Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Tính:
LG a
a] \[\displaystyle\int_0^3 {{x \over {\sqrt {1 + x} }}} dx\]
Phương pháp giải:
+] Sử dụng phương pháp đổi biến và các công thức tính tích phân cơ bản để tính tích phân.
+] Chú ý: Khi đổi biến cần đổi cận.
Lời giải chi tiết:
Đặt \[t = \sqrt {1 + x} \], ta được: \[x = t^2-1, dx = 2t dt\]
Khi \[x = 0\] thì \[t = 1\], khi \[x = 3\] thì \[t = 2.\]
Do đó:
\[\displaystyle \int_0^3 {{x \over {\sqrt {1 + x} }}} dx = \int_1^2 {{{{t^2} - 1} \over t}} .2tdt = 2\int_1^2 {[{t^2} - 1]dt}\]
\[\displaystyle= 2[{{{t^3}} \over 3} - t]\left| {_1^2} \right. = 2[{8 \over 3} - 2 - {1 \over 3} + 1] = {8 \over 3} \]
LG b
b] \[\displaystyle\int_1^{64} {{{1 + \sqrt x } \over {\root 3 \of x }}} dx\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\displaystyle\int_1^{64} {{{1 + \sqrt x } \over {\root 3 \of x }}} dx = \int_1^{64} {{{1 + {x^{{1 \over 2}}}} \over {{x^{{1 \over 3}}}}}} dx = \int_1^{64} {[{x^{{-1 \over 3}}} + {x^{{1 \over 6}}}]dx}\]
\[\displaystyle=[{3 \over 2}{x^{{2 \over 3}}} + {6 \over 7}{x^{{7 \over 6}}}]\left| {_1^{64}} \right.= \frac{{1872}}{{14}} - \frac{{33}}{{14}}= {{1839} \over {14}}. \]
LG c
c] \[\int_0^2 {{x^2}} {e^{3x}}dx\]
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp từng phần tính tích phân.
Lời giải chi tiết:
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = {e^{3x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = \dfrac{{{e^{3x}}}}{3}\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_0^2 {{x^2}{e^{3x}}dx} \\ = \left. {\left[ {{x^2}.\dfrac{{{e^{3x}}}}{3}} \right]} \right|_0^2 - \int\limits_0^2 {\dfrac{{2x{e^{3x}}}}{3}dx} \\ = \dfrac{{4{e^6}}}{3} - \dfrac{2}{3}\int\limits_0^2 {x{e^{3x}}dx} \end{array}\]
Xét \[{I_1} = \int\limits_0^2 {x{e^{3x}}dx} \]
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^{3x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \dfrac{{{e^{3x}}}}{3}\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow {I_1} = \left. {\left[ {x.\dfrac{{{e^{3x}}}}{3}} \right]} \right|_0^2 - \int\limits_0^2 {\dfrac{{{e^{3x}}}}{3}dx} \\ = \dfrac{{2{e^6}}}{3} - \left. {\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{e^{3x}}}}{3}} \right|_0^2\\ = \dfrac{{2{e^6}}}{3} - \dfrac{1}{9}\left[ {{e^6} - 1} \right]\\ = \dfrac{5}{9}{e^6} + \dfrac{1}{9}\\ \Rightarrow I = \dfrac{{4{e^6}}}{3} - \dfrac{2}{3}{I_1}\\ = \dfrac{{4{e^6}}}{3} - \dfrac{2}{3}\left[ {\dfrac{5}{9}{e^6} + \dfrac{1}{9}} \right]\\ = \dfrac{{26}}{{27}}{e^6} - \dfrac{2}{{27}}\end{array}\]
Cách trình bày khác:
Ta có:
\[\displaystyle \int_0^2 {{x^2}} {e^{3x}}dx = {1 \over 3}\int_0^2 {{x^2}} d{e^{3x}} \] \[\displaystyle = {1 \over 3}{x^2}{e^{3x}}\left| {_0^2} \right. - {2 \over 3}\int_0^2 {x{e^{3x}}} dx \] \[=\dfrac{1}{3}\left. {{x^2}{e^{3x}}} \right|_0^2 - \dfrac{2}{9}\int\limits_0^2 {xd\left[ {{e^{3x}}} \right]} \] \[\displaystyle = {4 \over 3}{e^6} - {2 \over 9}[x{e^{3x}}]\left| {_0^2} \right. + {2 \over {27}}\int_0^2 {{e^{3x}}} d[3x] \]
\[\displaystyle = {4 \over 3}{e^6} - {4 \over 9}{e^6} + {2 \over {27}}{e^{3x}}\left| {_0^2} \right. = {2 \over {27}}[13{e^6} - 1] \]
LG d
d] \[\int_0^\pi {\sqrt {1 + \sin 2x} } dx\]
Phương pháp giải:
Biến đổi thu gọn hàm số dưới dấu tích phân và tính tích phân thu được.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[ \sqrt {1 + \sin 2x} \] \[= \sqrt {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x + 2\sin x{\mathop{\rm cosx}\nolimits} }\]
\[ = \sqrt {{{\left[ {\sin x + \cos x} \right]}^2}} \]
\[= |{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + {\mathop{\rm cosx}\nolimits} | \]
\[\displaystyle = \sqrt 2 |\sin [x + {\pi \over 4}]| \]
\[=\left\{ \matrix{
\sqrt 2 \sin [x + {\pi \over 4}],x \in \left[ {0,{{3\pi } \over 4}} \right] \hfill \cr
- \sqrt 2 \sin [x + {\pi \over 4}],x \in \left[ {{{3\pi } \over 4},\pi } \right] \hfill \cr} \right.\]
Do đó:
\[ \displaystyle \int_0^\pi {\sqrt {1 + \sin 2x} } dx \]
\[ = \int\limits_0^\pi {\sqrt 2 \left| {\sin \left[ {x + \dfrac{\pi }{4}} \right]} \right|dx} \]
\[= \int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{4}} {\sqrt 2 \left| {\sin \left[ {x + \dfrac{\pi }{4}} \right]} \right|dx}\] \[ + \int\limits_{\frac{{3\pi }}{4}}^\pi {\sqrt 2 \left| {\sin \left[ {x + \dfrac{\pi }{4}} \right]} \right|dx} \]
\[= \int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{4}} {\sqrt 2 \sin \left[ {x + \dfrac{\pi }{4}} \right]dx} \] \[- \int\limits_{\frac{{3\pi }}{4}}^\pi {\sqrt 2 \sin \left[ {x + \dfrac{\pi }{4}} \right]dx} \]
\[\displaystyle= \sqrt 2 \int_0^{{{3\pi } \over 4}} {\sin [x + {\pi \over 4}} ]d[x + {\pi \over 4}]\] \[\displaystyle - \sqrt 2 \int_{{{3\pi } \over 4}}^\pi {\sin [x + {\pi \over 4}} ]d[x + {\pi \over 4}] \] \[\displaystyle = - \sqrt 2 \cos [x + {\pi \over 4}]\left| {_0^{{{3\pi } \over 4}}} \right. + \sqrt 2 \cos [x + {\pi \over 4}]\left| {_{{{3\pi } \over 4}}^\pi } \right.\] \[= \left[ {\sqrt 2 + 1} \right] - \left[ {1 - \sqrt 2 } \right]\] \[ = 2\sqrt 2 \]