- Đề bài
- LG bài 1
- LG bài 2
- LG bài 3
- LG bài 4
- LG bài 5
Đề bài
Câu 1 [2,0 điểm]:
1] Rút gọn rồi tính giá trịbiểu thức: \[[2x + y][y - 2x] + 4{x^2}\] tại \[x = - 2018\] và \[y = 10\].
2] Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
\[a]\,\,xy + 11x\\b]\,\,{x^2} + 4{y^2} + 4xy - 16\]
Câu 2 [2,0 điểm]:
1]Tìm \[x\] biết:
\[a]\,\,2{x^2} - 6x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b]\,\,[x + 3][{x^2} - 3x + 9] - x[{x^2} - 2] = 15\]
2] Tìm số nguyên \[a\] sao cho \[{x^3} + 3{x^2} - 8x + a - 2038\] chia hết cho \[x + 2\].
Câu 3 [2,0 điểm]:Rút gọn các biểu thức sau:
\[\begin{array}{l}1]\,\,\dfrac{{6x + 4}}{{3x}}:\dfrac{{2y}}{{3x}}\\2]\,\,A = \left[ {\dfrac{{x - 3}}{x} - \dfrac{x}{{x - 3}} + \dfrac{9}{{{x^2} - 3x}}} \right]:\dfrac{{2x - 2}}{x}\end{array}\]
Câu 4 [3,0 điểm]:Cho tam giác \[ABC,\,\,M,\,\,N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[AC\]. Gọi \[D\] là điểm đối xứng với điểm \[M\] qua điểm \[N\].
a] Tứ giác \[AMCD\] là hình gì? Vì sao?
Tìm điều kiện của tam giác \[ABC\] để tứ giác \[AMCD\] là hình chữ nhật.
b] Chứng minh tứ giác \[BCDM\] là hình bình hành.
Câu 5 [1,0 điểm]:
a] Cho \[x,y\] thỏa mãn \[2{x^2} + {y^2} + 9 = 6x + 2xy\]. Tính giá trị của biểu thức \[A = {x^{2017}}{y^{2018}} - {x^{2018}}{y^{2017}} + \dfrac{1}{9}xy\].
b] Cho \[2\] số \[a\] và \[b\] thỏa mãn \[\dfrac{{a + b}}{2} = 1\].Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: \[\dfrac{{2011}}{{2{a^2} + 2{b^2} + 2008}}\] .
LG bài 1
Lời giải chi tiết:
1] \[[2x + y][y - 2x] + 4{x^2} = [y + 2x][y - 2x] + 4{x^2} = {y^2} - 4{x^2} + 4{x^2} = {y^2}\]
Tại \[x = - 2018\] và \[y = 10\] thay vào biểu thức ta được: \[{10^2} = 100\].
Vậy giá trị của biểu thức \[[2x + y][y - 2x] + 4{x^2}\]với \[x = - 2018\] và \[y = 10\]là \[100\].
2] Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
\[\begin{array}{l}a]\,\,xy + 11x\, = x.[y + 11]\\b]\,\,{x^2} + 4{y^2} + 4xy - 16 \\= \left[ {{x^2} + 4xy + 4{y^2}} \right] - 16\\ = {[x + 2y]^2} - {4^2} = [x + 2y + 4][x + 2y - 4]\end{array}\]
LG bài 2
Lời giải chi tiết:
1] Tìmxbiết:
\[\begin{array}{l}a]\,\,2{x^2} - 6x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\, \Leftrightarrow \,2x[x - 3] = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\, \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right.\,\,\,\, \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right..\end{array}\]
Vậy \[x = 0\] hoặc \[x = 3\] .
\[\begin{array}{l}b]\,\,[x + 3][{x^2} - 3x + 9] - x[{x^2} - 2] = 15\,\,\\ \Leftrightarrow {x^2} + 27 - {x^3} + 2x = 15\\ \Leftrightarrow 2x + 27 = 15\\ \Leftrightarrow 2x = 15 - 27\\ \Leftrightarrow \,2x = - 12\\ \Leftrightarrow \,x = - 12:2\\ \Leftrightarrow x = - 6\end{array}\]
Vậy \[x = - 6\].
2] Thực hiện phép chia \[[{x^3} + 3{x^2} - 8x + a - 2038]:[x + 2]\]ta có:
Suy ra để \[{x^3} + 3{x^2} - 8x + a - 2038\] chia hết cho \[x + 2\] thì số dư phải bằng \[0\], hay \[a - 2018 = 0\,\, \to \Rightarrow a = 2018\].
LG bài 3
Lời giải chi tiết:
\[1]\,\,\dfrac{{6x + 4}}{{3x}}:\dfrac{{2y}}{{3x}} = \dfrac{{6x + 4}}{{3x}} \cdot \dfrac{{3x}}{{2y}} = \dfrac{{[6x + 4].3x}}{{3x.2y}} = \dfrac{{6x + 4}}{{2y}}\]
\[\begin{array}{l}2]\,\,A = \left[ {\dfrac{{x - 3}}{x} - \dfrac{x}{{x - 3}} + \dfrac{9}{{{x^2} - 3x}}} \right]:\dfrac{{2x - 2}}{x}\\\,\,\,\,\,\,A = \left[ {\dfrac{{{{[x - 3]}^2}}}{{x[x - 3]}} - \dfrac{{x.x}}{{x - 3}} + \dfrac{9}{{{x^2} - 3x}}} \right] \cdot \dfrac{x}{{2x - 2}}\\\,\,\,\,\,\,A = \left[ {\dfrac{{{{[x - 3]}^2} - {x^2} + 9}}{{x[x - 3]}}} \right] \cdot \dfrac{x}{{2[x - 1]}}\\\,\,\,\,\,\,A = \dfrac{{{x^2} - 6x + 9 - {x^2} + 9}}{{x[x - 3]}} \cdot \dfrac{x}{{2[x - 1]}}\\\,\,\,\,\,A = \dfrac{{ - 6x + 18}}{{x[x - 3]}} \cdot \dfrac{x}{{2[x - 1]}} = \dfrac{{ - 6[x - 3]x}}{{x[x - 3].2.[x - 1]}} = \dfrac{{ - 3}}{{x - 1}}\end{array}\]
LG bài 4
Lời giải chi tiết:
a] Ta có: \[3\] điểm \[M,N,D\] thẳng hàng [vì \[D\] đối xứng với \[M\] qua \[N\]]
\[AN = NC\,\,\,[gt]\]
\[MN = ND\][vì \[D\] đối xứng với \[M\] qua \[N\]]
Suy ra tứ giác \[AMCD\] có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Vậy \[AMCD\] là hình bình hành. [dhnb]
Hình bình hành \[AMCD\] là hình chữ nhật
\[ \Leftrightarrow \angle AMC = {90^0} \Leftrightarrow AB \bot CM \Leftrightarrow \Delta ABC\] cân tại \[C\]. [tính chất]
Vậy \[AMCD\] là hình chữ nhật \[ \Leftrightarrow \Delta ABC\]cân tại \[C\].
b] Vì\[M,N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[AC\]
\[ \Rightarrow \,\,MN\] là đường trung bình của \[\Delta ABC\]và \[MN\] // \[BC\].
Mặt khác \[MN = ND\,\, \Rightarrow MN + ND = BC\]
\[ \Rightarrow \,\,MD = BC\] [vì \[M,N,D\] thẳng hàng].
Mà \[MD\] // \[BC\] [do \[MN\] // \[BC\]]
\[ \Rightarrow \,\,BCDM\] là hình bình hành [vì có \[2\] cạnh đối nhau song song và bằng nhau].
LG bài 5
Lời giải chi tiết:
Câu 5:
a] Ta có:
\[\begin{array}{l}\;\;\;\;\;2{x^2} + {y^2} + 9 = 6x + 2xy\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + {y^2} + 9 - 6x - 2xy = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right] + \left[ {{x^2} - 6x + 9} \right] = 0\\ \Leftrightarrow {[x - y]^2} + {[x - 3]^2} = 0\end{array}\]
Vì \[{[x - y]^2} \ge 0\,,\,\,{[x - 3]^2} \ge 0\,\,[\forall x,y]\] nên suy ra \[{[x - y]^2} + {[x - 3]^2} \ge 0\].
Dấu \[ = \] xảy ra khi \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 3\].
\[\begin{array}{l}A = {x^{2017}}{y^{2018}} - {x^{2018}}{y^{2017}} + \dfrac{1}{9}xy = {[xy]^{2017}}[y - x] + \dfrac{1}{9}xy\\ \Rightarrow A = {[3.3]^{2017}}[3 - 3] + \dfrac{1}{9}.3.3\\ \Rightarrow A = 1\end{array}\]
Vậy giá trị của biểu thức là \[A = {x^{2017}}{y^{2018}} - {x^{2018}}{y^{2017}} + \dfrac{1}{9}xy\] là \[1\] .
b] Vì \[\dfrac{{a + b}}{2} = 1 \Rightarrow a + b = 2 \Rightarrow b = 2 - a\].
Thay \[b = 2 - a\] vào biểu thức \[2{a^2} + 2{b^2} + 2008\] ta được:
\[\begin{array}{l}2{a^2} + 2{b^2} + 2008 = 2{a^2} + 2{[2 - a]^2} + 2008\\ = 2{a^2} + 2.[4 - 4a + {a^2}] + 2008\\ = 2{a^2} + 8 - 8a + 2{a^2} + 2008\\ = 4{a^2} - 8a + 2016\\ = 4{a^2} - 8a + 4 + 2012\\ = 4{[a - 1]^2} + 2012 \ge 2012\,\,[do\,\,{[a - 1]^2} \ge 0,\,\,\forall a]\\ \Rightarrow \dfrac{{2011}}{{2{a^2} + 2{b^2} + 2008}} \le \dfrac{{2011}}{{2012}}\,\,[\forall a]\end{array}\]
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \[\dfrac{{2011}}{{2{a^2} + 2{b^2} + 2008}}\] là \[\dfrac{{2011}}{{2012}}\].
Dấu \[ = \] xảy ra khi \[a = b = 1\].
Xem thêm: Lời giải chi tiết Đề kiểm tra học kì 1 [Đề thi học kì 1] môn Toán 8 tại Tuyensinh247.com