- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Tất tần tật về Mặt trụ - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Quảng cáo
1] Mặt trụ tròn xoay
+ Trong mặt phẳng [P] cho hai đường thẳng Δ và ℓ song song nhau, cách nhau một khoảng r. Khi quay mặt phẳng [P] quanh trục cố định Δ thì đường thẳng ℓ sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ.
+ Đường thẳng Δ được gọi là trục.
+ Đường thẳng ℓ được gọi là đường sinh.
+ Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ.
2] Hình trụ tròn xoay
+ Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúcABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ.
+ Đường thẳng AB được gọi là trục.
+ Đoạn thẳng CD được gọi là đường sinh.
+ Độ dài đoạn thẳng AB = CD = h được gọi là chiều cao của hình trụ.
+ Hình tròn tâm A, bán kính r = AD và hình tròn tâm B, bán kính r = BC được gọi là 2 đáy của hình trụ.
+ Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ.
Quảng cáo
3] Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ
Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r, khi đó:
+ Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2πrh
+ Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp = Sxq + Sđ = 2πrh + 2πr2
+ Thể tích khối trụ: V = πr2 h
4] Tính chất:
- Nếu cắt mặt trụ tròn xoay [có bán kính là r] bởi một mặt phẳng [α] vuông góc với trục Δ thì ta được đường tròn có tâm trên Δ và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó.
- Nếu cắt mặt trụ tròn xoay [có bán kính là r] bởi một mặt phẳng [α] không vuông góc với trục Δ nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng
- Cho mặt phẳng [α] song song với trục Δ của mặt trụ tròn xoay và cách Δ một khoảng k.
+ Nếu k < r thì mặt phẳng [α] cắt mặt trụ theo hai đường sinh thì thiết diện là hình chữ nhật.
+ Nếu k = r thì mặt phẳng [α] tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.
+ Nếu k > r thì mặt phẳng [α] không cắt mặt trụ.
Quảng cáo
Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r, khi đó:
+ Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2πrh
+ Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp = Sxq + Sđ = 2πrh + 2πr2
+ Thể tích khối trụ: V = πr2 h
Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5 cm, chiều cao h = 7cm. Tính Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ.
Hướng dẫn:
Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2πrh = 2π.5.7 = 70π
Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp = 2πrh + 2πr2 = 70π+2π.52 = 120π
Thể tích khối trụ: V= πr2 h = 2π.52.7 = 350π
Bài 2:
a] Một hình trụ [T] có diện tích toàn phần là 120π [cm2] và có bán kính đáy bằng 6 cm. Tính chiều cao của [T]
b] Một hình trụ [T] có thể tích bằng 81π [cm3] và đường sinh gấp ba lần bán kính đáy. Độ dài đường sinh của [T] là:
Hướng dẫn:
a] Ta có:
Stp = 2πrh + 2πr2 = 2π.6.h + 2π.62 = 120π
⇒ h = 4[cm]
Vậy chiều cao của hình trụ là 4 cm.
b] Gọi bán kính đáy của hình trụ là r
Do đường sinh của hình trụ bằng chiều cao nên chiều cao của hình trụ là 3r
Ta có: V = πr2 h = πr2.3r = 81π ⇒ r = 3
Vậy độ dài đường sinh là 3.3 = 9 cm.
Bài 3: Hình trụ [T] được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB. Biết AC = a√2 và ∠[ACB]=45^ordm;. Tính diện tích toàn phần Stp của hình trụ [T]
Hướng dẫn:
Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB ta được hình trụ có bán kính đáy BC, đường cao AB
∆ABC vuông cân tại B có AC = a√2 ⇒ AB = BC = a.
Stp = 2πrh+2πr2 = 2π.a.a+2πa2 = 4πa2
Bài 4: Một hình tứ diện đều ABCD cạnh a. Xét hình trụ có 1 đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và có chiều cao bằng chiều cao hình tứ diện. Tính thể tích của hình trụ đó
Hướng dẫn:
Gọi O là tâm của ∆ABC đều cạnh a, M là trung điểm của BC
Xét tam giác SAO vuông tại O có:
Khi đó, hình trụ có
Thể tích của hình trụ là:
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
hinh-tru.jsp
• Cắt mặt trụ [T] trục Δ, bán kính R bởi hai mặt phẳng [P] và [P’] cùng vuông góc với Δ, ta được giao tuyến là hai đường tròn [C] và [C'].
• Phần của mặt trụ [T] nằm giữa [P] và [P'] cùng với hai hình tròn xác định bởi [C] và [C'] gọi là hình trụ.
• Hai dường tròn [C] và [C'] gọi là hai đường tròn đáy của hình trụ.
• OO' gọi là trục của hình trụ.
• Độ dài OO' gọi là chiều cao của hình trụ.
• Phần giữa hai đáy gọi là mặt xung quanh của hình trụ.
• Phần của đường sinh của mặt trụ [T] nằm trên mặt xung quanh của hình trụ gọi là đường sinh của hình trụ [trên hình vẽ bên là đoạn MM']
2. Nhận xét
• Các đường sinh của hình trụ đều bằng nhau và bằng với trục của hình trụ
• Các thiết diện qua trục của hình trụ là các hình chữ nhật bằng nhau, có hai kích thước là h, 2R.
• Thiết diện vuông góc với trục của hình trụ là một hình tròn bằng hình tròn đáy.
• Nếu một điểm M di động trên một đường tròn [C] cố định thì M thuộc một mặt trụ cố định [T] chứa [C] và có trục vuông góc α.
3. Khối trụ
• Hình trụ cùng với phần bên trong nó được gọi là khối trụ.
4. Diện tích hình trụ và thể tích khối trụ
• Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính R và chiều cao h là ${{S}_{xq}}=2\pi Rh$
• Diện tích xung quanh của hình trụ là ${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+2\times {{S}_{\tilde{n}}}=2\pi Rh+2\pi {{R}^{2}}$
• Thể tích của khối trụ là $V=\pi {{R}^{2}}h$
Khối trụ hay hình trụ tròn là một trong những hình học không gian thông dụng và được ứng dụng nhiều đời sống hàng ngày. Bạn có thể tìm thấy hình trụ ở khắp mọi nơi trong cuộc sống. Tuy nhiên bạn đã thực sự hiểu được bản chất và những khái niệm liên quan tới hình học quen thuộc này chưa? Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu về hình trụ tròn và các công thức tính liên quan tới thể tích hình trụ trong bài viết dưới đây của chúng tôi nhé!
Hình trụ tròn là một dạng đặc biệt của hình trụ cơ bán với hai đáy là hai đường tròn có bán kính bằng nhau. Hình này còn được là hình trụ thẳng tròn xoay hay khối trụ.
Hình trụ tròn được tạo nên khi chúng ta di chuyển hình chữ nhật quay tròn quanh một cạnh cố định.
Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD, ta cố định cạnh AB và cho hình chữ nhật xoay quay trục cố định CD. Chúng ta có hình trụ tròn được hình thành nhờ:
- Hai cạnh AD và BC quét quanh hai tâm A, B tạo thành hai hình tròn có vai trò là đáy của hình trụ tròn. Hai hình tròn này có bán kính bằng nhau và thuộc hai mặt phẳng song song với nhau.
- Cạnh CD quét nên mặt xung quanh của hình trụ tròn với một vị trí của cạnh CD sẽ được gọi là một đường sinh. Các đường sinh này sẽ có tính chất vuông góc với hai mặt phẳng đáy của hình trụ tròn.
- Độ cao của hình trụ tương ứng với độ dài của trục AB hoặc độ dài của đường sinh CD
Bạn có thể hình dung rõ hơn về các khái niệm trong hình vẽ minh họa dưới đây
Trong đó:
AB là trục của hình trụ tròn
CD là đường sinh của hình trụ tròn
Đường cao của hình trụ tròn có độ dài h = AB = CD
Đáy trên là đường tròn tâm A với bán kính r = AD
Đáy dưới là đường tròn tâm B với bán kính r = BC
Khối trụ chính là phần không gian bị giới hạn bởi hình trụ tròn và bao gồm cả hình trụ tròn.
Diện tích hình trụ tròn
Một hình trụ tròn có hai diện tích bao gồm diện tích xung quanh và diện tích toàn phần
Diện tích xung quanh của hình trụ tròn
Diện tích xung quanh của hình trụ tròn được xác định bao gồm diện tích mặt xung quanh được tạo bởi tập hợp các đường sinh. Diện tích này sẽ không bao gồm hai đáy hình tròn của khối trụ.
Công thức tính
Bạn có thể tính được diện tích xung quanh của hình trụ tròn bằng công thức sau:
Sxung quanh=2.r.h
Trong đó:
Sxung quanh là diện tích xung quanh của hình trụ tròn
r là bán kính của hình trụ
h là chiều cao, khoảng cách giữa 2 mặt đáy của hình trụ
Diện tích toàn phần của hình trụ tròn
Diện tích toàn phần của hình trụ tròn bao gồm toàn bộ phần diện tích bao quanh không gian của khối trụ. Dễ hiểu hơn thì diện tích toàn phần bao gồm diện tích xung quanh và cả diện tích 2 đáy của hình trụ tròn.
Công thức tính
Bạn có thể dễ dàng tính được diện tích toàn phần của mọi hình trụ tròn bằng công thức sau:
Stoàn phần= Sxung quanh+2.Sđáy
Stoàn phần= 2.r.h + 2.r2
Stoàn phần= 2.r.[r+h]
Trong đó:
Stoàn phần là diện tích toàn phần của hình trụ tròn
Sxung quanh là diện tích xung quanh của hình trụ tròn
Sđáy là diện tích đáy của hình trụ tròn
r là bán kính đáy hoặc bán kính của hình trụ tròn
h là chiều cao của hình trụ tròn
Thể tích của hình trụ tròn
Thế tích của hình trụ tròn là một khái niệm được sử dụng để chỉ toàn bộ phần không gian mà hình trụ bao quanh.
Công thức tính
Để tính được thể tích của hình trụ tròn bạn chỉ cần áp dụng công thức sau:
V = Sđáy.h
V=.r2.h
Trong đó:
V là thể tích của hình trụ tròn
r là bán kính hình trụ tròn
h là chiều cao của hình trụ tròn
Ứng dụng của hình trụ tròn trong đời sống
Hình trụ tròn được ứng dụng nhiều trong đời sống hàng ngày bởi những đặc điểm nổi bật. Một trong những ứng dụng bạn thường xuyên bắt gặp nhất chính là những lon nước có thiết kế hình trụ. Theo lý giải của nhiều chuyên gia thì hình trụ đáp ứng được nhiều đặc điểm nổi bật như chịu lực tốt khi có khả năng tối ưu hóa không gian lưu trữ tốt hơn so với những hình dạng thông dụng khác như hình cầu hay khối hộp.
Ngoài ví dụ kể trên được tạo ra bởi bàn tay của con người, bạn còn có thể bắt gặp nhiều thiết kế mang hình trụ tròn được tạo bởi mẹ thiên nhiên như những thân cây to lớn. Nhiều nhà khoa học lý giải việc thân cây có hình dáng như vậy nhờ khả năng chịu lực vô cùng tốt có thể chống chịu được khối lượng của các cành cây, tán lá và trái cây phía trên. Thiết kế hình trụ tròn này cũng giống như một cơ chế tự bảo vệ khỏi các tác nhân có hại đến từ môi trường không quanh như gặm nhấm hay gió bão.
Chính vì những đặc điểm này mà hiện nay có rất nhiều cấu trúc được thiết kế mô phỏng hình dạng trụ tròn như các tháp nước, đường ống nước, ống khói,…
Hy vọng bài viết trên đây của chúng tôi đã giúp bạn hiểu hơn về hình trụ tròn cùng các khái niệm liên quan tới hình học không gian thú vị này. Nếu bạn muốn đọc thêm những kiến thức toán học tương tự, đừng quên truy cập website của chúng tôi thường xuyên để không bỏ lỡ những bài viết mới nhất nhé!
Xem thêm: