Cho đường tròn [O ; R] và một đường thẳng d không cắt đường thẳng đó. Một điểm I thay đổi trên d. Kẻ tiếp tuyến IT tới đường tròn với T là tiếp điểm. Gọi [I] là đường tròn tâm I bán kính r=IT. Chứng minh rằng các đường tròn [I] luôn đi qua hai điểm cố định khi I thay đổi.
Đề bài
Cho đường tròn [O ; R] và một đường thẳng d không cắt đường thẳng đó. Một điểm I thay đổi trên d. Kẻ tiếp tuyến IT tới đường tròn với T là tiếp điểm. Gọi [I] là đường tròn tâm I bán kính r=IT. Chứng minh rằng các đường tròn [I] luôn đi qua hai điểm cố định khi I thay đổi.
Lời giải chi tiết
[h.139].
Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với d tại H. Hai tam giác vuông OHI và OTI có chung cạnh huyền OI, còn OH > OT=R [ vì d không cắt [O]]. Suy ra IH < IT.
Vậy đường thẳng OH cắt đường tròn [I] tại hai điểm A và B nào đó đối xứng với nhau qua d.
Ta có
Bởi vậy, nếu đặt OH=h thì \[HA = HB = \sqrt {{h^2} - {R^2}} \]. Suy ra [I] đi qua hai điểm A,B cố định.