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âmDấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b Bất đẳng thức Cosi cho 3 số không âmDấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Bất đẳng thức Cosi cho 4 số không âmDấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d 1. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực a, b không âmTa thấy với a = 0 hoặc b = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Vì vậy, chúng ta chỉ chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số dương mà thôi.
2. Chứng minh bất đẳng thức cosi với 3 số thực a, b, c không âmVới a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0 thì bất đẳng thức luon đúng. Vì thế, chúng ta chỉ chứng minh bất đẳng thức cosi với 3 số dương mà thôi. Đặt: Suy ra: Suy ra: Bất đẳng thức được quy về: Dấu “=” xảy ra khi x = y = z tương đương a = b = c. 3. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số thực a, b, c, d không âmVới a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0 hoặc d = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Vì thế chúng ta cũng chỉ chứng minh bất đẳng thức cosi với 4 số dương mà thôi. Thay:
4. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực không âmChứng minh bất đẳng thức Cosi với n số dương n=2 thì bất đẳng thức đúng. Nếu bất đẳng thức đúng với n số thì nó cũng đúng với 2n số. Ta có thể chứng minh đơn giản vì: Theo quy nạp thì bất đẳng thức đúng với n là một lũy thừa của 2. Mặt khác giả sử bất đẳng thức đúng với n số thì ta cũng chứng minh được nó đúng với n – 1 số như sau: Theo bất đẳng thức cosi cho n số: Chọn: Đây chính là bất đẳng thức cosi (n-1) số. Như vậy ta có đpcm. Những quy tắc chung trong chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức cosi
Ví dụ sử dụng bất đẳng thức Cosi để chứng minh bất đẳng thức khácCác bạn có thể tham khảo ví dụ dưới đây nhé. Ví dụ 1: Cho hai số thực không âm a, b. Chứng minh (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab. Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số thực không âm ta có: Đẳng thức xảy ra <=> a = b = 1. Ví dụ 2: Cho a, b > 0. Chứng minh: Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số thực không âm ta có: Đẳng thức xảy ra <=> a = b. Như vậy, trên đây là những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Cosi mà itqnu.vn đã chia sẻ với các bạn. Hy vọng rằng những kiến thức này sẽ phần nào giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập của mình nhé. Chúc các bạn thành công! Khoảng cách giữa 2 đường thẳng là một trong những mảng kiến thức quan trọng mà các bạn cần đặc biệt chú ý. Nhất là những thí sinh đang ôn… Đường trung tuyến là một trong những nội dung rất quan trọng trong hình học. Hiểu rõ về đường trung tuyến sẽ giúp các bạn có thể áp dụng giải… Xin chào các bạn! Đối với những người làm kỹ thuật thì ký hiệu Ø là một ký hiệu đã quá quen thuộc và được sử dụng thường ngày rồi… Bước vào chương trình học của lớp 2 bậc Tiểu học, các em học sinh sẽ được tiếp cận với bảng cửu chương để phục vụ cho việc tính toán… Bảng đơn vị đo khối lượng là kiến thức không xạ lạ gì với nhiều đối tượng học sinh. Đây là một kiến thức căn bản sẽ phục vụ nhiều… Hình tròn là một trong những hình khối cơ bản hiện nay. Bài viết dưới đây sẽ đề cập đến bạn đọc về định nghĩa, công thức tính diện tích… |
