Các bài toán giải hệ phương trình lớp 10

1. Ta có \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 4}\\7&{ - 9}\end{array}} \right| = - 17\), \({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 4}\\8&{ - 9}\end{array}} \right| = 5,\,\,{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&3\\7&8\end{array}} \right| = 19\)

Suy ra hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right) = \left( { - \frac{5}{{17}}; - \frac{{19}}{{17}}} \right)\)

2. Ta có \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\5&{ - 4}\end{array}} \right| = - 13\), \({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{11}&1\\8&{ - 4}\end{array}} \right| = - 52,\,\,{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{11}\\5&8\end{array}} \right| = - 39\)

Suy ra hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right) = \left( {4;3} \right)\)

Ví dụ 2:

Giải các hệ phương trình sau:

1. \(\left\{ \begin{array}{l}(x + 3)y - 5) = xy\\(x - 2)(y + 5) = xy\end{array} \right.\)

2. \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x - y} \right| = \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right.\)

3. \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3(x + y)}}{{x - y}} = - 7\\\frac{{5x - y}}{{y - x}} = \frac{5}{3}\end{array} \right.\)

Hướng dẫn:

1. Hệ phương trình tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}xy - 5x + 3y - 15 = xy\\xy + 5x - 2y - 10 = xy\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5x + 3y = 15}\\{5x - 2y = 10}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 25}\\{5x - 2y = 10}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 12}\\{y = 25}\end{array}} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {12;25} \right)\)

2. Hệ phương trình tương đương với\(\left\{ \begin{array}{l}x - y = \pm \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right.\) (1) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = - \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right.\) (2)

Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 - \sqrt 2 }\\{y = - 1 - 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 - \sqrt 2 }\\{y = - 1 + 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( { - 1 - \sqrt 2 ; - 1 - 2\sqrt 2 } \right)\) và \(\left( { - 1 - \sqrt 2 ; - 1 + 2\sqrt 2 } \right)\)

3. ĐKXĐ: \(x \ne y\)

Hệ phương trình tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}3(x + y) = - 7\left( {x - y} \right)\\3\left( {5x - y} \right) = 5\left( {y - x} \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{10x - 4y = 0}\\{20x - 8y = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 0}\end{array}} \right.\) (không thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

DẠNG TOÁN 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Phương pháp giải:

Sử dụng định thức: Tính \(D,\,{D_x},\,{D_y}\)

\( \bullet \) Nếu \(D \ne 0\) thì hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right)\)

\( \bullet \) Nếu \(D = 0\) thì ta xét \({D_x},\,{D_y}\)

Với \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{D_x} \ne 0}\\{{D_y} \ne 0}\end{array}} \right.\) khi đó phương trình vô nghiệm

Với \({D_x} = {D_y} = 0\) thì hệ phương trình có vô số nghiệm tập nghiệm của hệ phương trình là tập nghiệm của một trong hai phương trình có trong hệ.

Ví dụ:

Giải và biện luận hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}mx - y = 2m\\4x - my = m + 6\end{array} \right.\)

Hướng dẫn:

Ta có \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{ - 1}\\4&{ - m}\end{array}} \right| = 4 - {m^2} = \left( {2 - m} \right)\left( {2 + m} \right)\)

\({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2m}&{ - 1}\\{m + 6}&{ - m}\end{array}} \right| = - 2{m^2} + m + 6 = \left( {2 - m} \right)\left( {2m + 3} \right)\) \({D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{2m}\\4&{m + 6}\end{array}} \right| = {m^2} - 2m = m\left( {m - 2} \right)\)

• Với \({\rm{D}} \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 2}\\{m \ne - 2}\end{array}} \right.\): Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right) = \left( {\frac{{2m + 3}}{{2 + m}}; - \frac{m}{{2m + 1}}} \right)\)
• Với \({\rm{D = }}0 \Leftrightarrow m = \pm 2\):

+ Khi \(m = 2\) ta có \({\rm{D}} = {D_x} = {D_y} = 0\) nên hệ phương trình có nghiệm là nghiệm của phương trình \(2x - y = 4 \Leftrightarrow y = 2x - 4\). Do đó hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {t;2t - 4} \right),\,\,t \in R\).

+ Khi \(m = - 2\) ta có \(D = 0,\,{D_x} \ne 0\) nên hệ phương trình vô nghiệm

Kết luận

\(m \ne 2\) và \(m \ne - 2\) hệ phương trình có nghiệm duy nhất\(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{2m + 3}}{{2 + m}}; - \frac{m}{{2m + 1}}} \right)\)

\(m = 2\)hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {t;2t - 4} \right),\,\,t \in R\).