Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng là bài tập gây nhiều khó khăn cho phần đông học sinh. Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày chi tiết để các bạn học sinh học theo và hiểu được phương pháp tìm giao điểm từ đó phục vụ cho việc học ngày một tốt hơn.
Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng là tìm các điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng
Trường hợp ta tìm giao điểm của a với một đường thẳng b nào đó nằm trong [P].
Trương hớpn không thấy đường thẳng b, ta thực hiện theo các bước sau:
1. Tìm một mp [Q] chứa a.2. Tìm giao tuyến b của [P] và [Q].
3. Gọi: A = a ∩ b thì: A = a ∩ [P].
Chú ý: Hai đường thẳng cắt nhau thuộc 1 mặt phẳng.
Bài tập minh họa tìm giao điểm
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB, AD với AI = 1/2 IB và AJ = 3/2 JD. Tìm giao điểm của đường thẳng IJ với mặt phẳng [BCD].
Bài giải
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J và K lần lượt là các điểm trên các cạnh AB, BC và CD sao cho AI= 1/3 AB ; BJ = 2/3 BC ; CK = 4/5 CD. Tìm giao điểm của mặt phẳng [IJK] với đường thẳng AD.
Bài giải
Bài tập áp dụng giao điểm đường thẳng và mặt phẳng
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho MN không song song với BC. Gọi O là một điểm nằm trong tam giác BCD.
- Tìm giao điểm của MN và [BCD]
- Tìm giao tuyến của [OMN] và [BCD]
- Mặt phẳng [OMN] cắt các đường thẳng BD và CD tại H và K. Xác định các điểm H và K
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P là các điểm lần lượt trên các cạnh AC, BC, BD.
- Tìm giao điểm của CP và [MND].
- Tìm giao điểm của AP và [MND].
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm AC, BC. Điểm K ∈ BD : KD < KB.
Tìm giao điểm của: CD và [MNK], AD và [ MNK]
Bài 4: Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên BD lấy điểm P sao cho BP=2PD
- Tìm giao điểm của đường thẳng CD với mặt phẳng[MNP]
- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng [MNP] và [ACD].
Bài 5: Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M, N lần lượt nằm trong tam giác ABC và tam giác ABD. I là điểm tuỳ ý trên CD. Tìm giao của [AB;I] và đường thẳng MN
Bài 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N là hai điểm trên AC và AD. O là điểm bên trong tamgiác BCD.
Tìm giao điểm của :
- MN và [ABO ]
- AO và [BMN ]
Bài 7: Cho tứ diện ABCD . Trên AC và AD lấy hai điểm M,N sao cho MN không song song với CD.Gọi O là điểm bên trong tam giác BCD.
- Tìm giao tuyến của [OMN ] và [BCD ]
- Tìm giao điểm của BC với [OMN]
- Tìm giao điểm của BD với [OMN]
Bài 8: Cho tứ diện SABC .Gọi D là điểm trên SA , E là điểm trên SB và F là điểm trên AC [ DE và AB không song song ]
- Xđ giao tuyến của hai mp [DEF] và [ ABC ]
- Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng [ DEF ]
- Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng [ DEF ]
Bài 9: Cho bốn điểm A, B , C, S không cùng ở trong một mặt phẳng . Gọi I, H lần lượt là trung điểm của SA, AB .Trên SC lấy điểm K sao cho : CK = 3KS. Tìm giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng [ IHK ]
Bài 10: Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm AB, BC; P ∈ BD : PB = 2PD. Tìm giao điểm của: AC và [MNP], BD và [MNP]
Bài 11: Cho tứ diện ABCD có M ∈ AC, N ∈ AD và P nằm bên trong tam giác BCD. Tìm giao điểm:
- CD và [ ABP]
- MN và [ ABP]
- AP và [BMN]
Published on Mar 12, 2020
Du Trần
Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng và một số ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.
1. Phương pháp tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Để giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $[α]$, ta thực hiện theo các bước sau:
+ Tìm mặt phẳng $[β]$ chứa đường thẳng $d.$
+ Xác định giao tuyến $c$ của hai mặt phẳng $[α]$ và $[β]$ [Xem thêm: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng].
+ Tìm giao điểm $A$ của hai đường thẳng $d$ và $c$, khi đó $A$ chính là giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $[α].$
2. Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tứ giác $ABCD$ có $AB$ không song song với $CD$. Gọi $S$ là điểm nằm ngoài mặt phẳng $[ABCD]$, $M$ là trung điểm của $SC$. Tìm giao điểm $N$ của đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $[MAB].$
Trên mặt phẳng $[SAC]$, gọi $I = AM ∩ SO.$ Xét mặt phẳng $[SBD]$ chứa $SD.$ Ta có $[SBD] ∩ [MAB] = BI.$
Trên mặt phẳng $[SBD]$, gọi $N = BI ∩ SD$ thì $N = SD ∩ [MAB].$
Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD.$ Lấy hai điểm $M$, $N$ lần lượt trên $AC$ và $AD$ sao cho $MN$ không song song $CD.$ Lấy điểm $O$ bên trong $ΔBCD.$ a] Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $[OMN]$ và $[BCD].$
b] Tìm giao điểm của các đường thẳng $BC$, $BD$ với mặt phẳng $[OMN]$.
a] Trong mặt phẳng $[ACD]$ gọi $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $NM$ và $CD.$ Hiển nhiên $OI = [OMN] ∩ [BCD].$ b] Trong mặt phẳng $[BCD]$ gọi $H$, $K$ là giao điểm của $OI$ với $BC$, $BD.$ $K,H \in OI \Rightarrow K,H \in [OMN].$
Vậy $H = BC ∩ [OMN]$, $K = BD ∩ [OMN].$
Ví dụ 3: Cho hình chóp $S.ABCD$. Lấy điểm $M$ trên cạnh $SC.$ a] Tìm giao điểm của đường thẳng $AM$ và mặt phẳng $[SBD].$
b] Lấy điểm $N$ trên cạnh $BC.$ Tìm giao điểm của đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $[AMN].$
a] Xét mặt phẳng phụ $[SAC]$ chứa $AM.$ Trong mặt phẳng $[ABCD]$ gọi $O$ là giao điểm của hai đường thẳng $BD$ và $AC$ thì $SO = [SAC] ∩ [SBD].$ Trong mặt phẳng $[SAC]$ gọi $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $SO$ và $AM$ thì $I = AM ∩ [SBD].$ b] Xét mặt phẳng phụ $[SBD]$ chứa $SD.$ Trong mặt phẳng $[ABCD]$ gọi $Y$ là giao điểm của hai đường thẳng $BD$ và $AN$ thì $IY = [SBD] ∩ [AMN].$
Trong mặt phẳng $[SBD]$ gọi $K$ là giao điểm của hai đường thẳng $IY$ và $SD$ thì $K = SD ∩ [AMN].$
Ví dụ 4: Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $I$ và $K$ lần lượt là hai điểm trong của các tam giác $ABC$ và $BCD.$ Giả sử $IK$ cắt mặt phẳng $[ACD]$ tại $H.$ Tìm $H.$
Xét mặt phẳng $[BIK]$ chứa $IK.$ Trong mặt phẳng $[ABC]$: $BI$ cắt $AC$ tại $M.$ Trong mặt phẳng $[BCD]$: $BK$ cắt $CD$ tại $N$ thì $MN = [BIK] ∩ [ACD].$ Trong mặt phẳng $[BIK]$, giả sử $IK$ cắt $MN$ tại $H$ thì $H$ chính là giao điểm của $IK$ và mặt phẳng $[ACD].$ [ads]
Ví dụ 5: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm $SC.$
a] Tìm giao điểm $I$ của đường thẳng $AM$ và mặt phẳng $[SBD].$ Chứng minh $IA = 2IM.$ b] Tìm giao điểm $F$ của đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $[ABM].$ Chứng minh $F$ là trung điểm của $SD.$c] Lấy điểm $N$ tùy ý trên cạnh $AB.$ Tìm giao điểm của đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $[SBD].$
a] Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABCD.$ Trong mặt phẳng $[SAC]$, $AM$ cắt $SO$ tại $I$ thì $I$ là giao điểm của $AM$ và mặt phẳng $[SBD].$ Do $I$ là trọng tâm tam giác $ΔSAC$ nên $IA = 2IM.$ b] Xét mặt phẳng $[SBD]$ chứa $SD$ thì $BI$ là giao tuyến của mặt phẳng $[SBD]$ và mặt phẳng $[ABM].$ Trong mặt phẳng $[SBD]$, $BI$ cắt $SD$ tại $F$ thì $F = SD ∩ [ABM].$ Do $I$ cũng là trọng tâm $ΔSBD$ nên $F$ là trung điểm $SD.$ c] Xét mặt phẳng $[MAB]$ chứa $MN$ thì $BI$ là giao tuyến của mặt phẳng $[MAB]$ và mặt phẳng $[SBD].$
Trong mặt phẳng $[MAB]$, $MN$ cắt $BI$ tại $J$ thì $J$ là giao điểm của $MN$ và mặt phẳng $[SBD].$
Ví dụ 6: Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC.$ Trên đoạn $BD$ lấy điểm $K$ sao cho $BK = 2KD.$ a] Tìm giao điểm của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $[MNK].$
b] Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $[MNK]$ và $[ABD].$
a] Xét mặt phẳng $[BCD]$ chứa $CD.$ Do $NK$ không song song với $CD$ nên $NK$ cắt $CD$ tại $I.$ $I ∈ NK ⇒ I ∈ [MNK].$ Vậy $CD$ cắt $[MNK]$ tại $I.$ b] Trong mặt phẳng $[ACD]$, $MI$ cắt $AD$ tại $E.$ Ta có $K ∈ BD ⇒ K ∈ [ABD]$ và $K ∈ [MNK].$ Mặt khác: $E ∈ AD ⇒ E ∈ [ABD]$, $E ∈ MI ⇒ E ∈ [MNK].$ Vậy $EK = [MNK] ∩ [ABD].$
Lưu ý: $I ∈ NK$ nên $I ∈ [MNK].$ Do đó $MI ∈ [MNK].$
Ví dụ 7: Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $I$, $J$ là trung điểm của $AC$ và $BC.$ Trên $BD$ lấy điểm $K$ sao cho $BK = 2KD.$ a] Tìm giao điểm $E$ của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $[IJK].$ b] Tìm giao điểm $F$ của đường thẳng $AD$ và mặt phẳng $[IJK].$
c] Lấy $M$, $N$ trên $AB$, $CD$. Tìm giao điểm của đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $[IJK].$
a] Trong mặt phẳng $[BCD]$ gọi $E$ là giao điểm của $CD$ và $KJ$ thì $E = CD ∩ [IJK].$ b] Trong mặt phẳng $[ACD]$ gọi $F$ là giao điểm của $EI$ và $AD.$ $F ∈ EI ⇒ F ∈ [IJK].$ Vậy $F = AD ∩ [IJK].$ c] Trong mặt phẳng $[DAC]$ gọi $A’$ là giao điểm của $AN$ và $IF.$ Trong mặt phẳng $[DBC]$ gọi $B’$ là giao điểm của $BN$ và $KJ.$ Trong mặt phẳng $[NAB]$ gọi $P$ là giao điểm của $A’B’$ và $MN.$ Do $P ∈ A’B’$ nên $P ∈ [IJK].$
Vậy $MN ∩ [IJK] = P.$
Ví dụ 8: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy hình thang đáy lớn $AB.$ Lấy $I$, $Y$, $K$ lần lượt trên $SA$, $AB$, $BC.$ Tìm giao điểm của: a] $IK$ và $[SBD].$ b] $SD$ và $[IYK].$
c] $SC$ và $[IYK].$
a] Xét mặt phẳng $[SKA]$ chứa $KI.$ Trong $[ABDC]$ gọi $H$ là giao điểm của $AK$ và $BD$ thì $SH = [SKA] ∩ [SBD].$ Trong mặt phẳng $[SAK]$ gọi $P$ là giao điểm của $SH$ và $IK$ thì $P = IK ∩ [SBD].$ b] Xét mặt phẳng $[SAD]$ chứa $SD.$ Trong mặt phẳng $[ABCD]$ gọi $Q$ là giao điểm của $YK$ và $AD$ thì $IQ = [SAD] ∩ [IYK].$ Trong mặt phẳng $[SAD]$ gọi $M$ là giao điểm của $QI$ và $SD$ thì $M = SD ∩ [IYK].$ c] Xét mặt phẳng $[SBC]$ chứa $SC.$ Trong mặt phẳng $[SAB]$ gọi $N$ là giao điểm của $IY$ và $SB$ thì $KN = [SBC] ∩ [IYK].$
Trong mặt phẳng $[SBC]$ gọi $R$ là giao điểm của $NK$ và $SC$ thì $N = SC ∩ [IYK].$
Ví dụ 9: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$ là trung điểm $SB$, $G$ là trọng tâm tam giác $ΔSAD.$ a] Tìm giao điểm $I$ của đường thẳng $MG$ và mặt phẳng $[ABCD].$ Chứng minh $IC = 2ID.$ b] Tìm giao điểm $J$ của đường thẳng $AD$ và mặt phẳng $[OMG].$ Tính tỉ số $\frac{{JA}}{{JD}}.$
c] Tìm giao điểm $K$ của đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $[OMG].$
a] Gọi $H$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $SA.$ Trên mặt phẳng $[ABCD]$, $BH$ cắt $CD$ tại $I.$ Trên mặt phẳng $[SBH]$, $MG$ cắt $BH$ tại $I$ thì $I$ là giao điểm của $MG$ và mặt phẳng $[ABCD].$ Ta có: $I ∈ GM$ nên $I ∈ [MN, CD].$ $I ∈ BH$ nên $I ∈ [ABCD].$ Mà giao tuyến của mặt phẳng $[MN, CD]$ và mặt phẳng $[ABCD]$ là $CD$ nên $I ∈ CD.$ Do $HD$ là đường trung bình của tam giác $ΔIBC$ nên $IC = 2ID.$ b] Xét mặt phẳng $[ABCD]$ chứa $AD.$ Ta có $OI$ là giao tuyến của mặt phẳng $[OMG]$ và mặt phẳng $[ABCD].$ Trên mặt phẳng $[ABCD]$, $OI$ cắt $AD$ tại $J$ thì $J$ là giao điểm của $AD$ và mặt phẳng $[OMG].$ Tam giác $ΔAIC$ có $IO$ và $AD$ là hai đường trung tuyến nên $J$ là trọng tâm $ΔAIC.$ Vậy $\frac{{JA}}{{JD}} = 2.$ c] Xét mặt phẳng $[SDA]$ chứa $SA$ thì $GJ$ là giao tuyến của mặt phẳng $[SAD]$ và mặt phẳng $[OMG].$
Trong mặt phẳng $[SAD]$, $GJ$ cắt $SA$ tại $K$ thì $K = SA ∩ [OMG].$
3. Bài tập rèn luyện
1. Cho tứ diện $ABCD.$ Trên $AC$ và $AD$ lấy hai điểm $M$, $N$ sao cho $MN$ không song song với $CD.$ Gọi $I$ là điểm bên trong tam giác $ΔBCD.$
a] Tìm giao tuyến của $[IMN]$ và $[BCD].$
b] Tìm giao điểm của $BC$ và $BD$ với $[CMN].$
2. Cho hình chóp $S.ABCD.$ Lấy điểm $M$ trên $SC$, $N$ trên $BC$. Tìm giao điểm của: a] $AM$ và $[SBD].$
b] $SD$ và $[AMN].$
3. Cho tứ diện $ABCD.$ Lấy điểm $M$, $N$ trên $AC$, $AD$. Lấy $O$ là điểm bên trong tam giác $ΔBCD.$ Tìm giao điểm của: a] $MN$ và $[ABD].$
b] $OA$ và $[BMN].$
4. Cho tứ diện $ABCD.$ Lấy $I$, $J$ là hai điểm bên trong $ΔABC$ và $ΔABD$, $M$ là điểm trên $CD.$ Tìm giao điểm của $IJ$ và $[ABM].$
5. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $AD$ không song song với $BC$. Lấy $K$ trên đoạn $SB.$ Tìm giao điểm của: a] $BC$ và $[SAD].$
b] $SC$ và $[AKD].$
6. Cho tứ diện $S.ABC$. Gọi $I$, $H$ là trung điểm của $SA$, $AB$. Trên $SC$ lấy điểm $K$ sao cho $CK = 3KS.$ a] Tìm giao điểm của $BC$ và $[IHK].$
b] Gọi $M$ là trung điểm của $IH.$ Tìm giao điểm của $KM$ và $[ABC].$
- Kiến thức Hình học không gian