Đề bài
Cho hình thang \[ABCD\] vuông tại \[A\] và \[B\], có \[AD = 2a, AB = BC = a\]. Trên tia \[Ax\] vuông góc với mặt phẳng \[[ABCD]\] lấy một điểm \[S\]. Gọi \[C',D'\]lần lượt là hình chiếu vuông góc của \[A\] trên \[SC\] và \[SD\] . Chứng minh rằng :
a] \[\widehat {SBC} = \widehat {SC{\rm{D}}} = {90^0}\]
b] \[AD, AC\] và \[AB\] cùng nằm trên một mặt phẳng.
c] Chứng minh rằng đường thẳng \[CD\] luôn luôn đi qua một điểm cố định khi \[S\] di động trên tia Ax.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Chứng minh\[BC \bot \left[ {SAB} \right];\,\,CD \bot \left[ {SCD} \right]\].
b] Chứng minh cả ba đường thẳng \[AB;AC';AD'\] cùng vuông góc với \[SD\], từ đó kết luận chúng cùng thuộc mặt phẳng đi qua A và vuông góc với \[SD\].
c] Chứng minh ba đường thẳng CD, AB, C'D' đồng quy dựa vào tính chất: Giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt thì đồng quy hoặc đôi một song song.
Lời giải chi tiết
a] Ta có: \[SA \bot \left[ {ABCD} \right] \Rightarrow SA \bot BC\]
\[\left. \matrix{SA \bot BC \hfill \cr AB \bot BC \hfill \cr} \right\} \Rightarrow SB \bot BC\] [định lí 3 đường vuông góc] \[ \Rightarrow \widehat {SBC} = {90^0}\]
\[ \Rightarrow \Delta SBC\] vuông tại \[B\].
Gọi \[M\] là trung điểm của \[AD\].
Tứ giác \[ABCM\] có \[AB//=CM\] nên là hình bình hành.
Lại có \[\widehat A = {90^0},AB = CB\] nên \[ABCM\] là hình vuông
\[\Rightarrow CM = a \Rightarrow CM = {1 \over 2}A{\rm{D}}\]
Tam giác \[ACD\] có trung tuyến \[CM\] bằng \[{1 \over 2}\] cạnh tương ứng nên nó là tam giác vuông, hay tam giác \[ACD\] vuông tại \[C\] có \[AC CD\]
\[SA \bot \left[ {ABCD} \right] \Rightarrow SA \bot CD\]
\[\left. \matrix{
SA \bot CD \hfill \cr
AC \bot C{\rm{D}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow SC \bot C{\rm{D}}\] [định lí 3 đường vuông góc]
\[\Rightarrow \widehat {SC{\rm{D}}} = {90^0}\]
\[ \Rightarrow \Delta SCD\] vuông tại \[C\].
b] Ta có :
\[\left. \matrix{
AB \bot SA \hfill \cr
AB \bot A{\rm{D}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \left. \matrix{
AB \bot \left[ {SA{\rm{D}}} \right] \hfill \cr
S{\rm{D}} \subset \left[ {SA{\rm{D}}} \right] \hfill \cr} \right\} \Rightarrow AB \bot S{\rm{D}}\,\,\,\,\,[1]\]
\[\left. \matrix{
C{\rm{D}} \bot AC \hfill \cr
C{\rm{D}} \bot SC \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \left. \matrix{
C{\rm{D}} \bot \left[ {SAC} \right] \hfill \cr
AC' \subset \left[ {SAC} \right] \hfill \cr} \right\} \Rightarrow AC' \bot C{\rm{D}}\]
Kết hợp với \[ AC SC\] suy ra \[AC'\bot [SCD]\]
\[\left. \matrix{AC' \bot \left[ {SC{\rm{D}}} \right] \hfill \cr S{\rm{D}} \subset \left[ {SC{\rm{D}}} \right] \hfill \cr} \right\} \Rightarrow AC' \bot S{\rm{D\,\,\,\,\,[2]}}\]
Giả thiết cho \[AD SD\] [3]
Từ [1], [2], [3] ta thấy ba đường thẳng \[AB, AD, AC\] cùng vuông góc với \[SD\] và chúng cùng đi qua \[A\].
Vậy chúng cùng nằm trong mặt phẳng \[[ P]\] đi qua \[A\] và vuông góc với \[SD\].
c] Gọi \[K\] là giao điểm của \[CD\] với \[AB\].
\[K CD K [SCD]\]
\[K AB K [ABCD]\]
\[ K\] là giao điểm của hai mặt phẳng \[[SCD]\] và \[[ABCD]\]
Mà \[\left[ {SCD} \right] \cap \left[ {ABCD} \right] = CD\]\[\Rightarrow K \in CD\].
Vậy ba đường thẳng \[AB, CD, CD\] đồng quy tại \[K\] và \[AB, CD\] cố định suy ra \[K\] cố định.
Vậy khi \[S\] chạy trên \[Ax\] thì \[CD\] luôn đi qua điểm cố định là giao điểm \[K\] của \[AB\] và \[CD\].
loigiaihay.com