Đề bài
Cho hai phân số \[\displaystyle {8 \over {15}}\]và \[\displaystyle {{18} \over {35}}\]. Tìm số lớn nhất sao cho khi chia mỗi phân số này cho số đó ta được kết quả là số nguyên.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Gọi phân số lớn nhất cần tìm là\[\displaystyle {a \over b}\] \[[ƯCLN [a, b] = 1].\]
- Tìm thương của các phân số\[\displaystyle {8 \over {15}}\] và \[\displaystyle {a \over b}\] ;\[\displaystyle {{18} \over {35}}\] và\[\displaystyle {a \over b}\].
- Áp dụng tính chất : Một phân số có thể viết dưới dạng một số nguyên khi tử là bội của mẫu.
Lời giải chi tiết
Gọi phân số lớn nhất cần tìm là \[\displaystyle {a \over b}\] \[[ƯCLN [a, b] = 1].\]
Ta có:
+] \[\displaystyle {8 \over {15}}:{a \over b} = {8 \over {15}}.{b \over a} = {{8b} \over {15{\rm{a}}}}\]là số nguyên \[\displaystyle \Rightarrow8b \; \;15a.\]
\[ƯCLN [8; 15] = 1\] và \[ƯCLN [a, b] = 1\]
Suy ra \[8\; \;a\] và \[b\; \; 15.\] \[[1]\]
+] \[\displaystyle {{18} \over {35}}:{a \over b} = {{18} \over {35}}.{b \over a} = {{18.b} \over {35.a}}\]là số nguyên \[\displaystyle \Rightarrow 18b\; \;35a.\]
\[ƯCLN [8; 35] = 1\] và \[ƯCLN [a, b] = 1\]
Suy ra \[18\; \;a\] và \[b\; \;35.\] \[[2]\]
Từ \[[1]\] và \[[2]\] suy ra: \[\displaystyle a \in ƯC\left[ {8;18} \right] = \left\{ {1;2} \right\}\]
\[\displaystyle b \in BC\left[ {15;35} \right] = \left\{ {0;105;210;...} \right\}\]
Vì \[\displaystyle {a \over b}\]lớn nhất nên \[a\] lớn nhất, \[b\] nhỏ nhất khác \[0.\]
Vậy phân số cần tìm là \[\displaystyle {2 \over {105}}.\]