Đề bài
Cho hình thang \[ABCD \;[AB // CD]\]. Gọi \[M, N, P, Q\] theo thứ tự là trung điểm của \[AB, AC, CD, BD.\]
a] Chứng minh rằng \[MNPQ\] là hình bình hành.
b] Nếu \[ABCD\] là hình thang cân thì tứ giác \[MNPQ\] là hình gì? Vì sao?
c] Hình thang \[ABCD\] có thêm điều kiện gì thì \[MNPQ\] là hình vuông?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
- Tứ giác có cặp cạnh đối song song và bằng nhau thì là hình bình hành.
- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau thì là hình thoi.
Lời giải chi tiết
a]\[M, N, P, Q\] theo thứ tự là trung điểm của \[AB, AC, CD, BD\] nên \[MN\] là đường trung bình của \[\Delta ABC\]; \[QP\] là đường trung bình của \[\Delta BCD\].
Suy ra:
\[\begin{array}{l}
MN//BC;MN = \dfrac{1}{2}BC\\
QP//BC;QP = \dfrac{1}{2}BC
\end{array}\]
Xét tứ giác \[MNPQ\] có \[MN // QP\] [cùng song song với \[BC\]]; \[MN = QP = \dfrac{1}{2}BC\]
\[ MNPQ\] là hình bình hành [theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành].
b] \[M;Q\] lần lượt là trung điểm của \[AB;BD\] nên \[MQ\] là đường trung bình \[\Delta ABD\].
\[\Rightarrow MQ//AD;MQ = \dfrac{1}{2}AD\].
\[ABCD\] là hình thang cân thì \[AD=BC\] do đó\[MN = MQ = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}AD\].
Do đó hình bình hành \[MNPQ\] có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi.
c] Gọi \[E\] là giao điểm của \[AD\] và \[BC\].
Khi \[MNPQ\] là hình vuông thì \[MQ\bot MN\] hay \[BC\bot AD\].
Suy ra \[\Delta ECD\] là tam giác vuông tại \[E\].
Lại có \[MNPQ\] là hình vuông thì \[MQ=MN\] suy ra \[AD=BC,\] do đó \[ABCD\] là hình thang cân nên\[\widehat D = \widehat C\] do đó\[\Delta ECD\] là tam giác vuông cân tại \[E\].
Vậy hình thang \[ABCD\] là hình thang cân có \[\widehat D = \widehat C = {45^o}\]thì \[MNPQ\] là hình vuông.