Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
Cho các hàm số: \[f[x] =x^3+ bx^2+ cx + d\] [C]
\[ g[x] = x^2 3x + 1\]
với các số \[b, c, d\] tìm được ở bài 19, hãy:
LG a
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C] tại điểm có hoành độ \[x = -1\]
Phương pháp giải:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số\[y = f\left[ x \right]\] tại điểm có hoành độ \[x=x_0\] là\[y - {y_0} = f'\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x - {x_0}} \right]\].
Lời giải chi tiết:
Ở bài 19 cho:
\[\left\{ \matrix{
b = - {1 \over 2} \hfill \cr
c = 0 \hfill \cr
d = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\]
suy ra: \[f[x] = {x^3} - {1 \over {2}}{x^2} - {3 \over 2}[C]\]
Ta có:
\[\eqalign{
& {x_0} = - 1 \Rightarrow {y_0}={[ - 1]^3} - {1 \over 2}{[ - 1]^2} - {3 \over 2} = - 3 \cr
& f'[x] = 3{x^2} - x \Rightarrow f'[-1] = 3.[-1]^2 -[- 1] = 4 \cr} \]
Vậy phương trình tiếp tuyến của [C] tại \[x_0= -1\] là:
\[y + 3 = 4[x + 1] y = 4x + 1\]
LG b
Giải phương trình\[f'\left[ {\sin x} \right] = 0\]
Phương pháp giải:
Tính \[f'[x]\] và giải phương trình.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& f'[\sin x] = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3.{\sin ^2}x - \sin x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sin x.[3.\sin x - 1] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin x = 0 \hfill \cr
\sin x = {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr
& \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi\,\, [k \in \mathbb Z] \cr
& \sin x = {1 \over 3} \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \arcsin {1 \over 3} + k2\pi \hfill \cr
x = \pi - {\rm{arcsin}}{1 \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right. \,\,[k \in \mathbb Z]\cr}\]
LG c
Tìm\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f''\left[ {\sin 5x} \right] + 1}}{{g'\left[ {\sin 3x} \right] + 3}}\]
Phương pháp giải:
Tính\[f''\left[ {\sin 5x} \right];\,\,g'\left[ {\sin 3x} \right]\], sử dụng giới hạn\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1\]
Lời giải chi tiết:
Tìm\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f''\left[ {\sin 5x} \right] + 1}}{{g'\left[ {\sin 3x} \right] + 3}}\]
Ta có:
\[f'[x] = 6x 1 f [\sin 5x] = 6.\sin 5x 1\]
\[g[x] = 2x 3 g[\sin 3x] = 2.\sin 3x 3\]
Vậy:
\[\eqalign{
& {{f''[\sin 5x] + 1} \over {g'[\sin 3x] + 3}} \cr &= \dfrac{{6\sin 5x - 1 + 1}}{{2\sin 3x - 3 + 3}}\cr &= {{6.\sin 5x} \over {2.\sin 3x}}\cr & = 5.{{\sin 5x} \over {5x}}.{{3x} \over {\sin 3x}} \cr
& \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f''[\sin 5x] + 1} \over {g'[\sin 3x] + 3}} \cr
& = 5.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin 5x} \over {5x}}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}{{{3x} \over {\sin 3x}}} \cr &= 5.1.1 = 5 \cr} \]