Đề bài - câu 6 trang 114 sách bài tập hình học 11 nâng cao

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.ABCD. Gọi \({D_1},{D_2},{D_3}\) lần lượt là điểm đối xứng của điểm D qua A, B, C. Chứng tỏ rằng B là trọng tâm của tứ diện \({D_1}{D_2}{D_3}D'\).

Lời giải chi tiết

Cách 1.

Đặt \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {b,} \,\,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow c \)

Từ giả thiết, ta có

\(\overrightarrow {B{\rm{D}}'} + \overrightarrow {B{{\rm{D}}_1}} = 2\overrightarrow {BA} = - 2\overrightarrow b \)

mà \(\overrightarrow {B{\rm{D}}'} = \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c \)

Vậy \(\overrightarrow {B{{\rm{D}}_1}} = - \overrightarrow a - \overrightarrow b - \overrightarrow {c.} \)

Lập luận tương tự như trên, ta có \(\overrightarrow {B{{\rm{D}}_2}} = \overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow c \) và \(\overrightarrow {B{{\rm{D}}_3}} = - \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \)

Vậy \(\overrightarrow {B{{\rm{D}}_1}} + \overrightarrow {B{{\rm{D}}_2}} + \overrightarrow {B{{\rm{D}}_3}} + \overrightarrow {B{\rm{D}}'} = \overrightarrow 0 \)

Điều này chứng tỏ B là trọng tâm của tứ diện \({D_1}{D_2}{D_3}D'\) .

Cách 2.

Gọi I là giao điểm của BD và mp(ABC) thì DI = 2IB.

Gọi J là giao điểm của BD với mp (D1D2D3), do D1, D2, D3là các điểm đối xứng của D lần lượt qua A, B, C nên IJ = ID hay \(D'B = {3 \over 4}D'J\).

Mặt khác I là trọng tâm tam giác ABC nên J là trọng tâm tam giác D1D2D3. Từ đó B là trọng tâm của tứ diện \({D_1}{D_2}{D_3}D'\).