Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp bất đẳng thức

* Cách 2. Đánh giá hai vế

Thí dụ 2: Giải phương trình: $\sqrt{1+\sqrt{2x-x^2}}+\sqrt{1-\sqrt{2x-x^2}}=2(x-1)^4(2x^2-4x+1)$ $(2)$

Thí dụ 3: Giải phương trình: $\sqrt{3x^2-1}+\sqrt{x^2-x}-x\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{2\sqrt{2}}(7x^2-x+4)$ $(3)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Forgive Yourself: 19-01-2013 - 22:05

• Zaraki, Yagami Raito, thuynguyenly và 7 người khác yêu thích

Facebook: https://www.facebook.com/ntn3004

Đã gửi 04-05-2013 - 21:00

Tiếp tục bài nữa với phương pháp mới 

Giải PT: $2\sqrt{x^{2}-x+2}-\sqrt{2\left ( x^{2} +2x\right )}= x-2$     $\left ( \ast \right )$

Giải: ĐKXĐ: $x\leq -2$ hoặc $x\geq 0$

Ta nhân  2 vế của $\left ( \ast \right )$ với liên hợp VT là $2\sqrt{x^{2}-x+2}+\sqrt{2\left ( x^{2}+2x \right )}$

Sau đó ta được phương trình $2\left ( x-2 \right )^{2}= \left ( x-2 \right )\left [ 2\sqrt{x^{2}-x+2}+\sqrt{x\left ( x^{2}+2x \right )} \right ]$

Ta xét 2 TH

$\oplus x-2=0 \Leftrightarrow x=2$

$\oplus 2\sqrt{x^{2}-x+2}+\sqrt{2\left ( x^{2}+2x \right )}= 2\left ( x-2 \right )$  $\Rightarrow$ PT vô nghiệm

Vậy PT có 1 ngiệm x=2

Đây là bài áp dụng GPT: $\sqrt{4x^{2}+5x+1}+3=2\sqrt{x^{2}-x+1}+9x$ 

Các bạn giải luon mấy câu này nha  

1)   $\left ( \sqrt{x-5}-\sqrt{x+2} \right )\left ( 1+\sqrt{x^{2}+7x+110} \right )=3$

2) $x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=2$

3) $\sqrt{x-4}+\sqrt{x^{3}+x^{2}+x+1}=1+\sqrt{x^{4}-1}$    .Câu này mình chịu

P/s: Không phải chỉ giải cách liên hợp đâu nha. Mình post vào đây luôn cho tiện

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuannguyena1: 04-05-2013 - 21:12

• Canhochoitoan và keobongon thích

Đã gửi 02-06-2013 - 21:47

2) $x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=2$

$*u=\sqrt{x+\frac{1}{4}} ; v=\sqrt{x+\frac{1}{2}+v} \rightarrow \left\{\begin{matrix} x+v=2\\ x+\frac{1}{4}=u^{2}\\ x+\frac{1}{2}+u=v^{2}\end{matrix}\right. \leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v=2-x=2\tfrac{1}{4}-u^{2}\\ u^{2}=x+\frac{1}{4}\\ v^{2}=\left ( x+\frac{1}{4} \right )+\frac{1}{4}+u=u^{2}+u+\frac{1}{4}\end{matrix}\right. \leftrightarrow 2\tfrac{1}{4}-u^{2}=u^{2}+u+\frac{1}{4}\leftrightarrow 2u^{2}+u=0 \rightarrow u=0 \left ( u\geq 0 \right ) \leftrightarrow x=-\frac{1}{4}$

Thế này đúng k?!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhieuchu: 02-06-2013 - 21:51

 PHẢI THI ĐỖ!! 

)))))  

 

 

 

 

 

 

Đã gửi 02-06-2013 - 22:53

Đây là bài áp dụng GPT: $\sqrt{4x^{2}+5x+1}+3=2\sqrt{x^{2}-x+1}+9x$ 

$PT\Leftrightarrow \sqrt{4x^{2}+5x+1}=\sqrt{4x^{2}-4x+4}+9x-3$

Đặt $\sqrt{4x^{2}+5x+1}=a\geq 0;\sqrt{4x^{2}-4x+4}=b\geq 0\Rightarrow a^{2}-b^{2}=9x-3$

Do đó ta có $a=b+a^{2}-b^{2}\Leftrightarrow (a-b)(1-a-b)=0\Leftrightarrow continue...$

Mấy câu 1,3 hình như đề sai, câu 3 đề thi HSG tỉnh Tiền Giang 2009-2010

$\sqrt{x-1}+\sqrt{x^{3}+x^{2}+x+1}=1+\sqrt{x^{4}-1}$

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !

Đã gửi 02-06-2013 - 22:58

Tiếp tục nhé ! Đây là bài mình sáng tác, mọi người xem thử nếu thấy sai chỗ nào thì cho mình  thêm ý kiến nhé ! 

Giải hệ :

$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1 & & \\ \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{4}{\sqrt[4]{8}} & & \end{matrix}\right.$

• thuynguyenly và Kir thích

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !

Đã gửi 03-06-2013 - 01:24

Tiếp tục nhé ! Đây là bài mình sáng tác, mọi người xem thử nếu thấy sai chỗ nào thì cho mình  thêm ý kiến nhé ! 

 

Giải hệ :

$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1 & & \\ \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{4}{\sqrt[4]{8}} & & \end{matrix}\right.$

Bạn có cách giải hay (bài bạn chế ra mà) thì post lên nhé!! Mình có làm ra nhưng cách làm không hay... Nghiệm: $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$

 PHẢI THI ĐỖ!! 

)))))  

 

 

 

 

 

 

Đã gửi 03-06-2013 - 10:20

Bạn có cách giải hay (bài bạn chế ra mà) thì post lên nhé!! Mình có làm ra nhưng cách làm không hay... Nghiệm: $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Hi vọng là không sai chỗ nào ! 

Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki cho phương trình đầu :$1=x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\leq \sqrt{(x^{2}+y^{2})(2-x^{2}-y^{2})}\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}+y^{2})+1\leq 0\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2}-1)^{2}\leq 0\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1$

Áp dụng BĐT $a^{4}+b^{4}\geq \frac{(a+b)^{4}}{8}$ :

$\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\geq \frac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\geq \frac{4}{\sqrt[4]{8(x^{2}+y^{2})}}=\frac{4}{\sqrt[4]{8}}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}} (x,y>0)$

Đó cũng là nghiệm của hệ đã cho

• Kir, minhhieuchu, Canhochoitoan và 1 người khác yêu thích

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !

Đã gửi 04-06-2013 - 00:26

Hi vọng là không sai chỗ nào ! 

Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki cho phương trình đầu :$1=x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\leq \sqrt{(x^{2}+y^{2})(2-x^{2}-y^{2})}\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}+y^{2})+1\leq 0\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2}-1)^{2}\leq 0\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1$

Áp dụng BĐT $a^{4}+b^{4}\geq \frac{(a+b)^{4}}{8}$ :

$\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\geq \frac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\geq \frac{4}{\sqrt[4]{8(x^{2}+y^{2})}}=\frac{4}{\sqrt[4]{8}}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}} (x,y>0)$

Đó cũng là nghiệm của hệ đã cho

Ừ nhỉ!!
Cách này hay hơn cách mình, lại đỡ vất vả hơn nữa *bài tự chế ra có khác*

• Canhochoitoan và thanhgia9a108 thích

 PHẢI THI ĐỖ!! 

)))))  

 

 

 

 

 

 

Đã gửi 05-06-2013 - 19:22

Tiếp tục nhé ! Đây là bài mình sáng tác, mọi người xem thử nếu thấy sai chỗ nào thì cho mình  thêm ý kiến nhé ! 

 

Giải hệ :

$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1 & & \\ \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{4}{\sqrt[4]{8}} & & \end{matrix}\right.$

$1=x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\leq \sqrt{(x^{2}+1-x^{2})(y^{2}+1-y^{2})}=1$

Bu-nhi-a theo 2 cặp số này có lẽ hay hơn

• Juliel, Canhochoitoan, rainbow99 và 1 người khác yêu thích

Kir - Kẻ lang thang giàu nhất thế giới

Đã gửi 05-06-2013 - 22:52

xin đóng góp 1 con phương trình vô tỉ khá hóc :

$4\sqrt{1-x^{3}}=21-25\sqrt{1-x}$

Đã gửi 12-06-2013 - 11:41

Xin được đóng góp cho topic một phương pháp: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG CÁCH ĐÁNH GIÁ

* Cách 1. Tìm một nghiệm và chứng minh đó là nghiệm duy nhất

Thí dụ 1: Giải phương trình: $\sqrt{\frac{6}{3-x}}+\sqrt{\frac{8}{2-x}}=6$ $(1)$
Lời giải : Điều kiện $x<2$ Với phương trình dạng này ta thường dự đoán nghiệm là các giá trị của $x$ mà biểu thức dưới căn nhận giá trị là một số chính phương. Nhận thấy nghiệm của $(1)$ phải lớn hơn $1$. Bằng cách thử ta thấy rằng $(1)$ có một nghiệm là $x=\frac{3}{2}$. Ta chứng minh đó là nghiệm duy nhất của $(1)$. Thật vậy: - Với $x< \frac{3}{2}$ ta có $\sqrt{\frac{6}{3-x}}<2$ và $\sqrt{\frac{8}{2-x}}<4$. Do đó $\sqrt{\frac{6}{3-x}}+\sqrt{\frac{8}{2-x}}<6$ Suy ra $(1)$ không có nghiệm trong $\left ( -\infty ;\frac{3}{2} \right )$ - Với $\frac{3}{2}6$. Suy ra $(1)$ không có nghiệm trong $\left ( \frac{3}{2};2 \right )$ Vậy PT $(1)$ có nghiệm duy nhất $x=\frac{3}{2}$ * Muốn giải phương trình bằng cách đánh giá thì điều quan trọng là phải đoán được nghiệm của nó. Để đoán nghiệm ta nên chỉ ra khoảng chứa nghiệm và xét trường hợp đặc biệt để tìm ra nghiệm trong đó.

* Cách 2. Đánh giá hai vế

Xét phương trình $f(x)=g(x)$ xác định trên $D$. Nếu $\left\{\begin{matrix} f(x)\geq m(x)\\ g(x)\leq m(x) \end{matrix}\right. \forall x\in D$ thì $f(x)=g(x)$ với $x\in D\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)=m(x)\\ g(x)=m(x) \end{matrix}\right.$ Trong cách đánh giá này ta thường dùng các bất đẳng thức quen thuộc để đánh giá hai vế. Sau đây là một thí dụ minh họa.

Thí dụ 2: Giải phương trình: $\sqrt{1+\sqrt{2x-x^2}}+\sqrt{1-\sqrt{2x-x^2}}=2(x-1)^4(2x^2-4x+1)$ $(2)$

Lời giải: Điều kiện: $0\leq x\leq 2$. Đặt $t=(x-1)^2$, ta có $0\leq t\leq 1$. PT $(2)$ trở thành $$\sqrt{1+\sqrt{1-t}}+\sqrt{1-\sqrt{1-t}}=2t^2(2t-1)$$ Nhận thấy: $2t-1\geq 0\Leftrightarrow t\geq \frac{1}{2}$ Bình phương hai vế và rút gọn ta được: $$1+\sqrt{t}=2t^4(2t-1)^2\Leftrightarrow \frac{1}{t^4}+\frac{1}{t^3\sqrt{t}}=2(2t-1)^2$$ Vì $t\leq 1$ nên $\frac{1}{t^4}+\frac{1}{t^3\sqrt{t}}\geq 2$. Từ đó suy ra $t=1\Leftrightarrow x=2$ (thỏa mãn ĐK). Vậy nghiệm của phương trình $(2)$ là $x=2$.

Thí dụ 3: Giải phương trình: $\sqrt{3x^2-1}+\sqrt{x^2-x}-x\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{2\sqrt{2}}(7x^2-x+4)$ $(3)$

Lời giải: Điều kiện là $x\geq 1$ hoặc $x\leq -\frac{1}{\sqrt{3}}$ Gọi vế trái và vế phải của $(3)$ thứ tự là $A$ và $B$. Áp dụng BĐT $Bunyakovsky$ cho hai bộ số $(1,1,-x)$ và $(\sqrt{3x^2-1},\sqrt{x^2-x},\sqrt{x^2+1})$ ta có: $$A\leq \sqrt{(x^2+2)(5x^2-x)}$$ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=-1$. Do $x\geq 1$ hoặc $x\leq -\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên $5x^2-x>0$. Áp dụng BĐT $Cauchy$ ta có: $$B=\frac{1}{2\sqrt{2}}[5x^2-x+2(x^2+2)]\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}.2\sqrt{(5x^2-x)2(x^2+2)}=\sqrt{(5x^2-x)(x^2+2)}$$ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=-1$ và $x=\frac{4}{3}$.

Vậy nghiệm của PT $(3)$ là $x=-1$

Bài 3 còn cách giải khác là ta nhân $\frac{1}{2\sqrt{2}}$ qua rồi chuyển vế biến đổi thành 3 tổng bình phương  = 0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NgADg: 12-06-2013 - 11:43

• huuphuc292, Canhochoitoan, pettyboy và 1 người khác yêu thích

Tự hào là member CQT

 

 

 

 
Trên con đường thành công , không có bước chân của kẻ lười biếng

Đã gửi 17-06-2013 - 23:19

3. Phương pháp hệ Phương pháp hệ dùng để giải phương trình vô tỉ có dạng

$\sqrt{ax+b} \ \pm \ \sqrt{cx+d} =k \ \ \ \ \ \ \ (1)$

Ta có thể thử được dễ dàng đẳng thức sau đây:

$\left ( \sqrt{ax+b} \ \pm \ \sqrt{cx+d} \right )^2=k^2=\left ( \sqrt{\dfrac{c}{a}}.\sqrt{ax+b} \ \pm \ \sqrt{\dfrac{a}{c}}.\sqrt{cx+d} \right )^2+\left ( a-c \right )\left ( \dfrac{b}{a}-\dfrac{d}{c} \right ) \ \ \ \ \ \ \ (2)$

Như vậy, việc giải $(1)$ ta được đưa đến việc giải hệ:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{ax+b} \ \pm \sqrt{cx+d}=k & & \\ \sqrt{\dfrac{c}{a}}.\sqrt{ax+b} \ \pm \ \sqrt{\dfrac{a}{c}}.\sqrt{cx+d}=l & & \end{matrix}\right.$

Ta sẽ tìm được $ax+b$ hoặc $cx+d$ và do đó sẽ xác định được $x$. Trong thức hành, khi đã quen thì việc thành lập $(2)$ khá nhanh gọn.

cho mình hỏi nếu hệ số a hoặc c có 1 số < 0 thì phải làm sao 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emhoctoan777: 17-06-2013 - 23:21

Đã gửi 26-06-2013 - 07:49

Các bạn làm đánh giá bài hệ này coi

$x\sqrt{8y-5}+y\sqrt{8x-5}=\sqrt[4]{24x^{2}+24y^{2}+96}$

$11x^{2}-6xy+3y^{2}=12-4y$

Đã gửi 12-08-2013 - 14:31

hay thật, lần trước mò mãi không ra cách giải

dich thuat | dich thuat tieng anh | Dich tieng nga sang tieng viet |