Đề bài
Cho biểu thức : \[A = \left[ {1:\dfrac{{\sqrt {1 + x} }}{3} + \sqrt {1 - x} } \right]:\left[ {\dfrac{3}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} + 1} \right]\].
a] Rút gọn A.
b] Tính x khi \[A = \dfrac{1}{2}\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Tìm điều kiện của x để biểu thức A xác định.
+] Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi để rút gọn biểu thức.
b] Với biểu thức đã rút gọn của A, giải bất phương trình \[A = \dfrac{1}{2}.\]
+] Kết hợp với điều kiện của x để kết luận.
Lời giải chi tiết
a] Điều kiện: \[\left\{ \begin{array}{l}1 + x \ge 0\\1 - x \ge 0\\1 - {x^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\x \le 1\\ - 1 < x < 1\end{array} \right.\]\[\; \Leftrightarrow - 1 < x < 1.\]
\[\begin{array}{l}A = \left[ {1:\dfrac{{\sqrt {1 + x} }}{3} + \sqrt {1 - x} } \right]:\left[ {\dfrac{3}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} + 1} \right]\\\;\; = \left[ {\dfrac{3}{{\sqrt {1 + x} }} + \sqrt {1 - x} } \right]:\dfrac{{3 + \sqrt {1 - {x^2}} }}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\\\;\; = \dfrac{{3 + \sqrt {1 - x} .\sqrt {1 + x} }}{{\sqrt {1 + x} }}.\dfrac{{\sqrt {1 - x} .\sqrt {1 + x} }}{{3 + \sqrt {1 - {x^2}} }}\\\;\; = \dfrac{{3 + \sqrt {1 - {x^2}} }}{1}.\dfrac{{\sqrt {1 - x} }}{{3 + \sqrt {1 - {x^2}} }} \\\;\;= \sqrt {1 - x} .\end{array}\]
b] Điều kiện:\[ - 1 < x < 1.\]
\[A = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sqrt {1 - x} = \dfrac{1}{2}\]
\[\Leftrightarrow 1 - x = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{4}\;\;\left[ {tm} \right]\]
Vậy \[x = \dfrac{3}{4}\] thì \[A = \dfrac{1}{2}.\]