Câu 66. Cho các số 23, 45, 714, 815, 2300, 2369, 13110, 25555, 4123458. Trong các số đó:
a] Số nào chia hết cho 2?
b] Số nào chia hết cho 5?
c] Số nào chia hết cho 2, nhưng không chia hết cho 5?
d] Số nào chia hết cho 5, nhưng không chia hết cho 2?
Trả lời:
a] Các số chia hết cho 2 là 714, 2300, 13110, 4123458.
b] Các số chia hết cho 5 là 45, 815, 2300, 13110, 25555
c] Các số chia hết cho 2, nhưng không chia hết cho 5 là 714, 4123458.
d] Các số chia hết cho 5, nhưng không chia hết cho 2 là 45, 815, 25555
Câu 67. Tìm chữ số x để số $\overline{5x80}$ thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
a] Chia hết cho 2
b] Chia hết cho 5
c] Chia hết cho cả 2 và 5
Trả lời:
Số $\overline{5x80}$ có tận cùng bằng 0 nên luôn chia hết cho cả 2 và 5.
Vậy với mọi số tự nhiên x < 10 thì $\overline{5x80}$ chia hết cho 2, chia hết cho 5 và chia hết cho cả 2 và 5.
Câu 68. Tìm chữ số x để số $\overline{x987}$ thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
a] Chia hết cho 2
b] Chia hết cho 5
Trả lời:
Vì số $\overline{x987}$ có tận cùng là 7 nên $\overline{x987}$ không chia hết cho 2; không chia hết cho 5 với mọi chữ số x.
Vậy không tìm được chữ số x thỏa mãn.
Câu 69. Tìm chữ số x để số $\overline{2345x8}$ thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
a] Chia hết cho 4
b] Chia hết cho 8
Trả lời:
a] Ta có: $\overline{2345x8}$ = 234508 + 10x
Có: 234508 chia hết cho 4 nên để $\overline{2345x8}$ chia hết cho 4 thì 10x chia hết cho 4
Do đó x $\in $ {0; 2; 4; 6; 8}
b] $\overline{2345x8}$ = 234504 + 4 + 10x
Có 234504 chia hết cho 8 nên để $\overline{2345x8}$ chia hết cho 8 thì 10x + 4 chia hết cho 8
Do đó x $\in $ {2; 6}
Câu 70. Từ các chữ số 0, 5, 7, hãy viết tất cả các số có ba chữ số khác nhau sao cho:
a] Các số đó chia hết cho 2
b] Các số đó chia hết cho 5
c] Các số đó chia hết cho 5, nhưng không chia hết cho 2
d] Các số đó chia hết cho cả 2 và 5
Trả lời:
Tất cả các số có ba chữ số khác nhau được viết từ các chữ số 0, 5, 7 và:
a] Chia hết cho 2 là: 570; 750
b] Chia hết cho 5 là: 570; 705; 750
c] Chia hết cho 5, nhưng không chia hết cho 2 là: 705
d] Chia hết cho cả 2 và 5 là: 570; 750
Câu 71. Không tính các giá trị biểu thức, hãy giải thích tại sao mỗi biểu thức sau chia hết cho 2:
a] A = 1234 + 42312 + 5436 + 10988
b] B = 2335 + 983333 + 3142311 + 5437
c] C = 11 + 22 + 33 + ... + 88 + 99 + 2021
d] D = 8.51.633.445 - 777.888 + 2020
Trả lời:
a] A = 1234 + 42312 + 5436 + 10988
A là tổng của các số hạng chia hết cho 2 nên A chia hết cho 2
b] B = 2335 + 983333 + 3142311 + 5437
B là tổng của 4 số lẻ nên B chia hết cho 2
c] C = 11 + 22 + 33 + ... + 88 + 99 + 2021
= [11 + 33 + 55 + 77 + 99 + 2021] + [22 + 44 + 66]
Có 11 + 33 + 55 + 77 + 99 + 2021 là tổng của 6 số lẻ nên chia hết cho 2
22 + 44 + 66 là tổng của 3 số chẵn nên chia hết cho 2
Vậy C chia hết cho 2
d] D = 8.51.633.445 - 777.888 + 2020
Có 8.51.633.445 chia hết cho 2 do 8 chia hết cho 2
777.888 chia hết cho 2 do 888 chia hết cho 2
2020 là số chẵn nên chia hết cho 2
Do đó D chia hết cho 2
Câu 72. Tìm số tự nhiên có ba chữ số giống nhau, biết rằng số đó không chia hết cho 2, nhưng chia hết cho 5
Trả lời:
Nhận xét : Một số không chia hết cho 2 nhưng chia hết cho 5 thì có tận cùng là 5.
Mà số cần tìm có 3 chữ số giống nhau nên số cần tìm là 555
Câu 73. a] Có bao nhiêu số có hai chữ số chia cho 5 dư 4?
b] Có bao nhiêu số có ba chữ số chia cho 2 và cho 5 có cùng số dư?
c] Từ 1 đến 555 có bao nhiêu số chia hết cho 2?
d] Từ 500 đến 1000 có bao nhiêu số chia hết cho 5?
Trả lời:
a] Các số có hai chữ số chia cho 5 dư 4 là: 14; 19; 24; ...; 94; 99
Vậy số các số có hai chữ số chia cho 5 dư 4 là:
[99 - 14] : 5 + 1 = 18 [số]
b] Một số chia cho 2 sẽ có số dư là 0 hoặc 1; chia cho 5 sẽ có số dư là 0, 1, 2, 3, 4.
Do đó một số chia cho 2 và 5 có cùng số dư thì số đó phải chia hết cho cả 2 và 5 hoặc chia cho 2 và 5 có số dư cùng là 1.
+] Số đó chia hết cho cả 2 và 5 thì các số đó là: 100; 110; 120; ...; 980; 990
Có: [990 - 100] : 10 + 1 = 90 [số]
+] Số đó chia cho cả 2 và 5 có cùng số dư là: 101; 111; 121; ...; 991
Có : [991 - 101] : 10 + 1 = 90 [số]
Vậy số các số có ba chữ số chia cho 2 và 5 có cùng số dư là:
90 + 90 = 180 [số]
c] Số các số chia hết cho 2 từ 1 đến 555 là: [554 - 2] : 2 + 1 = 277 [số]
d] Số các số chia hết cho 5 từ 500 đến 1000 là: [1000 - 500] : 5 + 1 = 101 [số]
Câu 74. Một cửa hàng mĩ phẩm miễn thuế ở sân bay có khuyến mãi như sau: Khách cứ mua 10 hộp mĩ phẩm thì được tặng 1 hộp. Mỗi hộp có giá 53 USD. Công ty A mua 48 hộp mĩ phẩm ở cửa hàng đó. Hỏi số USD công ty A phải trả để mua 48 mĩ phẩm trên có chia hết cho 5 không? Vì sao?
Trả lời:
Vì khách mua 10 hộp mĩ phẩm thì được tặng 1 hộp nên nếu mua 40 hộp thì được tặng 4 hộp.
Do đó khi mua 48 hộp thì số tiền chỉ phải trả cho 44 hộp.
Số tiền công ty A phải trả là: 44 x 53 = 2332 [USD]
Do 2332 không chia hết cho 5 nên số USD công ty A phải trả không chia hết cho 5.
Câu 75. Chứng tỏ rằng:
a] Tổng của 2020 số lẻ bất kì luôn chia hết cho 2
b] $11^{11}$ + $22^{22}$ + $33^{33}$ + $44^{44}$ + $55^{55}$ không chia hết cho 2.
c] 2 + $2^{2}$ + $2^{3}$ + ... + $2^{59}$ + $2^{60}$ + $2^{61}$ chia hết cho 5.
Trả lời:
a] Tổng của 2020 số lẻ bất kì luôn là 1 số chẵn nên chia hết cho 2
b] Tích của các số lẻ luôn là một số lẻ nên $11^{11}$; $33^{33}$; $55^{55}$ là các số lẻ do đó tổng $11^{11}$ + $33^{33}$ + $55^{55}$ là một số lẻ
Tích của các số chẵn luôn là một số chẵn nên $22^{22}$; $44^{44}$ là các số chẵn do đó tổng $22^{22}$ + $44^{44}$ là một số chẵn
Vậy tổng $11^{11}$ + $22^{22}$ + $33^{33}$ + $44^{44}$ + $55^{55}$ là một số lẻ và không chia hết cho 2.
c] Ta có:
2 + $2^{2}$ + $2^{3}$ + ... + $2^{59}$ + $2^{60}$ + $2^{61}$
= [2 + $2^{2}$ + $2^{3}$ + $2^{4}$] + [$2^{5}$ + $2^{6}$ + $2^{7}$ + $2^{8}$] + ... [$2^{57}$ + $2^{58}$ + $2^{59}$ + $2^{60}$]
= 2.[1 + $2^{1}$ + $2^{2}$ + $2^{3}$] + $2^{5}$.[1 + $2^{1}$ + $2^{2}$ + $2^{3}$] + ... + $2^{57}$.[1 + $2^{1}$ + $2^{2}$ + $2^{3}$]
= 2.15 + $2^{5}$.15 + ... + $2^{57}$.15
= 15.[2 + $2^{5}$ + ... + $2^{57}]
Do 15 chia hết cho 5 nên 15.[2 + $2^{5}$ + ... + $2^{57}] chia hết cho 5
Vậy 2 + $2^{2}$ + $2^{3}$ + ... + $2^{59}$ + $2^{60}$ + $2^{61}$ chia hết cho 5.
Câu 76. Bạn Duyên sử dụng các khối lập phương để xếp hình. Các hình bạn Duyên xếp được qua các lần được biểu diễn như dưới đây:
Hỏi số khối lập phương bạn Duyên dùng cho lần sếp hình thứ 100 có chia hết cho cả 2 và 5 không?
Trả lời:
Dựa vào những lần xếp các khối lập phương của bạn Duyên ta thấy số khối lập phương dùng cho lần 1, lần 2, lần 3, ..., lần 100 lần lượt là:
1
1 + 2
1 + 2 + 3
1 + 2 + 3 + 4
...
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100
Số khối lập phương bạn Duyên dùng cho lần xếp hình thứ 100 là:
[1 + 100].100 : 2 = 5050 [khối lập phương]
Ta thấy 5050 chia hết cho cả 2 và 5 nên số khối lập phương bạn Duyên dùng cho lần xếp hình thứ 100 chia hết cho cả 2 và 5.
- Các số tận cùng bằng 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2
Hoặc: Các số chẵn thì chia hết cho 2
- Các số không tận cùng bằng 0, 2, 4, 6, 8 thì không chia hết cho 2
Hoặc: Các số lẻ thì không chia hết cho 2
Dấu hiệu chia hết cho 5
- Các số có tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5
- Các số không tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì không chia hết cho 5
- Các số tận cùng bằng 0 vừa chia hết cho 2 và 5 đồng thời chia hết cho 10
- Các số không tận cùng bằng 0 thì không thể vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5 và không chia hết cho 10.
Dấu hiếu chia hết cho 9
- Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9
Ví dụ: số 27540 chia hết cho 9 vì 2 + 7 + 5 + 4 + 0 = 18 mà 18 chia hết cho 9
- Các số có tổng các chữ số không chia hết cho 9 thì không chia hết cho 9, đồng thời tổng này chia cho 9 dư bao nhiêu thì số đó chia cho 9 cũng dư bấy nhiêu.
Ví dụ: Số 54643 không chia hết cho 9 vì 5 + 4 + 6 + 4 + 3 = 22 mà 22 không chia hết cho 9
Và 22 : 9 = 2 dư 4 nên số 54643 : 9 = 6071 dư 4
Dấu hiệu chia hết cho 3
- Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3
Ví dụ: Số 711 chia hết cho 3 vì 7 + 1 + 1 = 9 mà 9 chia hết cho 3
- Các số có tổng các chữ số không chia hết cho 3 thì không chia hết cho 3, đồng thời tổng này chia cho 3 dư bao nhiêu thì số đó chia cho 3 cũng dư bấy nhiêu
Ví dụ: 3251 không chia hết cho 3 vì 3 + 2 + 5 + 1 = 11 mà 11 : 3 = 3 dư 2.
Nên số 3251 : 3 = 1083 dư 2
- Một số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 thì chia hết cho 6
Ví dụ: 132 chia hết cho 6 vì 132 chia hết cho 2 và 132 chia hết cho 3
- Một số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 9 thì chia hết cho 18
Ví dụ: 1116 chia hết cho 18 vì 1116 chia hết cho 2 và 1116 chia hết cho 9
- Một số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3
Dấu hiệu chia hết cho 4
- Một số chia hết cho 4 khi hai chữ số cuối cùng là một số chia hết cho 4
Ví dụ: 1112 chia hết cho 4 vì 12 chia hết cho 4
Dấu hiệu chia hết cho 8
- Một số chia hết cho 8 khi 3 chữ số cuối cùng là một số chia hết cho 8
Ví dụ: 13048 chia hết cho 8 vì 048 chia hết cho 8
- Thương của hai số lẻ là số lẻ.
Lẻ : lẻ = lẻ
- Thương của một số chẵn với một số lẻ là số chẵn.
Chẵn : lẻ = chẵn
- Số lẻ không chia hết cho số chẵn
- Một tổng chia hết cho một số khi mọi số hạng của tổng đều chia hết cho số đó
- Một hiệu chia hết cho một số nếu số bị trừ và số trừ đều chia hết cho số đó
- Một tích chia hết cho một số nếu trong tích đó có ít nhất một thừa số chia hết
B – MỘT SỐ BÀI TOÁN
Bài toán 1: Cho số 7653. Không làm phép chia, hãy cho biết số đó có chia hết cho 9 hay không? Nếu số đó không chia hết cho 9 thì dư bao nhiêu?
Bài giải:
Tổng các chữ số của số đó là:
7 + 6 + 5 + 3 = 21
Vì 21 không chia hết cho 9 nên số đã cho không chia hết cho 9
Vì 21 không chia hết cho 9 = 2 dư 3 nên số đã cho chia 9 dư 3
Trả lời: 7653 không chia hết cho 9
7653 chia 9 dư 3
Bài toán 2: Cho số 454. Không làm phép chia, hay cho biết số 454 có chia hết cho 6 không ?
Bài giải:
Số 454 chia hết cho 2 vì là số chẵn
Tổng các chữ số của số đã cho là:
4 + 5 + 4 = 13
Mà 13 không chia hết cho 3 nên 454 không chia hết cho 3
Số 454 chia hết cho 2 mà không chia hết cho 3 nên 454 không chia hết cho 6
Bài toán 3. Cho số 2141*. Hãy thay chữ số * sao cho số đó chia hết cho 6. Có mấy cách thay ?
Bài giải:
- Một số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 thì chia hết cho 6. Vậy phải thay dấu * bằng chữ số nào đó để số 2141* vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3
- Một số có hàng đơn vị là 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2. Vậy để có số 2141* chia hết cho 2 ta có thể thay dấu * bằng một trong 5 chữ số 0, 2, 4, 6, 8 [1]
- Một số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3.
Mà 2 + 1 + 4 + 1 = 8 và 8 : 3 = 2 dư 2. Vậy có thể thay dấu * bằng một trong các chữ số 1, 4, 7 thì được số chia hết cho 3.
- Kết hợp [1] và [2] ta thấy dấu * chỉ có thể thay bằng chữ số 4 vì 21414 chia hết cho 2 và
21414 chia hết cho 3
Trả lời: Thay bằng chữ số 4 và có một cách thay
Bài toán 4: Có bao nhiêu số có 2 chữ số chia hết cho 5
Giải: Các số có 2 chữ số chia hết cho 5 là: 10, 15, 20, …., 95
Vậy có: [95 – 10] : 5 + 1 = 18 [số có 2 chữ số chia hết cho 5]
CÁC BÀI LUYỆN TẬP:
Bài 1. Có bao nhiêu số có 2 chữ số chia hết cho 2?
Bài 2. Có bao nhiêu số có 2 chữ số chia hết cho 3?
Bài 3. Có bao nhiêu số có 3 chữ số chia hết cho 9?
Bài 4. Cho số 3*46. Hãy thay dấu * bằng chữ số để được số chia hết cho 3
Bài 5. Cho số 4*59. Hãy thay dấu * bằng chữ số để được số chia hết cho 9. Có mấy cách thay?
Bài 6. Cho số 53*4. Hãy thay dấu * bằng chữ số để được số chia hết cho 6. Có mấy cách thay?
Bài 7. Có bao nhiêu số có 2 chữ số chia hết cho 6
Bài 8. Cho số 466*. Hãy thay dấu * bằng chữ số để được số chia hết cho 6. Có mấy cách thay?
Bài 9. Bạn Hiền nói: “ Một số có hàng chục là lẻ thì hàng đơn vị phải là 2 hoặc 6 thì số đó mới chia hết cho 4. Còn nếu hàng chục là chẵn thì hàng đơn vị phải là 0; 4 hoặc 8 thì số đó chia hết cho 4”.
Bạn Hiền nói đúng hay sai?
Bài 10. Bạn Giỏi nói: “Một số có hàng trăm là chẵn thì nếu số gồm 2 chữ số cuối cùng của số đó chia hết cho 8 thì số đó chia hết cho 8”.