Đề bài
Cho hai hình thang \[ABCD\] và \[ABEF\] có chung đáy lớn \[AB\] và không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a] Tìm giao tuyến của các mặt phắng sau: \[[AEC]\] và \[[BFD]\], \[[BCE]\] và \[[ADF]\].
b] Lấy \[M\] là điểm thuộc \[DF\]. Tìm giao điểm của đường thẳng \[AM\] với mặt phẳng \[[BCE]\].
c] Chứng minh hai đường thẳng \[AC\] và \[BF\] không cắt nhau.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Tìm hai điểm chung của các mặt phẳng.
b] Tìm điểm chung của\[AM\] với mặt phẳng \[[BCE]\].
c] Sử dụng phương pháp phản chứng: Giả sử AC và BF đồng phẳng.
Lời giải chi tiết
a] Trong \[[ABCD]\], gọi \[I=AC BD \].
Do đó \[\left\{ \begin{array}{l}I \in AC \subset \left[ {AEC} \right]\\I \in BD \subset \left[ {BFD} \right]\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow I \in \left[ {AEC} \right] \cap \left[ {BFD} \right]\].
Trong \[[ ABEF]\], gọi \[J=AE BF \]
Do đó \[\left\{ \begin{array}{l}J \in AE \subset \left[ {AEC} \right]\\J \in BF \subset \left[ {BFD} \right]\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow J \in \left[ {AEC} \right] \cap \left[ {BFD} \right]\].
Vậy \[ [ACE] [BDF] = IJ\].
Trong \[\left[ {ABCD} \right]\]: gọi \[G = AD \cap BC\].
Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}G \in AD \subset \left[ {ADF} \right]\\G \in BC \subset \left[ {BCE} \right]\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow G \in \left[ {ADF} \right] \cap \left[ {BCE} \right]\].
Trong \[\left[ {ABEF} \right]\]: gọi \[H = AF \cap BE\].
Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}H \in AF \subset \left[ {ADF} \right]\\H \in BE \subset \left[ {BCE} \right]\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow H \in \left[ {ADF} \right] \cap \left[ {BCE} \right]\].
Vậy \[[BCE] [ ADF] = GH\]
b] Trong \[[AGH]\]: Gọi \[N=AM GH\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}N \in AM\\N \in GH \subset \left[ {BGH} \right] \equiv \left[ {BCE} \right]\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow N = AM \cap \left[ {BCE} \right]\]
c] Chứng minh bằng phương pháp phản chứng.
Giả sử \[AC\] và \[BF\] cùng nằm trong một mặt phẳng.
Khi đó \[BF \subset \left[ {ABCD} \right]\] hay hai mặt phẳng \[\left[ {ABCD} \right]\] và \[\left[ {ABEF} \right]\] trùng nhau [mâu thuẫn giả thiết]
Do đó: \[AC\] và \[BF\] không cắt nhau.